高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第4章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 第2節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示學案 文 北師大版

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1、 第二節(jié)　平面向量基本定理及坐標表示 [考綱傳真]　1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件． (對應學生用書第59頁) [基礎知識填充] 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y

2、軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a與數對(x，y)是一一對應的，把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)． 3．平面向量的坐標運算 (1)向量加法、減法、數乘及向量的模 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標的求法 ①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標． ②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 4．

3、平面向量共線的坐標表示 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底．(　　) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　) (3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成＝.(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．已知平面向量a＝(2

4、，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 (　　) A．5　　　 B．　　　 C．　　　 D．13 B　[因為a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.] 3．(20xx洛陽模擬)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) A　[＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故選A．] 4．(20xx全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.

5、 －6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－43＝0，∴m＝－6.] 5．(教材改編)已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為________． (1,5)　[設D(x，y)，則由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即解得] (對應學生用書第60頁) 平面向量基本定理及其應用 　(1)如果e1，e2是平面α內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是 (　　) A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2 C．e1＋e2與e1

6、－e2 D．e1＋3e2與6e2＋2e1 (2)(20xx太原模擬)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 【導學號：00090130】 (1)D　(2)　[(1)選項A中，設e1＋e2＝λe1，則無解； 選項B中，設e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則無解； 選項C中，設e1＋e2＝λ(e1－e2)，則無解； 選項D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量． (2)選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝＋， 于是得解得 所以λ＋μ＝.]

7、 [規(guī)律方法]　1.利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當的基底來表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量． 2．利用已知向量表示未知向量，實質就是利用三角形法則進行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用．如解答本題(2)的關鍵是根據平面向量基本定理列出關于λ，μ的方程組． [變式訓練1]　如圖421，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分別為線段AD與BC的中點．設＝a，＝b，則＝________，＝________，＝________(用向量a，b表示)． 圖421 b－a　b－a　a－b　[＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a

8、，＝＋＝－b－＝a－B．] 平面向量的坐標運算 　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n； (3)求M，N的坐標及向量的坐標． [解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設O為坐標原點．∵＝－＝3c， ∴＝3c

9、＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)． [規(guī)律方法]　1. 向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．常利用向量相等則其坐標相同列方程(組)求解． 2．平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，實質是“形”化為“數”．向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現了向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來． [變式訓練2]　(20xx合肥

10、三次質檢)已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，則|2a＋b|的最小值為________． 2　[由條件得2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|2a＋b|＝＝，當t＝2時，|2a＋b|的最小值為2.] 平面向量共線的坐標表示 　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三點共線，求m的值. 【導學號：00090131】 [解]　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－

11、2)－(－1)5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)法一：∵A、B、C三點共線，∴＝λ， 即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴， 解得m＝. 法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A、B、C三點共線，∴∥. ∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0， ∴m＝. [規(guī)律方法]　1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λA． 2．向量共線的坐標表示

12、既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例求解． [變式訓練3]　(1)(20xx鄭州模擬)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，則銳角θ＝________. (2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點能構成三角形，則實數k應滿足的條件是________． (1)　(2)k≠1　[(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝， 所以cos2θ＝， 所以cos θ＝或－，又θ為銳角，所以θ＝. (2)若點A，B，C能構成三角形， 則向量，不共線． 因為＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， 所以1(k＋1)－2k≠0， 解得k≠1.]