《橢圓的定義及其標準方程》教學設(shè)計(總12頁)

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1、課題：2.1.1橢圓的定義及其標準方程 鹿城中學 田光海 一、教案背景： 1.面向?qū)ο螅焊咧卸昙墝W生 2.學科：數(shù)學 3.課時：2課時 4.教學內(nèi)容：高中新課程標準教科書《數(shù)學》北師大版選修1-1第二章圓錐曲線與方程2.1.1橢圓及其標準方程 二. 教材分析 本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時，它是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步認識的基礎(chǔ)上，進一步學習用坐標法研究曲線。橢圓的學習可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章的重點內(nèi)容之一。 1. 教法分析 結(jié)合生活

2、經(jīng)驗觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導、探究合作。在學生的生活體驗、直觀感知、知識儲備的基礎(chǔ)上，引導學生逐步建構(gòu)概念，為學生數(shù)學思想方法的形成打下基礎(chǔ)。利用多媒體課件,精心構(gòu)建學生自主探究的教學平臺,啟發(fā)引導學生觀察,想象,思考,實踐,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、突破學生認知上的困難，讓學生體驗問題解決的思維過程，獲得知識,體驗成功。主要采用探究實踐、啟發(fā)與講練相結(jié)合。 2. 學法分析 從知識上看，學生已掌握了一些橢圓圖形的實物與實例，對曲線和方程的概念有了一些了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步的認識。 從學生現(xiàn)有的學習能力看，通過一年多的學習，學生已具備了一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經(jīng)驗，在一定程度

3、上具備了抽象、概括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力。 從學生的學習心理上看，學生頭腦中雖有一些橢圓的實物實例，但并沒有上升為“概念”的水平，如何給橢圓以數(shù)學描述?　如何“定性”“定量”地描述橢圓是學生關(guān)注的問題，也是學習的重點問題。他們渴望將感性認識理性化，渴望通過自己動手作圖、觀察來辨析和完善概念，通過對比產(chǎn)生頓悟，渴望獲得這種學習的積極心向是學生學好本節(jié)課的情感基礎(chǔ)。 3.教學目標 知識與技能：掌握橢圓的定義；理解橢圓標準方程的推導過程，掌握橢圓標準方程的兩種形式，會運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程。 過程與方法：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，逐步提高學生的觀察、分析、歸納、類比、概括能

4、力；通過橢圓標準方程的推導，進一步掌握求曲線方程的一般方法——坐標法，并滲透數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法。 情感、態(tài)度與價值觀：通過課堂活動參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生審美情趣，培養(yǎng)學生勇于探索的精神。 4.教學重點與難點 重點：橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式 難點：橢圓的標準方程的建立和推導教學方法 5.教學準備 通過百度搜索與橢圓有關(guān)的圖片資料，利用百度搜索相關(guān)的教學資料制作多媒體課件，自制教具：繪圖板、圖釘、細繩。 三、教學過程 教學環(huán)節(jié) 教師活動 學生活動 設(shè)計意圖 創(chuàng)設(shè)情景 引入新課

5、 情景1：用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，截面為圓形．當端起水杯喝水時，水杯傾斜，再觀察水平面，此時截面為橢圓形．（演示） 問題1：聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形？ 情景2： 問題2：（1）圓是怎么畫出來的？ （2）圓的定義是什么？ （3）圓的標準方程是什么形式的？ 猜想：1、橢圓是怎么畫出來的？2、橢圓的定義是什么？3、橢圓的標準方程又是什么形式？ 學生觀察 學生舉例 學生思考后回答。

6、 引入生活情境激發(fā)學生的學習欲望，自然引入新課，同時與其實際相聯(lián)系，拓寬學生思維，發(fā)展他們聯(lián)想、類比能力。 使學生在感嘆祖國科技輝煌發(fā)展的氛圍中認識橢圓。 用類比的思想，通過已經(jīng)學過的圓的知識猜想橢圓，開展后續(xù)教學。 互動探究 形成概念 探究1 將圓心從一點“分裂”成兩點，給你兩個圖釘，一根無彈性的細繩，一張紙板，能畫出橢圓嗎？ 讓學生自己動手畫圖，使其探究性學習，再提出以下問題： 思考1：在紙板上作圖說明什么？ 思考2：在作圖過程中，有哪些物體的位置沒變？有哪些量沒有變？ 思考3：若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬ξ恢?，所得到的圖形有何變化？ 根據(jù)橢圓畫法，從中歸納橢

7、圓定義——與兩個定點的距離之和為定長（繩長）的點的軌跡為橢圓（繩長大于兩定點間距離）． 動態(tài)演示動點生成軌跡的全過程，印證猜想 同桌同學按照老師的要求合作畫圖，并思考軌跡上的點具備什么特點。 展示學生成果。請學生代表本小組交流探究結(jié)論： 給學生提供一個動手操作，合作學習的機會；通過實驗讓學生去探究“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”；讓每個人都動手畫圖，自己思考問題，由此培養(yǎng)學生的自信心。 互動探究 深化概念 探究2 在繩長不變的情況下，改變兩個圖釘之間的距離，畫出的橢圓有何變化？ 當兩個圖釘重合在一起時，畫出的圖形是什么？ 當兩個圖釘之間

8、的距離等于繩長時，畫出的圖形是什么？ 當兩個圖釘之間固定，能使繩長小于兩個圖釘之間的距離嗎？ 定義：平面內(nèi)與兩個定點距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫橢圓。 教師指出：這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。 思考1：焦點為的橢圓上任一點M，有什么性質(zhì)？ 令橢圓上任一點M，則有 ， 補充：若時，軌跡是線段；若時，無軌跡。 思考2：剛才在畫圖時，大家的繩長是一樣的，但是畫出的橢圓一樣嗎？橢圓的圓扁程度與什么有關(guān)？ F1 F2 M F1 、F2位置越近橢圓愈圓，F(xiàn)1 、F2位置越遠橢圓越扁 利用動畫顯示結(jié)果 學生通

9、過課件觀察變化情況 請學生給出經(jīng)過修改的橢圓定義 學生思考后回答 使學生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識，并逐漸養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W作風 研討探究 推導方程 前面我們已經(jīng)得到橢圓的定義，那么由橢圓定義，我們能不能推導出橢圓的方程。 問題3：求曲線方程的一般步驟是什么？ ①建系、取點；②列式；③代換；④化簡；⑤證明 下面由同學根據(jù)這兩個問題分組討論橢圓方程的求法。（1）要建立橢圓方程應(yīng)該如何建立坐標系？ （2）橢圓上動點M滿足什么條件？ 尤其在化

10、簡過程中，對于根式的處理，學生會感到困難，教師進行提示。 （把學生推導橢圓方程的具有代表性的方法，在實物展臺上投影。） 問題：通過對比學生求出橢圓各種形式的方程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？哪一種方程最簡潔？ 方程（）（☆）叫做橢圓的標準方程。它表示焦點在軸上，焦點坐標為，，其中． （），它也是橢圓的標準方程。 此時，橢圓的焦點在軸上， 焦點坐標為，其中 我們可以發(fā)現(xiàn)，以上兩種方案是最好的。 問：觀察一下焦點分別在x軸、y軸上的橢圓的標準方程，如何根據(jù)方程判斷其焦點在x軸上還是在y軸上？(看分母大小，哪個分母大焦點就在哪一條軸上) 說明： (1)在兩個方程中，總有a>b>

11、0 (2)橢圓的三個參數(shù)a、b、c滿足：即 ，a最大 (3)要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。 學生回答 學生先獨立思考，之后全班交流，確定最后的解決方案，然后分工合作，共同完成，之后再交流。 學生思考后主動發(fā)言回答。 以上三條，盡量由學生總結(jié)出 充分發(fā)揮學生的學習主動性。 通過坐標系的不同選擇，用不同的方法得到不同的方程，通過比較體會曲線的方程的不確定性，理解曲線與方程的關(guān)系，感受恰當選擇坐

12、標系的優(yōu)越性，感受標準方程的簡潔、對稱、和諧之美，并在實踐中通過對比提高決策能力、計算能力、培養(yǎng)學生簡約的思維能力。 培養(yǎng)學生的觀察、分析歸納能力。 例題研討 變式精析 例1.適合下列條件的橢圓的標準方程 (1) a =4，b=1，焦點在 x 軸 (2) a =4，c= ，焦點在 y 軸上 (3)兩個焦點的坐標是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2） 并且經(jīng)過點（ -1.5 ，2.5） 解: (1)因為焦點在x軸上,所以設(shè)所求方程為 ∵ a=4, b=1 ∴ 所求方程為 (2) 因為焦點在y

13、軸上,所以設(shè)所求方程為 ∵ a=4, b=1 ∴ 所求方程為 (3) 因為橢圓的焦點在y軸上,所以設(shè)它的標準方程為 由橢圓的定義知, 所以所求橢圓方程為 例2.我國發(fā)射的神舟八號飛船變軌前，是在以地心F2為一個焦點的橢圓軌道上運行，已知它的近地點B距地面200公里，遠地點A距地面330公里，并且F2、A、B在同一直線上，地球半徑約為6371km，求軌道方程（精確到1km）。 學生獨立完成學生討

14、論 培養(yǎng)學生運用知識解決問題能力 解決情景設(shè)置中的問題 練習檢測 當堂鞏固 1、如果橢圓上一點P到焦點F1距離是6，則點P到另一個焦點F2距離是 。 2、 求適合下列條件的橢圓的標準方程 （1）兩個焦點坐標分別是（0，2），（0，-2），橢圓經(jīng)過點P (2)a+b=10,c= 學生練習 檢測學習成果 總結(jié)概括 課后提升 最后進行課堂小結(jié)，先由學生小組討論，再個別提問，然后集體補充，最后教師才引導和完善。師生應(yīng)共同歸納本節(jié)所學內(nèi)容、知識規(guī)律以及所學的數(shù)學思想和方法。 這一節(jié)課你收獲到了什么？ 布置

15、作業(yè) 層次1 1.教材練習A 3.4題 練習B 第二題 2.你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點嗎？作圖的依據(jù)是什么？根據(jù)你的作圖方法，能找到與之相應(yīng)的方法求出橢圓方法嗎？ 層次2 課后利用深入的對橢圓的相關(guān)知識進行了解。 學生總結(jié)出在知識、數(shù)學思想等方面的收獲 擺脫傳統(tǒng)教學中教師小結(jié)的做法，以表格形式出現(xiàn)，讓學生自己總結(jié)，加深對本節(jié)課內(nèi)容的認識 層次1的目的是強化鞏固本節(jié)內(nèi)容 層次2的目的是激發(fā)學生學習的興趣，提高數(shù)學文化品位。 六、板書設(shè)計 橢圓的標準方程 1、橢圓的定義 2、橢圓的標準方程

16、 （1）、焦點在軸上 （2）、焦點在軸上 橢圓標準方程的推導過程書寫 例1： 例2： （1）詳寫 （2）寫關(guān)鍵步驟 七、教學反思 本節(jié)課整個教學過程為：提出問題——探索——解決問題——歸納反思——提高。在問題的設(shè)計中，從多角度探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯(lián)系，這樣的設(shè)計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成。 本節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動為載體，學生在自覺進入問題情境后，在問題的指引下和老師的指導下，通過實踐、探索、體驗、反思等活動把探究活動層層展開、步步深入，親身經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程。使學生在知識的形成過程中，獲得數(shù)學的情感體驗，享受到成功的樂趣，同時在思想方法運用、思維能力等方面得到提高和發(fā)展。課堂進行中通過實際操作、多媒體課件演示等，激發(fā)學生的學習興趣，使學生讓學生在生生互動、師生互動中把學生的學習過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，希望對學生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)﹑數(shù)學思想的建立﹑心理品質(zhì)的優(yōu)化起到良好的作用。 本節(jié)課學生活動較多，知識拓展較深，運算較困難，因此本節(jié)課不能按預計完成，剩余問題下節(jié)課解決。