高考數(shù)學(xué)浙江專用總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第4講　冪函數(shù)與二次函數(shù) Word版含解析

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第第 4 講講 冪函數(shù)與二次函數(shù)冪函數(shù)與二次函數(shù) 最新考綱 1.了解冪函數(shù)的概念；掌握冪函數(shù) yx，yx2，yx3，yx12，y1x的圖象和性質(zhì)；2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題. 知 識(shí) 梳 理 1.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 一般地，形如 yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 x 是自變量， 為常數(shù). (2)常見(jiàn)的 5 種冪函數(shù)的圖象 (3)常見(jiàn)的 5 種冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 特征 性質(zhì) yx yx2 yx3 yx12 yx1 定義域 R R R 0，) x|xR， 且 x0 值域 R 0，) R 0， ) y|yR， 且 y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 2.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0). 頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n). 零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為 f(x)的零點(diǎn). (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0 時(shí)，冪函數(shù) yxn在(0，)上是增函數(shù).( ) (3)二次函數(shù) yax2bxc(xR)不可能是偶函數(shù).( ) (4)二次函數(shù) yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.( ) 解析 (1)由于冪函數(shù)的解析式為 f(x)x，故 y2x13不是冪函數(shù)，(1)錯(cuò). (3)由于當(dāng) b0 時(shí)，yax2bxcax2c 為偶函數(shù)，故(3)錯(cuò). (4)對(duì)稱軸 xb2a，當(dāng)b2a小于 a 或大于 b 時(shí)，最值不是4acb24a，故(4)錯(cuò). 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(20 xx 全國(guó)卷)已知 a243，b323，c2513，則( ) A.bac B.abc C.bca D.caab. 答案 A 3.已知 f(x)x2pxq 滿足 f(1)f(2)0，則 f(1)的值是( ) A.5 B.5 C.6 D.6 解析 由 f(1)f(2)0 知方程 x2pxq0 的兩根分別為 1，2，則 p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6. 答案 C 4.(20 xx 杭州測(cè)試)若函數(shù) f(x)是冪函數(shù)，則 f(1)_，若滿足 f(4)8f(2)，則 f13_. 解析 由題意可設(shè) f(x)x，則 f(1)1，由 f(4)8f(2)得 482，解得 3，所以 f(x)x3，故 f13133127. 答案 1 127 5.若冪函數(shù) y(m23m3)xm2m2的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的值為_. 解析 由m23m31，m2m20，解得 m1 或 2. 經(jīng)檢驗(yàn) m1 或 2 都適合. 答案 1 或 2 6.若函數(shù) f(x)x22(a1)x2 在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 解析 二次函數(shù) f(x)圖象的對(duì)稱軸是 x1a，由題意知 1a3，a2. 答案 (，2 考點(diǎn)一 冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【例 1】 (1)(20 xx 濟(jì)南診斷測(cè)試)已知冪函數(shù) f(x)k x的圖象過(guò)點(diǎn)12，22，則 k 等于( ) A.12 B.1 C.32 D.2 (2)若(2m1)12(m2m1)12，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( ) A.， 512 B.512， C.(1，2) D.512，2 解析 (1)由冪函數(shù)的定義知 k1.又 f1222， 所以1222，解得 12，從而 k32. (2)因?yàn)楹瘮?shù) yx12的定義域?yàn)?，)， 且在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 所以不等式等價(jià)于2m10，m2m10，2m1m2m1. 解得m12，m 512或m512，1m2， 即512m0 時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和(1，1)，在第一象限的圖象上升；當(dāng) 0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，過(guò)(1，1)，在第一象限的圖象下降. (3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【訓(xùn)練 1】 (1)冪函數(shù) yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù) yf(x)的圖象是( ) (2)已知冪函數(shù) f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 且在(0， )上是減函數(shù)，則 n 的值為( ) A.3 B.1 C.2 D.1 或 2 解析 (1)設(shè) f(x)x(R)，則 42， 12，因此 f(x)x12，根據(jù)圖象的特征，C 正確. (2)冪函數(shù) f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是減函數(shù)， n22n21，n23n0， 其圖象如圖所示， 又x4，6，f(|x|)在區(qū)間4，1)和0，1)上為減函數(shù)，在區(qū)間1，0)和1，6上為增函數(shù). 規(guī)律方法 解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題時(shí)要注意： (1)拋物線的開口、對(duì)稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，常見(jiàn)的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論； (2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用， 尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問(wèn)題， 先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍. 【訓(xùn)練 2】 (1)設(shè) abc0，二次函數(shù) f(x)ax2bxc 的圖象可能是( ) (2)(20 xx 武漢模擬)若函數(shù) f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù) a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，4，則該函數(shù)的解析式 f(x)_. 解析 (1)由 A，C，D 知，f(0)c0，所以 ab0，知 A，C 錯(cuò)誤，D 滿足要求；由 B 知 f(0)c0， 所以 ab0，所以 xb2axk 在區(qū)間3，1上恒成立，試求 k 的取值范圍. 解 (1)由題意知 b2a1，f（1）ab10，解得a1，b2. 所以 f(x)x22x1， 由 f(x)(x1)2知，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1. (2)由題意知，x22x1xk 在區(qū)間3，1上恒成立，即 kx2x1 在區(qū)間3，1上恒成立， 令 g(x)x2x1，x3，1， 由 g(x)x12234知 g(x)在區(qū)間3，1上是減函數(shù)，則 g(x)ming(1)1，所以 k1， 故 k 的取值范圍是(，1). 規(guī)律方法 (1)對(duì)于函數(shù) yax2bxc，若是二次函數(shù)，就隱含著 a0，當(dāng)題目未說(shuō)明是二次函數(shù)時(shí)，就要分 a0 和 a0 兩種情況討論. (2)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，其依據(jù)是 af(x)af(x)max，af(x)af(x)min. 【訓(xùn)練 3】 (20 xx 九江模擬)已知 f(x)x22(a2)x4， 如果對(duì) x3， 1， f(x)0 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_. 解析 因?yàn)?f(x)x22(a2)x4， 對(duì)稱軸 x(a2)， 對(duì) x3，1，f(x)0 恒成立， 所以討論對(duì)稱軸與區(qū)間3，1的位置關(guān)系得： （a2）3，f（3）0，或3（a2）1，0，或（a2）1，f（1）0， 解得 a或 1a4 或12a1， 所以 a 的取值范圍為12，4 . 答案 12，4 命題角度二 二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 【例 32】 (20 xx 全國(guó)卷)已知函數(shù) f(x)(xR)滿足 f(x)f(2x)，若函數(shù) y|x22x3|與 yf(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)， ， (xm，ym)，則mi1xi( ) A.0 B.m C.2m D.4m 解析 由f(x)f(2x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱.又y|x22x3|(x1)24|的圖象也關(guān)于直線 x1 對(duì)稱，所以這兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線 x1 對(duì)稱. 不妨設(shè) x1x20 時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“上升”；f(1)，則( ) A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af(1)，所以函數(shù)圖象應(yīng)開口向上，即 a0，且其對(duì)稱軸為 x2，即b2a2，所以 4ab0. 答案 A 3.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù) yxa(a0)和 yax1a的圖象可能是( ) 解析 若 a0，yxa的圖象知排除 A，B 選項(xiàng)，但 yax1a的圖象均不適合，綜上選B. 答案 B 4.若函數(shù) f(x)x2axa 在區(qū)間0，2上的最大值為 1，則實(shí)數(shù) a 等于( ) A.1 B.1 C.2 D.2 解析 函數(shù) f(x)x2axa 的圖象為開口向上的拋物線， 函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得， f(0)a，f(2)43a， a43a，a1或a43a，43a1，解得 a1. 答案 B 5.若關(guān)于 x 的不等式 x24x2a0 在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( ) A.(，2) B.(2，) C.(6，) D.(，6) 解析 不等式 x24x2a0 在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價(jià)于 a(x24x2)max， 令 f(x)x24x2，x(1，4)， 所以 f(x)f(4)2，所以 a1225，得223123253，即 PRQ. 答案 PRQ 7.若 f(x)x22ax 與 g(x)ax1在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是_. 解析 由 f(x)x22ax 在1，2上是減函數(shù)可得1，2a，)，a1. y1x1在(1，)上為減函數(shù)， 由 g(x)ax1在1，2上是減函數(shù)可得 a0， 故 0f(a1)的實(shí)數(shù) a 的取值范圍. 解 冪函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2， 2)， 22(m2m)1，即 2122(m2m)1. m2m2.解得 m1 或 m2. 又mN*，m1.f(x)x12， 則函數(shù)的定義域?yàn)?，)，并且在定義域上為增函數(shù). 由 f(2a)f(a1)得2a0，a10，2aa1， 解得 1a1，即 a12時(shí)， f(x)maxf(1)2a1， 2a11，即 a1 滿足題意. 綜上可知，a13或1. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25 分鐘) 11.(20 xx 浙江卷)已知函數(shù) f(x)x2bx， 則“b0”是“f(f(x)的最小值與 f(x)的最小值相等”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 f(x)x2bxxb22b24，當(dāng) xb2時(shí)，f(x)minb24. 又 f(f(x)(f(x)2bf(x)f（x）b22b24，當(dāng) f(x)b2時(shí)，f(f(x)minb24，當(dāng)b2b24時(shí)，f(f(x)可以取到最小值b24，即 b22b0，解得 b0 或 b2，故“b0，若 a，bR，且 ab0，則 f(a)f(b)的值( ) A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.等于 0 D.無(wú)法判斷 解析 依題意，冪函數(shù) f(x)在(0，)上是增函數(shù)， m2m11，4m9m510， 解得 m2，則 f(x)x2 015. 函數(shù) f(x)x2 015在 R 上是奇函數(shù)，且為增函數(shù). 由 ab0，得 ab， f(a)f(b)，則 f(a)f(b)0. 答案 A 13.已知函數(shù)f(x)2x，x2，（x1）3，x2，若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是_. 解析 作出函數(shù) yf(x)的圖象如圖.則當(dāng) 0k0，bR，cR). (1)若函數(shù) f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1， F(x)f（x），x0，f（x），x0，（x1）2，x0. F(2)F(2)(21)2(21)28. (2)由 a1，c0，得 f(x)x2bx， 從而|f(x)|1 在區(qū)間(0， 1上恒成立等價(jià)于1x2bx1 在區(qū)間(0， 1上恒成立， 即 b1xx 且 b1xx 在(0，1上恒成立. 又1xx 的最小值為 0，1xx 的最大值為2. 2b0. 故 b 的取值范圍是2，0. 15.(20 xx 嘉興模擬)已知 mR，函數(shù) f(x)x2(32m)x2m. (1)若 0m12，求|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)； (2)對(duì)任意的 m(0，1，若 f(x)在0，m上的最大值為 h(m)，求 h(m)的最大值. 解 (1)f(x)x32m224m28m174，則對(duì)稱軸為 x32m2， 由 0m12，得 02m1，則 132m232， 故函數(shù) f(x)在1，1上為增函數(shù)， 則當(dāng) x1 時(shí)，函數(shù) f(x)取得最大值，f(1)4m； 當(dāng) x1 時(shí)，函數(shù) f(x)取得最小值 f(1)3m2. 又0m12，03m32，2|f(1)|， 即|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)f(1)4m. (2)由(1)知函數(shù)的對(duì)稱軸為 x32m2，且函數(shù)開口向下， 由 0m1，則 02m2，所以1232m232， 若 m32m2， 即 032m2，即34m1 時(shí)，函數(shù) f(x)在0，m上不單調(diào)，此時(shí)當(dāng) x32m2時(shí)，函數(shù) f(x)取得最大值 h(m)m22m174， 即 h(m)m22m174，34m1，3m24m2，0m34， 當(dāng) 0m34時(shí)，h(m)3m24m2 的對(duì)稱軸為 m42（3）23，即當(dāng) m23時(shí)，函數(shù) h(m)取得最大值 h2332324232103. 當(dāng)34m1 時(shí)， h(m)m22m174的對(duì)稱軸為 m1， 此時(shí)函數(shù) h(m)在34，1 上為減函數(shù)，則函數(shù) h(m)h343422341745316103. 所以 h(m)的最大值為103.