華東師范大學出版社九年級下冊數(shù)學知識點總結[共18頁]

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1、 華師大版九年級下冊數(shù)學知識點總結 第二十六章 二次函數(shù) 一、二次函數(shù)概念： 1、二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零。二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)。 2、二次函數(shù)的結構特征： ⑴ 等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2。 ⑵ 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項。 二、二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式：的性質：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 軸 時，隨

2、的增大而增大； 時，隨的增大而減??； 時，有最小值。 向下 軸 時，隨的增大而減??； 時，隨的增大而增大； 時，有最大值。 2. 的性質： 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 軸 時，隨的增大而增大； 時，隨的增大而減??； 時，有最小值。 向下 軸 時，隨的增大而減??； 時，隨的增大而增大； 時，有最大值。 3. 的性質： 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 X=h 時，隨的增大而增大； 時，隨的增大而減??； 時，有最小值。

3、向下 X=h 時，隨的增大而減小； 時，隨的增大而增大； 時，有最大值。 4. 的性質： 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值。 向下 X=h 時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值。 三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平

4、移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”。 概括成八個字“左加右減，上加下減”。 方法二： ⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位， 變成（或） ⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位， 變成（或） 四、二次函數(shù)與的比較 從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中。 五、二次函數(shù)圖象的畫法 五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸

5、對稱的點）. 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點. 六、二次函數(shù)的性質 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為。 當時，隨的增大而減?。划敃r，隨的增大而增大；當時，有最小值。 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為。當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減??；當時，有最大值。 七、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式：（，，為常數(shù)，）； 2. 頂點式：（，，為常數(shù)，）； 3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式

6、，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示。二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系 1. 二次項系數(shù) 二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然。 ⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； ⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大。 總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小。 2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸。 ⑴ 在的前提下， 當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；

7、 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側。 ⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即 當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側； 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側。 總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置。 的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異” 總結： 3. 常數(shù)項 ⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； ⑵ 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； ⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即

8、拋物線與軸交點的縱坐標為負。 總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置。 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的。 二次函數(shù)解析式的確定： 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便。一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式。 九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖

9、象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關于原點對稱 關于原點對稱后，得到的解析式是； 關于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180） 關于頂點對稱后，得到的解析式是； 關于頂點對稱后，得到的解析式是。 5. 關于點對稱 關于點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質，顯然無論作

10、何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變。求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式。 十、二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與軸交點情況）： 一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況. 圖象與軸的交點個數(shù)： ① 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根。這兩點間的距離. ② 當時，圖象與軸只有一個交點； ③ 當時，圖象與軸沒有交點. 當

11、時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有。 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結： ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； ⑵ 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉化為頂點式； ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號，或由二次函數(shù)中，，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合； ⑷ 二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. ⑸ 與二次函數(shù)有關的還有二次三項式

12、，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯(lián)系： 拋物線與軸有兩個交點 二次三項式的值可正、可零、可負 一元二次方程有兩個不相等實根 拋物線與軸只有一個交點 二次三項式的值為非負 一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根 拋物線與軸無交點 二次三項式的值恒為正 一元二次方程無實數(shù)根. 二次函數(shù)圖像參考： 十一、函數(shù)的應用 二次函數(shù)應用 第二十七章：《圓》 一、知識回顧 圓的周長： C=2πr或C=πd、圓的面積：S=πr 圓環(huán)面積計算方

13、法：S=πR-πr或S=π（R-r）(R是大圓半徑，r是小圓半徑） 二、知識要點 一、圓的概念 集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合； 3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合 軌跡形式的概念： 1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓； 固定的端點O為圓心。連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。 2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點

14、的軌跡是這條線段的垂直平分線； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線； 4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。 二、點與圓的位置關系 1、點在圓內 點在圓內； 2、點在圓上 點在圓上； 3、點在圓外 點在圓外； 三、直線與圓的位置關系 1、直線與圓相離 無交點； 2、直線與圓相切 有一個交點； 3、直線與圓相交 有兩個交點； 四、圓與圓的位置關系 外離（圖1

15、） 無交點 ； 外切（圖2） 有一個交點 ； 相交（圖3） 有兩個交點 ； 內切（圖4） 有一個交點 ； 內含（圖5） 無交點 ； 五、垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。 推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧； （2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。? （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個

16、定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即： ①是直徑 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2個條件推出其他3個結論。 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 六、圓心角定理 頂點到圓心的角，叫圓心角。 圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中， 只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論， 即：①；②； ③；④ 弧弧 七、圓周角定理 頂點在圓上，

17、并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。 1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。 即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角 ∴ 2、圓周角定理的推論： 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??； 即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角 ∴ 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。 即：在⊙中，∵是直徑 或∵ ∴ ∴是直徑 推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角

18、形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或 注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。 八、圓內接四邊形 圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。 即：在⊙中， ∵四邊形是內接四邊形 ∴ 九、切線的性質與判定定理 （1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

19、即：∵且過半徑外端 ∴是⊙的切線 （2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。 以上三個定理及推論也稱二推一定理： 即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。 十、切線長定理 切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 即：∵、是的兩條切線 ∴ 平分 十一、圓冪定

20、理 （1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。 即：在⊙中，∵弦、相交于點， ∴ （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。 即：在⊙中，∵直徑， ∴ （3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 即：在⊙中，∵是切線，是割線 ∴ （4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。 即：在⊙中，∵、是割線

21、 ∴ 十二、兩圓公共弦定理 圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。 如圖：垂直平分。 即：∵⊙、⊙相交于、兩點 ∴垂直平分 十三、圓的公切線 兩圓公切線長的計算公式： （1）公切線長：中，； （2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。 十四、圓內正多邊形的計算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：； （2）正四邊形 同理，四邊形的有關計算在中進行，： （3）正六邊形 同理，六邊形的有關計算在中進行，. 十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式 1、扇形：

22、（1）弧長公式：； （2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積 2、圓柱： （1）A圓柱側面展開圖 = B圓柱的體積： （2）A圓錐側面展開圖 = B圓錐的體積： 第二十八章 樣本與總體 二.重點、難點： 1.重點： ⑴了解普查與抽樣調查的概念，并能根據(jù)實際情況確定收集數(shù)據(jù)的方式； ⑵了解總體、個體、樣本等概念，能夠指出研究對象的總體、個體與樣本； ⑶學會用科學的隨機抽樣的方法，選取合適的樣本進行抽樣調查，用樣本估計總體； ⑷通過整理和分析數(shù)據(jù)，準確地作出決

23、策。 2.難點： ⑴正確識別問題中的總體、個體、樣本、樣本容量等，并能選擇合適的樣本看總體； ⑵能夠對數(shù)據(jù)的來源，處理數(shù)據(jù)的方法，以及由此得到的結果進行合理的分析。 三.知識梳理： 知識點 內容關注 注意事項 總體、個體、樣本、樣本容量 總體是考察對象的主體，個體是組成總體的每一個對象，樣本是總體中的一部分個體，樣本容量是樣本包含的個體數(shù)量 樣本容量是一個樣本中個體的數(shù)量 普查與抽樣調查 普查是對所有對象進行調查，抽樣調查是對部分對象進行調查 普查與抽樣調查的范圍不同 簡單的隨機抽樣 使樣本具有代表性，不偏向總體中的某些個體，對每個個體都公平的方法，就是用抽簽的方

24、法決定個體進入樣本 簡單的隨機抽樣對總體中每個個體來說，被抽到的機會是均等的 隨機性 在抽樣前，不能預測哪些個體會被抽中，這種不能事先預測結果的特性稱為隨機性 隨機性是抽取樣本具有代表性的重要保障 抽樣調查的可靠性 用隨機抽樣的方法獲取樣本，且樣本容量合適時，由樣本得出的特性會更接近總體的特性 ⑴樣本在總體中需有代表性； ⑵樣本容量應該足夠大； ⑶樣本要避免遺漏某一個群體 借助調查作決策 通過媒體收集信息，將信息進行全面、科學地分析 分析角度不同，得到的結論也會不同 容易誤導決策的統(tǒng)計圖 媒體中數(shù)據(jù)很多，有許多有用的信息，但信息不一定可靠，要全面分析 考慮信息的時效性、可靠性和代表性 19