新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 正態(tài)分布學(xué)案 理

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第六十七課時(shí) 正態(tài)分布課前預(yù)習(xí)案考綱要求1.了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念，掌握正態(tài)分布的對稱性；2.能根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率基礎(chǔ)知識梳理1 正態(tài)曲線正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線，其函數(shù)表達(dá)式為f(x)e，xR(其中，為參數(shù)，且>0，<<)2 正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)曲線在x軸的 ，并且關(guān)于直線 對稱(2)曲線在 時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀(3)曲線的形狀由參數(shù)確定，越 ，曲線越“矮胖”；越 ，曲線越“高瘦”3 正態(tài)變量在三個(gè)特定區(qū)間內(nèi)取值的概率值(1)P(<X<)68.3%；(2)P(2<X<2)95.4%；(3)P(3<X<3)99.7%.注意：通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(，2)的隨機(jī)變量X只取(3，3)之間的值，并簡稱為3原則正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(3，3)之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.003，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生預(yù)習(xí)自測1 已知N(0，2)且P(20)0.4，則P(>2)_.2 若XN(0,1)，且P(X<1.54)0.938 2，則P(|X|<1.54)_.3 設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)e，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是 ()A10與8 B10與2C8與10 D2與104 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)，則c等于 ()A1 B2 C3 D45 (20xx年高考湖北卷)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(<4)0.8，則P(0<<2)等于()A0.6 B0.4C0.3 D0.2第六十七課時(shí) 正態(tài)分布（課堂探究案）典型例題考點(diǎn)1正態(tài)曲線的性質(zhì)【典例1】若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為.(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(4,4)的概率【變式1】設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(1，)(1>0)和N(2，)(2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A1<2，1<2B1<2，1>2C1>2，1<2D1>2，1>2考點(diǎn)2服從正態(tài)分布的概率計(jì)算【典例2】某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示(1)求總體隨機(jī)變量的期望和方差；(2)求成績X位于區(qū)間(52,68)的概率【變式2】(1)在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1，2) (>0)若在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則在(2，)上取值的概率為_(2)若XN，則X落在(，11，)內(nèi)的概率為_考點(diǎn)3正態(tài)分布的應(yīng)用【典例3】已知電燈泡的使用壽命XN(1 500,1002)(單位：h)(1)購買一個(gè)燈泡，求它的使用壽命不小于1 400小時(shí)的概率；(2)這種燈泡中，使用壽命最長的占0.15%，這部分燈泡的使用壽命至少為多少小時(shí)？【變式3】在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績服從正態(tài)分布，即N(100,100)，已知滿分為150分(1)試求考試成績位于區(qū)間(80,120)內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2 000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)當(dāng)堂檢測1 已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)fi(x) (xR，i1,2,3) 的圖象如圖所示，則()A1<23，12>3B1>23，12<3C12<3，1<23D1<23，12<32 設(shè)隨機(jī)變量XN(0，2)，且P(2X0)0.4，則P(0X2)的值是()A0.3 B0.4 C0.5 D0.63 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2X4)0.6826，則P(X>4)等于()A0.158 8 B0.158 5 C0.158 6 D0.158 74 已知隨機(jī)變量N(3,22)，若23，則D()等于()A0 B1 C2 D4課后拓展案 A組全員必做題1.某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為f(x)e (xR)，則下列命題不正確的是()A該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分B分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為102 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(，2)，函數(shù)f(x)x24x沒有零點(diǎn)的概率是，則等于()A1 B2 C4 D不能確定3 隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(1，2)，已知P(<0)0.3，則P(<2)_.4.某中學(xué)2 000名考生的高考數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(120,100)，則此校數(shù)學(xué)成績在140分以上的考生人數(shù)約為_(注：正態(tài)總體N(，2)在區(qū)間(2，2)內(nèi)取值的概率約為0.9544)5.在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1，2)(0)若在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則在(0,2)內(nèi)取值的概率為_6.商場經(jīng)營的某種包裝大米的質(zhì)量(單位：kg)服從正態(tài)分布XN(10,0.12)，任選一袋這種大米，質(zhì)量在9.810.2 kg的概率是_B組提高選做題1.汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量服從正態(tài)分布N(8，2)，已知耗油量7,9的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有_輛2工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N，問在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？3在某市組織的一次數(shù)學(xué)競賽中全體參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布N(60,100)，已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有13人求此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？參考答案預(yù)習(xí)自測10.1 解析 P(02)P(20)0.4，P(>2)(120.4)0.1.20.876 4 解析由正態(tài)曲線的對稱性知P(X1.54)P(X1.54)又P(X1.54)1P(X<1.54)10.938 20.061 8P(X1.54)0.061 8，P(|X|<1.54)P(1.54<X<1.54)P(X<1.54)P(X1.54)0.938 20.061 80.876 4.3 B由ee，可知2，10.4B2，由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關(guān)于x2對稱，于是2，c2.5CP(<4)0.8，P(>4)0.2，由題意知圖象的對稱軸為直線x2，P(<0)P(>4)0.2，P(0<<4)1P(<0)P(>4)0.6. P(0<<2)P(0<<4)0.3.典型例題【典例1】解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即0.由，得4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是f(x)，xR.(2)P(4<X<4)P(04<X<04)P(<X<)0.6826.【變式1】A根據(jù)正態(tài)分布N(，2)函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x對稱，在x處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過來，越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A.【典例2】解(1)從給出的密度曲線圖可知，該正態(tài)曲線關(guān)于x60對稱，最大值為，60，解得4.f(x)，x0,100，總體隨機(jī)變量的期望是60，方差是216.(2)成績X位于區(qū)間(52,68)的概率為P(2<X<2)0.9544.【變式2】（1）0.1【解析】由正態(tài)分布的特征易得P(>2)12P(0<<1)(10.8)0.1.（2）【答案】0.0026 【解析】0，P(X1或x1)1P(1<X<1)1P(3<X<3)10.9974=0.0026【典例3】(1)P(X1 400)1P(X<1 400)10.841 3.(2)設(shè)這部分燈泡的使用壽命至少為x0小時(shí)，則x0>1 500，則P(Xx0)0.15%.P(X1 500x01 500)0.15%，P(|X1 500|<x01 500)10.3%0.997，所以x01 500300，x01 800(小時(shí))【變式3】(1)由N(100,100)知100，10.P(80<<120)P(1002<<1002)0.9544，即考試成績位于區(qū)間(80,120)內(nèi)的概率為0.9544.(2)P(90<<110)P(10010<<10010)0.6826，P(>110)(10.6826)0.158 7，P(90)0.68260.158 70.841 3.及格人數(shù)為2 0000.841 31 683(人)當(dāng)堂檢測1D解析正態(tài)分布密度函數(shù)f2(x)和f3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對稱，所以其平均數(shù)相同，故23，又f2(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值比f1(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值大，故有1<23.又越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“瘦高”，由圖象可知，正態(tài)分布密度函數(shù)f1(x)和f2(x)的圖象一樣“瘦高”，3(x)明顯“矮胖”，從而可知12<3.2 B解析正態(tài)曲線關(guān)于直線x0對稱，P(2X0)0.4，P(0X2)0.4.3D解析由于X服從正態(tài)分布N(3,1)，故正態(tài)分布曲線的對稱軸為x3.所以P(X>4)P(X<2)，故P(X>4)0.158 7.4 B解析由23，得D()4D()，而D()24，D()1. A組全員必做題1.B解析由密度函數(shù)知，均值(期望)80，標(biāo)準(zhǔn)差10，又曲線關(guān)于直線x80對稱，故分?jǐn)?shù)在100分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同，所以B是錯(cuò)誤的2C解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)x24x沒有零點(diǎn)時(shí)，164<0，即>4，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，當(dāng)函數(shù)f(x)x24x沒有零點(diǎn)的概率是時(shí)，4.3 0.7解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以P(<2)P(<0)P(0<<1)P(1<<2)，又P(0<<1)P(1<<2)0.2，所以P(<2)0.7. 4.46解析因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是10，故在區(qū)間(12020,12020)之外的概率是10.9544，數(shù)學(xué)成績在140分以上的概率是0.0228，故數(shù)學(xué)成績在140分以上的人數(shù)為2 0000.02284646.5.0.8解析服從正態(tài)分布N(1，2)，在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4.在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.40.40.8.6.0.9544解析P(9.8<X<10.2)P(100.2<X<100.2)0.9544.B組提高選做題1.180解析由題意可知N(8，2)，故正態(tài)曲線以8為對稱軸，又因?yàn)镻(79)0.7，故P(79)2P(89)0.7，所以P(89)0.35，而P(8)0.5，所以P(>9)0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1 2000.15180(輛)2解XN，4，.不屬于區(qū)間(3,5)的概率為P(X3)P(X5)1P(3<X<5)1P(41<X<41)1P(3<X<3)10.99740.0026.1 0000.00263.(個(gè)).即不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)3解設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X，XN(60,100)則60，10.P(30<X<90)P(60310<X<60310)0.9974.P(X90)1P(30<X<90)0.001 3，學(xué)生總數(shù)為10 000(人)