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第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示
[全盤鞏固]
1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與4b－2a平行，則實數x的值是( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
解析：選D 依題意得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)．∵a＋b與4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(x＋1)，解得x＝2.
2．(2014朝陽模擬)在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為( )
A. B. C. D．1
解析
2、：選A ∵M為邊BC上任意一點，
∴可設＝x＋y (x＋y＝1)．[來源:][來源:]
∵N為AM中點，
∴＝＝x＋y＝λ＋μ.
∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
3．(2014西安模擬)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構成三角形，則實數k應滿足的條件是( )
A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1
解析：選C 若點A，B，C不能構成三角形，則向量，共線，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.
4．(
3、2014嘉興模擬)若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標，現已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標為( )
A．(2,0) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2)
解析：選D 由題意，a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)．
設a在基底m，n下的坐標為(λ，μ)，則
a＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)＝(2,4)．
故解得即坐標為(0,2)．
5．設點A(2,
4、0)，B(4,2)，若點P在直線AB上，且||＝2||，則點P的坐標為( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．無數多個
解析：選C 設P(x，y)，由點P在直線AB上，且||＝2||，得＝2，或＝－2，而＝(2,2)，＝(x－2，y)，故(2,2)＝2(x－2，y)，解得x＝3，y＝1，此時點P的坐標為(3,1)；或(2,2)＝－2(x－2，y)，解得x＝1，y＝－1，此時點P的坐標為(1,－1)．
6．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連
5、能構成四邊形，則向量d為( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析：選D 設d＝(x，y)，由題意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．
7．已知A(－3,0)，B(0，)，O為坐標原點，C在第二象限，且∠AOC＝30，＝λ＋，則實數λ的值為________．
解析：由題意知＝(－3,0)，＝(0，)，則＝(－3
6、λ，)，由∠AOC＝30知以x軸的非負半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150，則tan 150＝，
即－＝－，故λ＝1.
答案：1
8．在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知點A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點的坐標為________．
解析：由條件中的四邊形ABCD的對邊分別平行，可以判斷該四邊形ABCD是平行四邊形．設D(x，y)，則有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D點的坐標為(0，－2)．
答案：(0，－2)
9. (2014金華模擬)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上
7、的一點，若＝m＋，則實數m的值為________．
解析：因為＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝(1－k) ＋，k為實數，且＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.
答案：
10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數λ使ka＋b＝λ(a－3b)，
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得
解得k＝λ＝－，[來源:]
∴當k＝－時，ka＋b與a
8、－3b平行，
這時ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∵λ＝－<0，∴ka＋b與a－3b反向．
11．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：
(1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？
(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由．
解：(1) ＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若P在x軸上，則2＋3t＝0，∴t＝－；
若P在y軸上，則1＋3t＝0，∴t＝－；
若P在第二象限，則
∴－
9、OABP不能成為平行四邊形．
12．平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k；
(3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.
解：(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
∴得
(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，k＝－.
(3)設d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
由題意得
得或故d＝(3，－1)或(5,3)．
[沖擊名校
10、]
1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，則cos A的值等于( )
A. B. C. D.
解析：選C m∥n?(b－c)cos A－acos C＝0，再由正弦定理得 sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A?sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝.
2．已知A(7,1)、B(1,4)，直線y＝ax與線段AB交于C，且＝2，則實數a等于( )
A．2 B．1 C. D.
解析：
11、選A 設C(x，y)，則＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，∴
解得∴C(3,3)．
又∵C在直線y＝ax上，
∴3＝a3，∴a＝2.
[高頻滾動]
1．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿足＋＋＝，則點P與△ABC的關系為( )
A．P在△ABC內部
B．P在△ABC外部[來源:數理化網][來源:]
C．P在AB邊所在直線上
D．P是AC邊的一個三等分點
解析：選D ∵＋＋＝，
∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，
∴P是AC邊的一個三等分點．
2.如圖，在△ABC中，點O是BC的中點．過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為________．
解析：連接AO，則＝(＋)＝＋，
∵M，O，N三點共線，∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
答案：2
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高考數學復習：第四章 ：第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示演練知能檢測
