高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第2章 函數、導數及其應用 第8節(jié) 函數與方程學案 理 北師大版

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1、 第八節(jié)　函數與方程 [考綱傳真]　(教師用書獨具)結合二次函數的圖像，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數． (對應學生用書第27頁) [基礎知識填充] 1．函數的零點 (1)定義：函數y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數的零點． (2)函數零點與方程根的關系：方程f(x)＝0有實根?函數y＝f(x)的圖像與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點． (3)零點存在性定理 若函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數值符號相反，即f(a)f(b)＜0，則在區(qū)間(a，b)內，函數y＝f(x)至少有

2、一個零點，即相應方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內至少有一個實數解． (4)二分法：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點所似值的方法叫作二分法． 2．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像與零點的關系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖像 與x軸的交點 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點 零點個數 2 1 0 [知識拓展]　有關函數零點的結論 (1)若

3、連續(xù)不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點． (2)連續(xù)不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號． (3)連續(xù)不斷的函數圖像通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)函數的零點就是函數的圖像與x軸的交點．(　　) (2)函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數圖像連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)＜0.(　　) (3)若函數f(x)在(a，b)上單調且f(a)f(b)＜0，則函數f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．(　　) (4)只要函數有零

4、點，我們就可以用二分法求出零點的近似值．(　　) (5)二次函數y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0時沒有零點．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)　(5)√ 2．函數f(x)＝ln x－的零點所在的區(qū)間是(　　) A．(1,2)　　　　 B．(2,3) C．和(3,4) D．(4，＋∞) B　[易知f(x)為增函數，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)f(3)＜0.故選B．] 3．下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(　　) A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 A　[由于y＝sin x是

5、奇函數；y＝ln x是非奇非偶函數，y＝x2＋1是偶函數但沒有零點，只有y＝cos x是偶函數又有零點．] 4．(教材改編)函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是(　　) A．0　　 B．1　　　　C．2　　　　D．3 B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(x)在(－1,0)內有零點， 又f(x)為增函數，∴函數f(x)有且只有一個零點．] 5．函數f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是________． 　[∵函數f(x)的圖像為直線， 由題意可得f(－1)f(1)＜0， ∴(－3a＋1)(1－a)＜0，解得＜a＜

6、1， ∴實數a的取值范圍是.] (對應學生用書第28頁) 判斷函數零點所在區(qū)間 　(1)已知函數f(x)＝ln x－的零點為x0，則x0所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)(20xx北京東城區(qū)綜合練習(二))已知函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點在(k∈Z)內，那么k＝________. (1)C　(2)5　[(1)∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函數， 又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2＜0， f(2)＝ln 2－＜0， f(3)＝ln 3－＞0， ∴x0∈(2,3)，

7、故選C． (2)∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上單調遞增，且f＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零點在內，則整數k＝5.] [規(guī)律方法]　判斷函數零點所在區(qū)間的方法 (1)解方程，當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上來判斷. (2)利用零點存在性定理進行判斷. (3)數形結合畫出函數圖像，通過觀察圖像與x軸在給定區(qū)間內是否有交點來判斷. [跟蹤訓練]　(1)設f(x)＝ln x＋x－2，則函數f(x)的零點所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (

8、2)函數f(x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零點． (1)B　(2)存在　[(1)函數f(x)的零點所在的區(qū)間可轉化為函數g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2圖像交點的橫坐標所在的取值范圍．作圖如下： 可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)． (2)法一：∵f(1)＝12－31－18＝－20＜0， f(8)＝82－38－18＝22＞0， ∴f(1)f(8)＜0， 又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的圖像是連續(xù)的， 故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點． 法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18

9、＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點．] 判斷函數零點的個數 　(1)函數f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內的零點的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(20xx秦皇島模擬)函數f(x)＝的零點個數是________. 【導學號：79140061】 (1)C　(2)3　[(1)由題意可知f(x)的定義域為(0，＋∞)．在同一直角坐標系中畫出函數y＝|x－2|(x＞0)，y＝ln x(x＞0)的圖像，如圖所示： 由圖可知函數f(x)

10、在定義域內的零點個數為2. (2)當x＞0時，作函數y＝ln x和y＝x2－2x的圖像， 由圖知，當x＞0時，f(x)有2個零點； 當x≤0時，由f(x)＝0得x＝－， 綜上，f(x)有3個零點．] [規(guī)律方法]　判斷函數零點個數的三種方法 (1)解方程法：所對應方程f(x)＝0有幾個不同的實數解就有幾個零點. (2)零點存在性定理法：利用零點存在性定理并結合函數的性質進行判斷. (3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖像的交點個數問題.先畫出兩個函數的圖像，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數. [跟蹤訓練]　(1)函數f(x)＝0.9x－x的零點個數是(　　

11、) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 (2)函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (1)B　(2)B　[(1)因為f(x)＝0.9x－x，則函數f(x)為減函數，值域為R，所以函數f(x)的圖像必與x軸有一個交點，即方程0.9x－x＝0有一解． (2)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝. 設g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐標系下分別畫出函數g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現兩個函數圖像一定有2個交點，因此函數f(x)有2個零點．] 函數零點的應用

12、 　(1)設函數f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(　　) A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a) C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0 (2)(20xx山東高考)已知函數f(x)＝其中m>0.若存在實數b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________． (1)A　(2)(3，＋∞)　[(1)∵f(x)＝ex＋x－2， ∴f′(x)＝ex＋1＞0， 則f(x)在R上為增函數， 又f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 且f(a)＝0

13、，∴0＜a＜1. ∵g(x)＝ln x＋x2－3， ∴g′(x)＝＋2x. 當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上為增函數， 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2，∴a＜b， ∴故選A． (2)作出f(x)的圖像如圖所示． 當x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個不同的根，則有4m－m20.又m>0，解得m>3.] [規(guī)律方法]　已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再

14、通過解不等式確定參數范圍. (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決. (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖像，然后數形結合求解. [跟蹤訓練]　(1)已知函數f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零點依次為a，b，c，則(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c (2)函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　) 【導學號：79140062】 A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) (1)A　(2)C　[(1)∵ea＝－a，∴a＜0，∵ln b＝－b，且b＞0，∴0＜b＜1，∵ln c＝1，∴c＝e＞1，故選A． (2)∵函數f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調遞增，又函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則有f(1)f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.]