數(shù)學(xué)中考：第五單元 第18課時(shí) 二次函數(shù)的應(yīng)用

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1、2019 屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)資料第 18 課時(shí)二次函數(shù)的應(yīng)用(60 分)一、選擇題(每題 6 分，共 12 分)1圖 181是圖中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為 O，B，以點(diǎn) O為原點(diǎn)，水平直線 OB 為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線 y1400(x80)216， 橋拱與橋墩 AC 的交點(diǎn) C 恰好在水面， 且有ACx 軸，若 OA10 m，則橋面離水面的高度 AC 為(B)圖 181A16940mB.174mC16740mD.154m【解析】 ACx 軸，OA10 m，點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為10.當(dāng) x10 時(shí)，y1400(x80)2161400(1080)21617

2、4，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為10，174 ，橋面離水面的高度 AC 為174m.22017臨沂足球運(yùn)動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度 h(單位：m)與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間 t(單位：s)之間的關(guān)系如下表：t01234567h0814182020184下列結(jié)論：足球距離地面的最大高度為 20 m；足球飛行路線的對稱軸是直線 t92；足球被踢出 9 s 時(shí)落地；足球被踢出 1.5 s 時(shí)，距離地面的高度是 11 m其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(B)A1B2C3D4【解析】 利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)表達(dá)式；將函數(shù)表達(dá)式配方成頂點(diǎn)式可得對稱軸

3、和足球距離地面的最大高度；求出 h0 時(shí) t 的值，即可得足球的落地時(shí)間；求出 t1.5 s 時(shí) h 的值，即可對作出判斷由表格可知拋物線過點(diǎn)(0，0)，(1，8)，(2，14)，設(shè)該拋物線的表達(dá)式為 hat2bt，將點(diǎn)(1，8)， (2， 14)分別代入， 得ab8，4a2b14，解得a1，b9.ht29tt922814，則足球距離地面的最大高度為814m，對稱軸是直線 t92，錯誤、正確；ht29t0，當(dāng) h0 時(shí)，t0 或 9，正確；當(dāng) t1.5 s 時(shí)，ht29t11.25，錯誤綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 2.二、填空題(每題 6 分，共 18 分)32016臺州豎直上拋的小球離地高度

4、是它運(yùn)動時(shí)間的二次函數(shù)，小軍相隔 1 s依次豎直向上拋出兩個(gè)小球，假設(shè)兩個(gè)小球離手時(shí)離地高度相同，在各自拋出后 1.1 s 時(shí)到達(dá)相同的最大離地高度，第一個(gè)小球拋出后 t(s)時(shí)在空中與第2 個(gè)小球的離地高度相同，則 t_1.6_s.【解析】 設(shè)各自拋出后 1.1 s 時(shí)到達(dá)相同的最大離地高度為 h，則小球的高度ya(t1.1)2h，由題意，得 a(t1.1)2ha(t11.1)2h，解得 t1.6.故第一個(gè)小球拋出后 1.6 s 時(shí)在空中與第二個(gè)小球的離地高度相同4 如圖 182， 在ABC 中， B90， AB12 mm，BC24 mm，動點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始沿邊 AB 向點(diǎn) B 以2

5、mm/s 的速度移動(不與點(diǎn) B 重合)，動點(diǎn) Q 從點(diǎn) B開始沿邊BC向點(diǎn)C以4 mm/s的速度移動(不與點(diǎn)C重合)如果 P，Q 分別從 A，B 同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過_3_s，四邊形 APQC 的面積最小【解析】 設(shè)經(jīng)過 t s， 四邊形面積最小， S四邊形APQC12122412(122t)4t4t224t144(0t6)，當(dāng) tb2a24243 時(shí)，S四邊形APQC最小52017溫州小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖 183)，完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點(diǎn) A，出水口 B 和落水點(diǎn) C 恰好在同一直圖 182線上，點(diǎn) A 至出水管 BD 的距離為 12 cm，洗手盆及水龍

6、頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，現(xiàn)用高 10.2 cm 的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線經(jīng)過點(diǎn) D和杯子上底面中心 E，則點(diǎn) E 到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離 EH 為_248 2_圖 183【解析】建立如答圖所示的直角坐標(biāo)系， 過 A 作 AGOC于 G，交 BD 于 Q，過 M 作 MPAG 于 P，由題可得 AQ12，PQMD6，故 AP6，AG36，在 RtAPM中，MP8，DQ8OG，BQ1284.由 BQCG可得ABQACG，BQCGAQAG，即4CG1236，解得 CG12，則 OC12820，C(20，0)又水流所在拋物線經(jīng)過點(diǎn) D(0，24)，可設(shè)拋物線表達(dá)式為 yax2bx24，把 C(2

7、0，0)，B(12，24)代入，可得24144a12b24，0400a20b24，解得a320，b95，拋物線為 y320 x295x24，令 y10.2，解得 x168 2，x268 2(舍去)，點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 68 2，又ON30，EH30(68 2)248 2.三、解答題(共 30 分)6(15 分)2016郴州某商店原來平均每天可銷售某種水果 200 kg，每千克可盈利 6 元，為減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查，如果這種水果每千克降價(jià) 1 元，則每天可多售出 20 kg.第 5 題答圖(1)設(shè)每千克水果降價(jià) x 元，平均每天盈利 y 元，試寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式；(2)若要平均每天

8、盈利 960 元，則每千克應(yīng)降價(jià)多少元？解：(1)根據(jù)題意，得y(20020 x)(6x)20 x280 x1 200.(2)令 y960，則96020 x280 x1 200，即 x24x120，解得 x2 或6(舍去)答：若要平均每天盈利 960 元，則每千克應(yīng)降價(jià) 2 元7(15 分)2016南京如圖 184 是拋物線形拱橋，P 處有一照明燈，水面 OA寬 4 m，從 O，A 兩處觀測 P 處，仰角分別為，且 tan12，tan32，以 O 為原點(diǎn)，OA 所在直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系圖 184第 7 題答圖(1)求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；(2)水面上升 1 m 后，水面寬多少( 2 取 1.

9、41，結(jié)果精確到 0.1 m)?解：(1)如答圖，過點(diǎn) P 作 PHOA 于點(diǎn) H，設(shè) PH3x，在 RtOHP 中，tanPHOH12，OH6x.在 RtAHP 中，tanPHAH32，AH2x，OAOHAH8x4，x12，OH3，PH32，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為3，32 ；(2)如答圖，若水面上升 1 m 后到達(dá) BC 位置，過點(diǎn) O(0，0)，A(4，0)的拋物線的表達(dá)式可設(shè)為 yax(x4)，點(diǎn) P3，32 在拋物線 yax(x4)上，代入得 3a(34)32，解得 a12，拋物線的表達(dá)式為 y12x(x4)當(dāng) y1 時(shí)，12x(x4)1，解得 x12 2，x22 2，BC(2 2)(2 2

10、)2 22.8(m)答：水面上升 1 m 后，水面寬約為 2.8 m.(25 分)8(10 分)2017德州隨著新農(nóng)村的建設(shè)和舊城的改造，我們的家園越來越美麗小明家附近的廣場中央新修了個(gè)圓形噴水池(如圖 185)，在水池中心豎直安裝了一根高為 2 m 的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為 1 m 處達(dá)到最高，水柱落地處離池中心 3 m.圖 185(1)請你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出水柱拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)水柱的最大高度是多少？【解析】(1)由于題目所給數(shù)據(jù)均與水池中心相關(guān)， 故可選取水池中心為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為 x 軸，水管所在直線為 y 軸，建立平面直

11、角坐標(biāo)系，再利用頂點(diǎn)式求解函數(shù)關(guān)系式；(2)拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為水柱的最大高度解：(1)如答圖，以水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為 x 軸，水管所在直線為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 ya(x1)2h(0 x3)第 8 題答圖拋物線過點(diǎn)(3， 0)和(0， 2)， 代入拋物線表達(dá)式， 可得4ah0，ah2，解得a23，h83.拋物線表達(dá)式為 y23(x1)283(0 x3)，化為一般式為 y23x243x2(0 x3)；(2)由(1)知拋物線表達(dá)式為 y23(x1)283，當(dāng) x1 時(shí)，y83.答：水柱的最大高度為83m.9(15 分)2017成

12、都隨著地鐵和共享單車的發(fā)展， “地鐵單車”已成為很多市民出行的選擇， 李華從文化宮站出發(fā)， 先乘坐地鐵， 準(zhǔn)備在離家較近的 A， B，C，D 中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設(shè)他出地鐵的站點(diǎn)與文化宮距離為 x(單位：km)，乘坐地鐵的時(shí)間 y1(單位：min)是關(guān)于 x 的一次函數(shù)，其關(guān)系如下表：地鐵站ABCDEx(km)y1(min)(1)求 y1關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式；(2)李華騎單車的時(shí)間 y2(單位： min)也受 x 的影響， 其關(guān)系可以用 y212x211x78 來描述，請問：李華應(yīng)選擇在哪一站出地鐵，才能使他從文化宮回到家里所需的時(shí)間最短？并求出最短時(shí)間解：(1)設(shè)乘坐地鐵的

13、時(shí)間 y1關(guān)于 x 的一次函數(shù)是 y1kxb，把 x8，y118；x10，y122 代入，得188kb，2210kb，解得k2，b2，y1關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式是 y12x2；(2)設(shè)回家所需的時(shí)間為 y，則 yy1y2，即 y2x212x211x7812x29x8012(x9)2792，當(dāng) x9 時(shí)，y最小792(min)答：李華選擇從 B 地鐵口出站，騎單車回家的時(shí)間最短，最短時(shí)間為792min.(15 分)10(15 分)2017嘉興如圖 186，某日的錢塘江觀潮信息如下表：2017 年月日，天氣：陰；能見度：1.8 km.11：40 時(shí)，甲地“交叉潮”形成，潮水勻速奔向乙地；12：10

14、 時(shí)，潮頭到達(dá)乙地，形成“一線潮”，開始均勻加速，繼續(xù)向西；12：35 時(shí)，潮頭到達(dá)丙地，遇到堤壩阻擋后回頭，形成“回頭潮”圖 186按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離 s(km)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系用圖表示，其中：“11：40 時(shí)甲地交叉潮的潮頭離乙地 12 km” 記為點(diǎn) A(0， 12)， 點(diǎn) B 坐標(biāo)為(m， 0)， 曲線 BC 可用二次函數(shù) s1125t2btc(b，c 是常數(shù))刻畫(1)求 m 的值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；(2)11：59 時(shí)，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以 0.48 km/min 的速度往甲地方向去看潮，問她幾分鐘后與潮頭相

15、遇？(3)相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過乙地后均勻加速，而單車最高速度為 0.48 km/min，小紅逐漸落后，問小紅與 潮 頭 相 遇 到 落 后 潮 頭1.8km共 需 多 長 時(shí) 間 ？潮水加速階段速度 vv02125（t30） ，v0是加速前的速度解：(1)由題意可知：m30，B(30，0)，潮頭從甲地到乙地的速度為12300.4(km/min)；(2)潮頭的速度為 0.4 km/min，到 11：59 時(shí)，潮頭已前進(jìn) 190.47.6(km)，設(shè)小紅出發(fā) x min 與潮頭相遇，0.4x0.48x127.6，解得 x5，小紅 5 min 與潮頭相遇

16、；(3)把 B(30，0)，C(55，15)代入 s1125t2btc，解得 b225，c245，s1125t2225t245.v00.4，v2125(t30)25，當(dāng)潮頭的速度達(dá)到單車最高速度 0.48 km/min，0.482125(t30)25，解得 t35.此時(shí)，s1125t2225t245115.從 t35 min(12：15 時(shí))開始，潮頭快于小紅速度奔向丙地，小紅逐漸落后，但小紅仍以 0.48 km/min 的速度勻速追趕潮頭設(shè)她離乙地的距離為 s1，則 s1與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系式為 s10.48th(t35)，當(dāng) t35 時(shí)，s1s115，代入可得 h735，s11225t735.最后潮頭與小紅相距 1.8 km 時(shí)，即 ss11.8，1125t2225t2451225t7351.8，解得 t50 或 20(不符合題意，舍去)，小紅與潮頭相遇后，按潮頭速度與潮頭并行到達(dá)乙地用時(shí) 6 min，共需要時(shí)間為 6503026(min)答：小紅與潮頭相遇到潮頭離她 1.8 km 外共需要 26 min.