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第三節(jié) 分式方程及應(yīng)用
河北五年中考命題規(guī)律
年份
題號(hào)
考查點(diǎn)
考查內(nèi)容
分值
總分
2017
13
分式方程
用分式方程的形式考查分式計(jì)算
2
2
2016
12
列分式方程
以選擇題的形式考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題列出分式方程的能力
2
2
2015、2014年未考查
2013
7
分式方程的實(shí)際應(yīng)用
以修路為背景，考查分式方程的應(yīng)用
3
3
命題規(guī)律
縱觀河北近五年中考，分式方程的解法考查了1次，分式方程的應(yīng)用考查了2次，在分式方程及應(yīng)用考點(diǎn)中，最多設(shè)1道題，分值2～8分．題型有選擇、解答題兩
2、種，難度不大.
河北五年中考真題及模擬
解分式方程
1．(2017河北中考)若＝________＋，則________中的數(shù)是( B )
A．－1 B．－2 C．－3 D．任意實(shí)數(shù)
分式方程的實(shí)際應(yīng)用
2．(2016河北中考)在求3x的倒數(shù)的值時(shí)，嘉淇同學(xué)將3x看成了8x，她求得的值比正確答案小5.依上述情形，所列關(guān)系式成立的是( B )
A.＝－5 B.＝＋5
C.＝8x－5 D.＝8x＋5
3．(2013河北
3、中考)甲隊(duì)修路120 m與乙隊(duì)修路100 m所用天數(shù)相同，已知甲隊(duì)比乙隊(duì)每天多修10 m，設(shè)甲隊(duì)每天修路x m．依題意，下面所列方程正確的是( A )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．(2016邯鄲二十五中模擬)端午節(jié)前夕，小東的父母準(zhǔn)備購買若干個(gè)粽子和咸鴨蛋(每個(gè)粽子的價(jià)格相同，每個(gè)咸鴨蛋的價(jià)格相同)．已知粽子的價(jià)格比咸鴨蛋的價(jià)格貴1.8元，花30元購買粽子的個(gè)數(shù)與花12元購買咸鴨蛋的個(gè)數(shù)相同．粽子與咸鴨蛋的價(jià)格各是多少？
解：設(shè)咸鴨蛋的價(jià)格是x元，則粽子的價(jià)格是(x＋1.8)元．依題意，得＝.
解得x＝1.2，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1.2是原方程的解．
∴x＋1.8＝3.
答：
4、粽子與咸鴨蛋的價(jià)格分別是3元和1.2元．
,中考考點(diǎn)清單
分式方程的概念
1．分母中含有__未知數(shù)__的方程叫做分式方程．
【溫馨提示】“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判斷一個(gè)方程是否為分式方程的依據(jù)．
分式方程的解法
2．解法步驟：
(1)去分母：將方程兩邊都乘以__最簡公分母__，把它化為整式方程；
(2)解這個(gè)整式方程；
(3)__檢驗(yàn)__．
【溫馨提示】找最簡公分母的方法：
(1)取各分式的分母中各項(xiàng)系數(shù)的最小公倍數(shù)；
(2
5、)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)利用字母(或因式)的冪取指數(shù)最大的；
(4)所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各個(gè)字母(或因式)的最高次冪的積即為最簡公分母．
3．檢驗(yàn)方法：
(1)利用方程的解的概念進(jìn)行檢驗(yàn)；
(2)將解得的整式方程的根代入__最簡公分母__，看計(jì)算結(jié)果__是否為0__，不為0就是原方程的根；若為0，則為增根，必須舍去；
(3)增根：當(dāng)分母的值為0時(shí)，分式方程__無解__，這樣的根叫做分式方程的__增根__．
【溫馨提示】分式方程的增根與無解并非同一個(gè)概念，分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程
6、的根，也是使分式方程的分母為0的根．
分式方程的應(yīng)用
4．列分式方程解應(yīng)用題的六個(gè)步驟：
(1)審：弄清題目中涉及的已知量和未知量以及量與量之間的等量關(guān)系；
(2)設(shè)：設(shè)未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量；
(3)列：根據(jù)等量關(guān)系，列出方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)驗(yàn)：雙檢驗(yàn)．①檢驗(yàn)是否是分式方程的解；②檢驗(yàn)解是否符合題意；
(6)答：寫出答案．
5．常見關(guān)系：
分式方程的應(yīng)用題主要涉及工作量問題、行程問題等，每個(gè)問題中涉及三個(gè)量的關(guān)系．
如：工作時(shí)間＝____，時(shí)間＝____．
【方法點(diǎn)撥】列分式方程解應(yīng)用題時(shí)，要驗(yàn)根作答，不但要
7、檢驗(yàn)是否為方程的增根，還要檢驗(yàn)是否符合題意，即“雙重驗(yàn)根”．
,中考重難點(diǎn)突破
分式方程的解法
【例1】小明解方程－＝1的過程如圖．
解：方程兩邊同乘x，得
1－(x－2)＝1.①
去括號(hào)，得1－x－2＝1.②
合并同類項(xiàng)，得－x－1＝1.③
移項(xiàng)，得－x＝2.④
解得x＝－2.⑤
∴原方程的解為x＝－2.⑥
請(qǐng)指出他解答過程中的錯(cuò)誤．并寫出正確的解答過程．
【解析】本題考查了分式方程的解法，注意：(1)解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，注意，去分母時(shí)切勿漏乘；(2)解分式方程一定要驗(yàn)
8、根．
【答案】解：小明的解法有三處錯(cuò)誤．
步驟①去分母有誤；步驟②去括號(hào)有誤；步驟⑥少檢驗(yàn)．
正確解法為：
方程兩邊同乘x，得1－(x－2)＝x.
去括號(hào)，得1－x＋2＝x.
移項(xiàng)，得－x－x＝－1－2.
合并同類項(xiàng)，得－2x＝－3.
系數(shù)化為1，得x＝.
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是分式方程的解．
1．(2017陜西中考)分式方程＝的解是( A )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
2．分式方程＝的解是__x＝4__．
含參數(shù)的分式方程
【例2】(巴中中考)若分式方程－＝2有增根，則這個(gè)增根是________．
【解析】本題主要考查了增根的概念：
9、使最簡公分母為0的根叫做分式方程的增根，由分母x－1＝0，得x＝1，這就是方程的增根．(1)增根的求法：令最簡公分母為0得到關(guān)于未知數(shù)的一元一次方程，解方程求得的解即為增根；(2)求有增根的分式方程中參數(shù)的值，應(yīng)先求出可能的增根，再將其代入化簡后的整式方程，求解關(guān)于參數(shù)的方程即可．
【答案】x＝1
3．(2017濟(jì)寧中考)若關(guān)于x的分式方程＋＝2有增根，則m的值是( A )
A．m＝－1 B．m＝0
C．m＝3 D．m＝0或m＝3
4．(2016石家莊新華模擬)若關(guān)于x的分式方程＝1的解為正數(shù)，則m的取值范圍是( D )
A．m>3 B．m≠－2
C．m>－
10、3且m≠1 D．m>－3且m≠－2
5．已知方程＝1的解是k，求關(guān)于x的方程x2＋kx＝0的解．
解：由＝1，
解得x＝2，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是原方程的解，
∴k＝2，
∴x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝－2.
6．已知是二元一次方程組的解，求方程－＝的解．
解：將代入方程組，得解得將代入所求方程，得－＝，去分母，得3－2x＝x－2，解得x＝，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是原分式方程的解．
分式方程的應(yīng)用
【例3】(2017丹東中考)從甲市到乙市乘坐高速列車的路程為180 km，乘坐普通列車的路程為240 km.高速列車的平均速度是普通列車的平均速度的3倍．高速列車的乘車時(shí)間
11、比普通列車的乘車時(shí)間縮短了2 h．高速列車的平均速度是每小時(shí)多少千米？
【解析】抓住等量關(guān)系t高速＝t普－2用代數(shù)式表達(dá)好相應(yīng)的量即可．
【答案】解：設(shè)高速列車平均速度為3x km/h，普通列車平均速度為x km/h.
依題意，得－2＝，
去分母，得240－2x＝60，
解得x＝90，
∴3x＝90×3＝270.
答：高速列車的平均速度是每小時(shí)270 km.
7．(2016石家莊四十三中一模)甲種污水處理器處理25 t的污水與乙種污水處理器處理35 t的污水所用時(shí)間相同，已知乙種污水處理器每小時(shí)比甲種污水處理器多處理20 t的污水，求兩種污水處理器的污水處理效率．
12、設(shè)甲種污水處理器的污水處理效率為x t/h，依題意列方程正確的是( B )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
8．(2017滄州中考模擬)甲、乙兩人做某種機(jī)器零件．已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用的時(shí)間相等．求甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)．設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，則列出的方程為__＝__．
9．甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)為校文化藝術(shù)節(jié)制作彩旗．已知甲每小時(shí)比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗與乙做50面彩旗所用時(shí)間相等，甲、乙每小時(shí)各做多少面彩旗？
解：設(shè)乙每小時(shí)做x面彩旗，則甲每小時(shí)做(x＋5)面彩旗．
依題意，得＝，解得x＝25.
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝25是原方程的解．
x＋5＝25＋5＝30.
答：甲每小時(shí)做30面彩旗，乙每小時(shí)做25面彩旗．
10．“母親節(jié)”前夕，某商店根據(jù)市場調(diào)查，用3 000元購進(jìn)第一批盒裝花，上市后很快售完，接著又用5 000元購進(jìn)第二批這種盒裝花．已知第二批所購花的盒數(shù)是第一批所購花盒數(shù)的2倍，且每盒花的進(jìn)價(jià)比第一批的進(jìn)價(jià)少5元．求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是多少元．
解：設(shè)第一批盒裝花的進(jìn)價(jià)是每盒x元．則
2×＝，解得x＝30.
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解．
答：第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是30元．
河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2章方程組與不等式組第3節(jié)分式方程及應(yīng)用精講試題
