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第六節(jié) 幾 何 概 型
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)一 與長度有關(guān)的幾何概型
1．與長度有關(guān)的幾何概型是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．
2．高考對(duì)與長度有關(guān)的幾何概型的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：
(1)與線段長度有關(guān)的幾何概型；
(2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型；
(3)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型；
(4)與不等式有關(guān)的幾何概型．
[例1] (1)(2013·福建高考)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1<0”發(fā)生的概率為____
2、____．
(2)在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cos x的值介于0到之間的概率為________．
[自主解答] (1)由3a－1<0，得a<，而0～1的長度為1，故所求概率為.
(2)當(dāng)－≤x≤時(shí)，由0≤cos x≤，得－≤x≤－或≤x≤，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.
[答案] (1) (2)
【互動(dòng)探究】
本例(2)中，若將“cos x的值介于0到”改為“cos x的值介于0到”，則概率如何？
解：當(dāng)－≤x≤時(shí)，
由0≤cos x≤，
得－≤x≤－或≤x≤，
根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.
與長度有關(guān)的幾何概型的常見類型及解題策略
(1
3、)與線段長度有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式求解，直接利用兩線段的長度之比即可．
(2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式，求曲線的長度之比即可．
(3)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式，求時(shí)間段之比即可．
(4)與不等式有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式，求兩實(shí)數(shù)之間距離之比即可．
1．(2013·湖北高考)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________.
解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得＝，解得m＝3.
答案：3
2
4、．已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝，在集合A中任取一個(gè)元素x，則事件“x∈A∩B”的概率是________．[來源:]
解析：由題意得A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|2<x<3}，由幾何概型知，在集合A中任取一個(gè)元素x，則x∈A∩B的概率為P＝.
答案：
考點(diǎn)二
與面積有關(guān)的幾何概型 [來源:]
[來源:]
[例2] (1)(2013·陜西高考)如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號(hào)的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號(hào)來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選
5、一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號(hào)的概率是( )
A．1－ B.－1 C．2－ D.
(2)(2013·四川高考)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是( )
A. B. C. D.
[自主解答] (1)依題意知，有信號(hào)的區(qū)域面積為×2＝，矩形面積為2，故無信號(hào)的概率P＝＝1－.
(2)設(shè)第一串彩燈亮的時(shí)刻為x，第
6、二串彩燈亮的時(shí)刻為y，則
要使兩串彩燈亮的時(shí)刻相差不超過2秒，則
如圖所示，不等式組所表示的圖形面積為16，不等式組所表示的六邊形OABCDE的面積為16－4＝12，
由幾何概型的概率公式可得P＝＝.
[答案] (1)A (2)C
【方法規(guī)律】
求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)
求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，以求面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．
1．(2014·邛崍模擬)已知一個(gè)三角形的三邊長分別是5,5,6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時(shí)刻該螞蟻
7、距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2的概率是( )
A．2－ B．1－ C．2－ D．1－
解析：
選B 如圖，當(dāng)螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2時(shí)，螞蟻要在圖中的空白區(qū)域內(nèi)，△ABC為等腰三角形，假設(shè)AB＝AC＝5，易知AD＝4，△ABC的面積是12，由于三角形內(nèi)角和等于π，圖中的三個(gè)扇形的面積之和等于一個(gè)半徑為2的圓的面積的一半，即三個(gè)扇形的面積之和等于2π，故空白區(qū)域的面積是12－2π，所求的概率為＝1－.
2．已知平面區(qū)域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向區(qū)域U內(nèi)隨
8、機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為________．
解析：
依題意可在平面直角坐標(biāo)系中作出集合U與A所表示的平面區(qū)域(如圖)，由圖可知SU＝18，SA＝4，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為P＝＝.
答案：
考點(diǎn)三
與角度有關(guān)的幾何概型
[例3] 如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率．
[自主解答] 因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.
在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，所以BD＝＝1，∠BAD
9、＝30°.
記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生．
由幾何概型的概率公式，得P(N)＝＝.
【互動(dòng)探究】
若本例中“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，求BM<1的概率．[來源:]
解：依題意知BC＝BD＋DC＝1＋，
P(BM<1)＝＝.
【方法規(guī)律】
與角度有關(guān)的幾何概型
當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段．
提醒：有時(shí)與長度或角度有關(guān)的幾何
10、概型，題干并不直接給出，而是將條件隱藏，與其他知識(shí)綜合考查．
1. 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________．
解析：如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為＝.
答案：
2．如圖，M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長度超過R的概率是________．
解析：連接圓心O與M點(diǎn)，作弦MN使∠MON＝90°，這樣的
點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為N1，N2，僅當(dāng)點(diǎn)N在不包含點(diǎn)M的半圓弧上取值時(shí)，滿足MN>
11、;R，此時(shí)∠N1ON2＝180°，故所求的概率為＝.
答案：[來源:]
————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1條規(guī)律——對(duì)幾何概型概率公式中“測度”的認(rèn)識(shí)
幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法．
2種方法——判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法
(1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系．
(2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域．
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第六節(jié)幾何概型突破熱點(diǎn)題型
