高考數(shù)學復(fù)習：第三章 ：第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式突破熱點題型

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式 考點一 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用 　 [例1]　已知α是三角形的內(nèi)角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出來，并求其值． [自主解答]　(1)法一： 聯(lián)立方程 由①得cos α＝－sin α， 將其代入②，整理得 25sin2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形內(nèi)角， ∴∴tan α＝－. 法二：∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝， ∴2sin α

2、cos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－<0且0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝. 由得 ∴tan α＝－. (2)＝＝＝. ∵tan α＝－， ∴＝＝＝－. 【互動探究】 保持本例條件不變，求：(1)； (2)sin2α＋2sin αcos α的值． 解：由例題可知tan α＝－. (1)＝＝＝. (2)sin2α＋2sin αcos α＝＝ ＝＝－.　　　　　 【方法規(guī)律】

3、 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化． (2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 1．已知＝5，則sin2α－sin αcos α的值是(　　) A. B．－ C．－2 D．2 解析：選A　由＝5，得＝5，即tan α＝2. 所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.[來源:數(shù)理化網(wǎng)][來源:] 2．(2014·杭州模擬)已知α∈，tan α＝2，

4、則cos α＝________. 解析：依題意得 由此解得cos2α＝，又α∈，因此cos α＝－. 答案：－ 考點二 誘導公式的應(yīng)用 　 [例2]　(1)(2014·長沙模擬)若cos＝－，則sin＝(　　) A.　　　　　　B．－ C. D．－ (2)已知α為第三象限角， f(α)＝， ①化簡f(α)； ②若cos＝，求f(α)的值． [自主解答]　(1)∵－＝，即α－＝－， ∴sin＝sin＝－sin ＝－cos＝. (2)①f(α)＝＝ ＝－cos α. ②∵cos＝，∴－sin α＝，從而sin

5、α＝－. 又α為第三象限角，∴cos α＝－＝－， ∴f(α)＝. [答案]　(1)A 【互動探究】 在本例(1)的條件下，求cos的值． 解：∵＋＝π，即－α＝π－， ∴cos＝cos＝－cos＝.　　　　　 【方法規(guī)律】 利用誘導公式化簡三角函數(shù)的思路和要求 (1)思路方法：①分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡形式． (2)化簡要求：①化簡過程是恒等變形；②結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值． 已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值． 解：∵

6、cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝. ∴sin(3π＋α)·tan ＝sin(π＋α)· ＝sin α·tan＝sin α· ＝sin α·＝cos α＝. 高頻考點 考點三 兩類公式在化簡與求值中的應(yīng)用　　 1．高考單獨考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導公式的題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度偏小，屬中低檔題． 2．高考對同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導公式在化簡與求值中的應(yīng)用主要有以下幾個命題角度： (1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦． [

7、例3]　(1)(2013·廣東高考)已知sin＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. (2)(2012·遼寧高考)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，則tan α＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 (3)(2011·福建高考)若tan α＝3，則的值等于(　　)[來源:] A．2 B．3 C．4 D．6 (4)(2013·重慶高考)4cos 50°－tan 40°＝

8、(　　) A. B. C. D．2－1 [自主解答]　(1)sin＝sin＝sin＝cos α＝. (2)∵sin α－cos α＝，∴sin＝， ∴sin＝1.[來源:] 又∵0＜α＜π，∴α－＝，α＝，tan α＝－1. (3)＝＝＝2tan α. 又tan α＝3，故＝2tan α＝2×3＝6. (4)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝·＝. [答案]　(1)C　(2)A　(3)D　(4)C 化簡求值問題的常見類型及解題策略

9、 (1)知弦求弦．利用誘導公式及平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求解． (2)知弦求切．常通過平方關(guān)系，對稱式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之間可建立聯(lián)系，注意tan α＝的靈活應(yīng)用． (3)知切求弦．通常先利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為sin α＝tan α·cos α的形式，然后利用平方關(guān)系求解． 1．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos A＝－cos(π－B)，則C等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　∵sin＝3sin(π－A)， ∴cos A＝3sin A，即t

10、an A＝. 又∵A∈(0，π)，∴A＝. 由cos A＝－cos(π－B)，得cos A＝cos B. ∴cos B＝，又B∈(0，π)， ∴B＝.故C＝π－－＝. 2．(2014·金華模擬)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，則＝(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：選D　∵方程3x2－x－2＝0的根為x1＝1，x2＝－， 由題知cos α＝－，所以sin α＝－，tan α＝.[來源:] ∴原式＝＝tan2α＝. ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————

11、— 1個口訣——誘導公式的記憶口訣 　奇變偶不變，符號看象限． 1個原則——誘導公式的應(yīng)用原則 　負化正、大化小、化到銳角為終了． 2個注意點——應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導公式應(yīng)　注意的問題 　(1)利用誘導公式進行化簡求值時，特別注意函數(shù)名稱和符號的確定． (2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號． 3種方法——三角函數(shù)求值與化簡的常用方法 (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦． (2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化． (3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝… 高考數(shù)學復(fù)習精品 高考數(shù)學復(fù)習精品