河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第3章函數(shù)及其圖像第5節(jié)二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)精講試題

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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 第五節(jié)　二次函數(shù)的圖像及性質(zhì) 河北五年中考命題規(guī)律 年份 題號(hào) 考查點(diǎn) 考查內(nèi)容 分值 總分 2017 15 二次函數(shù)的圖像 二次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)的圖像綜合應(yīng)用 2 2 2016 26 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 以二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像為背景，以動(dòng)線、動(dòng)點(diǎn)形式確定交點(diǎn)的取值范圍 12 12 2015 25 二次函數(shù)表達(dá)式的確定及性質(zhì) 給出三點(diǎn)坐標(biāo)：(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；(2)比較兩點(diǎn)函數(shù)值的大小；(3)給出線段被分的比，求頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) 11 11 2014 24 二次函數(shù)表達(dá)式的確定及圖像的

2、平移規(guī)律 以平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)圖為背景：(1)求二次函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求二次函數(shù)表達(dá)式并判斷點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上；(3)寫出滿足經(jīng)過九個(gè)格點(diǎn)中的三個(gè)的所有拋物線條數(shù) 11 11 2013 20 二次函數(shù)的圖像及性質(zhì) 以二次函數(shù)圖像旋轉(zhuǎn)為背景，求某段函數(shù)圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo) 3 3 命題規(guī)律 二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)在中考中一般設(shè)置1道題，分值為2～11分，在選擇、填空和解答題中均有涉及．縱觀河北近五年中考，本課時(shí)常考類型有：(1)二次函數(shù)表達(dá)式的確定；(2)二次函數(shù)圖像的分析與判斷；(3)二次函數(shù)圖像及性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算；(4)以二次函數(shù)、反比例函數(shù)為背景，探究動(dòng)線、動(dòng)點(diǎn)

3、問題. 河北五年中考真題及模擬) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　二次函數(shù)的圖像及性質(zhì) 1. (2017河北中考)如圖，若拋物線y＝－x2＋3與x軸圍成封閉區(qū)域(邊界除外)內(nèi)整點(diǎn)(點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù))的個(gè)數(shù)為k，則反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖像是(　D　) ,A) ,B) ,C) ,D) 2．(2017石家莊中考模擬)二次函數(shù)y＝－2(x－3)2－6圖像的對(duì)稱軸和最值分別為(　B　) A．直線x＝－3

4、，6 B．直線x＝3，6 C．直線x＝－3，－6 D．直線x＝3，－6 3．(2017保定中考模擬)已知兩點(diǎn)A(－5，y1)，B(3，y2)均在拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上，點(diǎn)C(x0，y0)是該拋物線的頂點(diǎn)．若y1＞y2≥y0，則x0的取值范圍是(　B　) A．x0＞－5 B．x0＞－1 C．－5＜x0＜－1 D．－2＜x0＜3 4．(2016石家莊四十三中一模)已知二次函數(shù)y＝2(x－3)2＋1.下列說法：①其圖像的開口向下；②其圖像的對(duì)稱軸為直線x＝－3；③其圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－1)；④當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而減?。渲姓f法正確的有(　A　) A．

5、1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 5．(2017唐山中考模擬)某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像時(shí)，列出了下面的表格： x … －2 －1 0 1 2 … y … －11 －2 1 －2 －5 … 由于粗心，他算錯(cuò)了其中一個(gè)y值，則這個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)值是(　D　) A．－11 B．－2 C．1 D．－5 　二次函數(shù)表達(dá)式的確定 6．(2016保定十七中模擬)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，四個(gè)全等的小正方形的對(duì)稱中心分別在正方形ABCD的頂點(diǎn)上，且它們的各邊與正方形ABCD各邊平行或垂直．若小正方形的邊長(zhǎng)為x，且0＜

6、x≤10，陰影部分的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖像是(　D　) ,A),B),C),D) 7．(2017保定中考模擬)若將拋物線y＝2x2向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得的拋物線是(　C　) A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－1 C．y＝2(x＋1)2 D．y＝2(x－1)2 8．(2016保定十七中一模)已知拋物線y＝x2－x－1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(m，0)，則代數(shù)式m2－m＋2 015的值為__2__016__． 9．(2015河北中考)如圖，已知點(diǎn)O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，拋物線l：y＝－(x－h(huán))2＋1(h為常數(shù))與y軸的交點(diǎn)為C. (

7、1)l經(jīng)過點(diǎn)B，求它的表達(dá)式，并寫出此時(shí)l的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)； (2)設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yC，求yC的最大值，此時(shí)l上有兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比較y1與y2的大?。? (3)當(dāng)線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1∶4時(shí)，求h的值． 解：(1)把x＝2，y＝1代入y＝－(x－h(huán))2＋1，得h＝2.∴表達(dá)式為y＝－(x－2)2＋1(或y＝－x2＋4x－3)．對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)B(2，1)； (2)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，則yC＝－h(huán)2＋1，∴當(dāng)h＝0時(shí)，yC有最大值為1.此時(shí)，l為y＝－x2＋1，對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x≥0時(shí)，y隨著x的增大而減小，∴x

8、1＞x2≥0時(shí)，y1＜y2； (3)把OA分1∶4兩部分的點(diǎn)為(－1，0)或(－4，0)．把x＝－1，y＝0代入y＝－(x－h(huán))2＋1，得h＝0或h＝－2.但h＝－2時(shí)，OA被分為三部分，不合題意，舍去．同樣，把x＝－4，y＝0代入y＝－(x－h(huán))2＋1，得h＝－5或h＝－3(舍去)．∴h的值為0或－5. 10．(2014河北中考)如圖，2×2網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)中有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，O九個(gè)格點(diǎn)．拋物線l的表達(dá)式為y＝(－1)nx2＋bx＋c(n為整數(shù))． (1)n為奇數(shù)，且l經(jīng)過點(diǎn)H(0，1)和C(2，1)，求b，c的值，并直接寫出哪個(gè)格點(diǎn)是該拋物

9、線的頂點(diǎn)； (2)n為偶數(shù)，且l經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)和B(2，0)，通過計(jì)算說明點(diǎn)F(0，2)和H(0，1)是否在該拋物線上； (3)若l經(jīng)過這九個(gè)格點(diǎn)中的三個(gè)，直接寫出所有滿足這樣條件的拋物線條數(shù)． 解：(1)n為奇數(shù)時(shí)，y＝－x2＋bx＋c. ∵l經(jīng)過點(diǎn)H(0，1)和C(2，1)， ∴解得 ∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋1， ∴y＝－(x－1)2＋2， ∴頂點(diǎn)為格點(diǎn)E(1，2)； (2)n為偶數(shù)時(shí)，y＝x2＋bx＋c， ∵l經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)和B(2，0)． ∴解得 ∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－3x＋2， 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2， ∴點(diǎn)F(0，2)在拋物線y＝x

10、2－3x＋2的圖像上，點(diǎn)H(0，1)不在拋物線y＝x2－3x＋2的圖像上；(3)所有滿足條件的拋物線共有8條． 中考考點(diǎn)清單 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　二次函數(shù)的概念及表達(dá)式 1．定義：一般地，如果兩個(gè)變量x和y之間的函數(shù)關(guān)系，可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)，那么稱y是x的二次函數(shù)，其中，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，

11、b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)． 2．三種表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)； (3)交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 3．三種表達(dá)式之間的關(guān)系 頂點(diǎn)式一般式兩點(diǎn)式 4．二次函數(shù)表達(dá)式的確定： (1)求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法一般用待定系數(shù)法，根據(jù)所給條件的不同，要靈活選用函數(shù)表達(dá)式； ①當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c形式； ②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，通常設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x

12、－h(huán))2＋k形式； ③當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)為兩點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)． (2)步驟： ①設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式； ②根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組； ③解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的表達(dá)式． 　二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì) 二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)近五年考查三大題型均有涉及．結(jié)合的背景有：(1)與規(guī)律探索結(jié)合的旋轉(zhuǎn)拋物線；(2)以兩個(gè)拋物線結(jié)合為背景；(3)與正方形結(jié)合． 設(shè)問方式有：(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)判斷結(jié)論的正誤；(3)判斷不符合條件的函數(shù)圖像；(4)求表達(dá)式；(5)求最值． 5．圖像性質(zhì) 函數(shù) 二次函數(shù)y＝ax2＋b

13、x＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 圖像 續(xù)表 對(duì)稱軸 直線x＝__－__ 直線x＝－ 頂點(diǎn) 坐標(biāo) 增減性 在對(duì)稱軸的左側(cè)，即x＜－時(shí)，y隨x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞－時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記為“左減右增” 在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜－時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞－時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記為“左增右減” 最值 拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)__x＝－__時(shí)，y有最小值，y最小值＝ 拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x＝－時(shí)，y有最大值，y最大值＝____ 6.系數(shù)a，b，c與二次函數(shù)的圖像關(guān)系 項(xiàng)目字母 字母的符號(hào) 圖像的特

14、征 a a＞0 開口向上 a＜0 __開口向下__ b b＝0 對(duì)稱軸為y軸 ab＞0(b與a同號(hào)) 對(duì)稱軸在y軸左側(cè) ab＜0(b與a異號(hào)) 對(duì)稱軸在y軸右側(cè) c c＝0 __經(jīng)過原點(diǎn)__ c＞0 與y軸正半軸相交 c＜0 與y軸負(fù)半軸相交 b2－4ac b2－4ac＝0 與x軸有唯一交點(diǎn)(頂點(diǎn)) b2－4ac＞0 與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn) b2－4ac＜0 與x軸沒有交點(diǎn) 特殊 關(guān)系 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a＋b＋c 當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝a－b＋c

15、 若a＋b＋c＞0，即x＝1時(shí)，y＞0 若a－b＋c＞0，即x＝－1時(shí)，y＞0 　二次函數(shù)圖像的平移 7．平移步驟： (1)將拋物線表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； (2)保持拋物線的形狀不變，平移頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k)即可． 8．平移規(guī)律： 移動(dòng)方向 平移前的表達(dá)式 平移后的表達(dá)式 規(guī)律 向左平移 m個(gè)單位長(zhǎng)度 y＝a(x－h(huán))2＋k y＝a(x－h(huán)＋m)2＋k 左加 向右平移 m個(gè)單位長(zhǎng)度 y＝a(x－h(huán))2＋k y＝a(x－h(huán)－m)2＋k 右減 向上平移 m個(gè)單位長(zhǎng)度 y＝a(x－h(huán))2＋k

16、y＝a(x－h(huán))2＋k＋m 上加 續(xù)表 移動(dòng)方向 平移前的表達(dá)式 平移后的表達(dá)式 規(guī)律 向下平移 m個(gè)單位長(zhǎng)度 y＝a(x－h(huán))2＋k y＝a(x－h(huán))2＋k－m 下減 口訣：左加右減、上加下減 　二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 9．當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 10．當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． 11．當(dāng)拋物線與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程無實(shí)數(shù)根． ,中考重難點(diǎn)突破 　 　　　　　 　　　　　

17、 　　　　 　二次函數(shù)的圖像及性質(zhì) 【例1】(2017孝感中考)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝cx＋a在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖像是(　B　) ,A) ,B) ,C) ,D) 【解析】∵y＝ax2＋bx＋c的圖像的開口向下，∴a<0，∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，∴b>0，與y軸正半軸相交，∴c>0，∴反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三象限，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限．故選B. 【答案】B 1．(2017廣州中考)a≠0，函數(shù)y＝與y＝－ax2＋a在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖像可能是(　D　) ,A) ,

18、B) ,C) ,D) 　拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與a，b，c的關(guān)系 【例2】(2017日照中考)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，其部分圖像如圖所示，下列結(jié)論： ①拋物線過原點(diǎn)； ②4a＋b＋c＝0； ③a－b＋c＜0； ④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，b)； ⑤當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x增大而增大． 其中結(jié)論正確的是(　B　) A．①②③　　B．③④⑤　　C．①②④　　D．①④⑤ 【解析】由對(duì)稱軸為直線x＝2和點(diǎn)(4，0)可判斷①；由對(duì)稱軸為直線x＝2可得b＝－4a，又c＝0可判斷②；當(dāng)x＝－1時(shí)，

19、y＝a－b＋c，可判斷③；觀察圖像即可判斷④；由函數(shù)增減性可判斷⑤. 【答案】C 2．(煙臺(tái)中考)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①4ac<b2；②a＋c>b；③2a＋b>0.其中正確的有(　B　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ (第2題圖) 　　　(第3題圖) 3．(蘭州中考)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝－1，有以下結(jié)論：①abc>0；②4ac<b2；③2a＋b＝0；④a－b＋c>2.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　C　)

20、 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 　二次函數(shù)表達(dá)式的確定 【例3】(2016承德二中模擬)如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像過A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三點(diǎn)． (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式； (2)設(shè)二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (3)在同一坐標(biāo)系中畫出直線y＝x＋1，并寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值． 【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像過A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三點(diǎn)，代入得出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，求得a，b，c，從而得出二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)令y＝

21、0，解一元二次方程，求得x的值，從而得出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)畫出圖像，再根據(jù)圖像直接得出答案． 【答案】解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像過A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三點(diǎn)，∴ ∴∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2－x－1； (2)當(dāng)y＝0時(shí)，得x2－x－1＝0， 解得x1＝2，x2＝－1， ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(－1，0)； (3)圖像如圖所示，當(dāng)一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是－1＜x＜4. 4．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A(－3，0)和B(1，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)C，D是二次函數(shù)圖像上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖像過點(diǎn)B，D. (1)請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求二次函數(shù)的表達(dá)式； (3)根據(jù)圖像直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍． 解：(1)D(－2，3)； (2)設(shè)表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c，將A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)代入，得 解得 ∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3； (3)x＜－2或x＞1.