河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第4章圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形四邊形第3節(jié)等腰三角形與直角三角形精講試題

《河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第4章圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形四邊形第3節(jié)等腰三角形與直角三角形精講試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第4章圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形四邊形第3節(jié)等腰三角形與直角三角形精講試題（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 第三節(jié)　等腰三角形與直角三角形 河北五年中考命題規(guī)律 年份 題號(hào) 考查點(diǎn) 考查內(nèi)容 分值 總分 2017 25 (1) (2) 直角三角形的性質(zhì) 以動(dòng)點(diǎn)、平行四邊形為背景，考查勾股定理 8 8 2016 16 等邊三角形的判定 已知特殊角平分線上一定點(diǎn)，在角兩邊找兩點(diǎn)與定點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形 2 2 2015 20 等腰三角形的性質(zhì) 以等腰三角形為背景，求角度 3 3 2014年未考查 2013 13 等邊三角形的性質(zhì) 以兩個(gè)等邊三角形與正方形結(jié)合為背景，求兩角度之和 3 3 命題規(guī)律 對(duì)

2、于本課時(shí)內(nèi)容，中考中一般設(shè)置1道題，分值為2～8分，題型涉及選擇和解答題．縱觀近五年河北中考試題，本課時(shí)的常考類型有：(1)等邊三角形的相關(guān)計(jì)算；(2)直角三角形的相關(guān)計(jì)算；(3)找符合條件的等邊三角形. 河北五年中考真題及模擬　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　等腰三角形的性質(zhì)和相關(guān)計(jì)算 1．(2016河北中考)如圖，∠AOB＝120，OP平分∠AOB，且OP＝2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有(　D　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．3個(gè)以上 (第1題圖) 　　　(第2題圖) 2．(2013河

3、北中考)一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若∠3＝50，則∠1＋∠2＝(　B　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A．90 B．100 C．130 D．180 3．(2016秦皇島二模)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120，BC＝6 cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長(zhǎng)為(　C　) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm (第3題圖) 　　　(第4題圖) 　直角三角形的性質(zhì)、判定及相關(guān)計(jì)算 4．(2017保定中考模擬)已知：如圖，△ABC是等邊三角形

4、，四邊形BDEF是菱形，其中線段DF的長(zhǎng)與DB相等．將菱形BDEF繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)． 甲、乙兩位同學(xué)發(fā)現(xiàn)在此旋轉(zhuǎn)過程中，有如下結(jié)論． 甲：線段AF與線段CD的長(zhǎng)度總相等； 乙：直線AF和直線CD所夾的銳角的度數(shù)不變； 那么，你認(rèn)為(　A　) A．甲、乙都對(duì) B．乙對(duì)甲不對(duì) C．甲對(duì)乙不對(duì) D．甲、乙都不對(duì) 5．(2016廊坊二模)下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是(　B　) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 6．(2017唐山模擬)如圖，△ABC中，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BE⊥AC.若DE＝10，AE＝16，則

5、BE的長(zhǎng)度為(　C　) A．10 B．11 C．12 D．13 (第6題圖) 　　　(第7題圖) 7．(2017石家莊中考模擬)如圖，在△ABC中，∠B＝45，∠C＝60，且AB＝，M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM，P為AM的中點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)(　D　) A．1＋ B．1－ C.＋ D. 8．(2016保定育德中學(xué)二模)一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為(　D　) A．5 B. C. D．5或 9．(2017石家莊中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠BAC＝30，AB＝4，點(diǎn)M是直角邊A

6、C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BM，并將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段BN，連接CN.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段CN長(zhǎng)度的最大值是__4__，最小值是__2__． ,中考考點(diǎn)清單 　等腰三角形的性質(zhì)與判定 1．等腰三角形 定義 有兩邊相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊叫腰，第三邊為底 性質(zhì) (1)等腰三角形兩腰相等(即AB＝AC)； (2)等腰三角形的兩底角__相等__(即∠B＝__∠C__)； (3)等腰(不是等邊)三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸； (4)等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高和底邊的中線互相重合； (5)面積：

7、 S△ABC＝BCAD 判定 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形，其中，兩個(gè)相等的角所對(duì)的邊相等(簡(jiǎn)稱“__等角對(duì)等邊__”) 2.等邊三角形 定義 三邊相等的三角形是等邊三角形 性質(zhì) (1)等邊三角形三邊相等(即AB＝BC＝AC)； (2)等邊三角形三角相等，且每一個(gè)角都等于__60__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60__)； (3)等邊三角形內(nèi)、外心重合； (4)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸； (5)面積：S△ABC＝BCAD 判定 (1)三邊都相等的三角形是等邊三角形； (2)三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形； (3)有一個(gè)角是6

8、0的等腰三角形是等邊三角形 　直角三角形的性質(zhì)與判定 3．直角三角形 定義 有一個(gè)角等于90的三角形叫做直角三角形 性質(zhì) (1)直角三角形的兩個(gè)銳角之和等于__90__； (2)直角三角形斜邊上的__中線__等于斜邊的一半(即BD＝AC)； (3)直角三角形中__30__角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半(即AB＝AC)； (4)勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c2； (5)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30 判定 (1)有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形； (2)一條邊的中線等于這條

9、邊的一半的三角形是直角三角形； (3)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形 4.等腰直角三角形 定義 頂角為90的等腰三角形是等腰直角三角形 性質(zhì) 等腰直角三角形的頂角是直角，兩底角為45 判定 (1)用定義判定； (2)有兩個(gè)角為45的三角形是等腰直角三角形 ,中考重難點(diǎn)突破　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　等腰三角形的相關(guān)計(jì)算 【例1】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為50，則底角∠B＝________. 【解析】由垂直平分線可得∠AED＝90，在Rt△ADE中由兩銳角互余可求∠A，在等腰三角形中由兩底角

10、相等，即可求得．在等腰三角形中，只要知道其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，如果題中沒有確定這個(gè)內(nèi)角是頂角還是底角，必須分成兩種情況來討論．此題的兩種情況如圖所示： 【答案】70或20 1．(2017天津中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于BP＋EP最小值的是(　B　) A．BC B．CE C．AD D．AC (第1題圖) 　　(第2題圖) 2．(2017濱州中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點(diǎn)，且DA＝DC，BD＝BA，則∠B的大小為(　B　) A．40

11、 B．36 C．80 D．25 　等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定 【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，則BC＝________cm. 【解析】如圖，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)M，由AB＝AC，AD是∠BAC的平分線可得AM⊥BC，BM＝MC＝BC，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)N，則△BEN是等邊三角形，從而求出DN的長(zhǎng)，利用在直角三角形中，30的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出MN的長(zhǎng)，進(jìn)而求BM，BC的值． 【答案】8 3．(2017臺(tái)州中考)如圖，已知等腰三角形ABC，AB＝A

12、C，若以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是(　C　) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE (第3題圖) 　　(第4題圖) 4．(2017南充中考)如圖，等邊△OAB的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　D　) A．(1，1) B．(，1) C．(，) D．(1，) 5．(2017張家口中考模擬)如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝106，EF，MN分別是AB，AC的垂直平分線，E，M在BC上，則∠EAM等于(　B　) A．58 B．32 C．36 D．34 (第5題圖) 　　(第6題

13、圖) 6．已知：如圖，在△ABC中，∠BCD＝12，∠B＝63，AD平分∠BAC，CD⊥AD，則∠ACD＝__75__． 【例3】已知：如圖，在△ABC中，AD既是△ABC的中線，又是角平分線，求證：△ABC是等腰三角形． 【解析】由已知條件入手，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，依據(jù)三角形全等的判定之一“邊角邊”證明兩個(gè)三角形全等，從而得出結(jié)論． 【答案】證明：延長(zhǎng)AD到A′，使A′D＝AD，連接A′B. ∵AD是△ABC的中線和角平分線， ∴AD平分∠BAC，BD＝CD， ∴∠BAD＝∠CAD. 在△ADC和△A′DB中， ∴△ADC≌△A′DB， ∴AC＝A

14、′B，∠DAC＝∠DA′B. ∵∠DAB＝∠DAC， ∴∠DAB＝∠DA′B， ∴BA＝BA′. ∵AC＝A′B， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 7．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB與DC不平行，∠C＝90，E為CD中點(diǎn)，∠FAE＝∠DAE，點(diǎn)F在直線BC上，求∠AEF的度數(shù)． 解：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G. ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECG， △DAE＝∠G. ∵E為DC中點(diǎn)， ∴DE＝CE， ∴∠ADE≌△GCE， ∴AE＝GE. ∵∠FAE＝∠DAE， ∴∠FAE＝∠G， ∴FA＝FG， ∴∠AEF＝90. 　直角

15、三角形的性質(zhì)、判定和勾股定理 【例4】如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90，D為BC上任意一點(diǎn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，DE⊥AC于點(diǎn)E，M為BC的中點(diǎn)，連接EM，F(xiàn)M，給出以下五個(gè)結(jié)論：①AF＝CE；②AE＝BF；③△EFM是等腰直角三角形；④S四邊形AEMF＝S△ABC；⑤EF＝BM＝MC.當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)D不與B，C重合)，上述結(jié)論中始終正確的有(　　　) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【解析】連接AM，易證AE＝DF＝BF，AF＝DE＝CE，△AME≌△BMF，∴ME＝MF，∠AME＝∠BMF，∴△EMF是等腰直角三角形．S四邊形AEMF＝S△AF

16、M＋S△AEM＝S△AFM＋S△BFM＝S△ABM＝S△ABC，但是EF與BM不一定相等，只有四邊形AFME為矩形時(shí)，EF＝BM. 【答案】C 8．(株洲中考)如圖，以直角三角形a，b，c為邊，向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形個(gè)數(shù)有(　D　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 9．(2017蘇州中考)如圖，在一筆直的沿湖道路l上有A，B兩個(gè)游船碼頭，觀光島嶼C在碼頭A北偏東60的方向，在碼頭B北偏西45的方向，AC＝4 km.游客小張準(zhǔn)備從觀光島嶼C乘船沿CA回到碼頭A或沿CB回到碼頭B，設(shè)開往碼頭A，B的游船速度分別為v1，v2，若回到A，B所用時(shí)間相等，則＝____．(結(jié)果保留根號(hào)) 10．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝5，BC＝12，AD＝9，CD＝5，求四邊形ABCD的面積． 解：連接AC. ∵AB⊥BC，∴∠B＝90， ∴AC＝＝＝13. ∵在△ACD中， AC2＋AD2＝132＋92＝169＋81＝250， CD2＝(5)2＝250， ∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠DAC＝90， ∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝BCAB＋ADAC ＝125＋913 ＝.