高考數學 備考沖刺之易錯點點睛系列專題 立體幾何學生版

立體幾何立體幾何一、高考預測一、高考預測立體幾何由三部分組成，一是空間幾何體，二是空間點、直線、平面的位置關系，三是立體幾何中的向量方法高考在命制立體幾何試題中，對這三個部分的要求和考查方式是不同的在空間幾何體部分，主要是以空間幾何體的三視圖為主展開，考查空間幾何體三視圖的識別判斷、考查通過三視圖給出的空間幾何體的表面積和體積的計算等問題，試題的題型主要是選擇題或者填空題，在難度上也進行了一定的控制，盡管各地有所不同，但基本上都是中等難度或者較易的試題；在空間點、直線、平面的位置關系部分，主要以解答題的方法進行考查，考查的重點是空間線面平行關系和垂直關系的證明，而且一般是這個解答題的第一問；對立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進行考查，而且偏重在第二問或者第三問中使用這個方法，考查的重點是使用空間向量的方法進行空間角和距離等問題的計算，把立體幾何問題轉化為空間向量的運算問題2。線面關系中三類平行的共同點是“無公共點” ；三類垂直的共同點是“成角 90”.線面平行、面面平行，最終化歸為線線平行；線面垂直、面面垂直，最終化歸為線線垂直.3。直線與平面所成角的范圍是2, 0；兩異面直線所成角的范圍是2, 0(.一般情況下，求二面角往往是指定的二面角，若是求兩平面所成二面角只要求出它們的銳角（直角）情況即可.4。立體幾何中的計算主要是角、距離、體積、面積的計算.兩異面直線所成角、直線與平面所成角的計算是重點.求兩異面直線所成角可以利用平移的方法將角轉化到三角形中去求解，也可以利用空間向量的方法，特別要注意的是兩異面直線所成角的范圍.當求出的余弦值為a時，其所成角的大小應為|arccos a.特別需要注意的是：兩向量所成的角是兩向量方向所成的角，它與兩向量所在的異面直線所成角的概念是不一樣的.本題中的向量1BD與DE所成的角大小是兩異面直線 DE 與 BD1所成角的補角.8.正方體中線面關系可以說是高考中的重點內容，相當一部分的高考題是以正方體作為載體進行命題，或是截取正方體的一部分進行命題.請?zhí)貏e關注正方體表面按不同形式的展開圖，會由展開的平面圖形想象立體圖形.9.三棱錐頂點在底面三角形內射影為三角形的外心、內心、垂心的條件要分清楚.外心：三側棱相等或三側棱與底面所成的角相等（充要條件） ；內心：三側面與底面所成的二面角相等（充要條件） ；垂心：相對的棱垂直（充要條件）或三側棱兩兩垂直（充分條件）.10.關注正棱錐中的幾個直角三角形：（1）高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形；（2）側棱、斜高、底面棱長的一半組成的直角三角形；（3）底面上的邊心距、底面外接圓半徑、底面棱長的一半組成的直角三角形.（4）高、側棱、底面外接圓半徑組成的直角三角形.進一步關注的是：側棱與底面所成角、側面與底面所成二面角的平面角都體現在這些直角三角形中.11。特別注意有一側棱與底面垂直且底面為正方形、直角梯形、菱形等四棱錐，關注四個面都是直角三角形的三棱錐.它們之間的線面關系也是高考命題的熱點內容.12。對平面圖形的翻折問題要有所了解：翻折后，在同一半平面內的兩點、點線及兩線的位置關系是不變的，若兩點分別在兩個半平面中，兩點之間的距離一般會發(fā)生變化.要認清從平面圖形到空間圖形之間的聯(lián)系，能夠從平面圖形的關系過渡到空間圖形的關系，根據問題畫出空間圖形.三、易錯點點睛三、易錯點點睛2.（1）正方體 ABCDA1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分別是 AB、AD、B1 C1的中點。那么正方體的過 P、Q、R 的截面圖形是（）（A）三角形 （B）四邊形 （C）五邊形 （D）六邊形 (答案：D) （2）在正三棱柱ABC-111A B C中，P、Q、R 分別是BC、1CC、11AC的中點，作出過三點 P、Q、R 截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。 答案：五邊形?！局R點分類點拔】解決異面直線所成角的問題關鍵是定義，基本思想是平移，同時對本題來說是解決與兩異面直線所成的等角的直線條數，將兩異面直線平移到空間一點時，一方面考慮在平面內和兩相交直線成等角的直線即角平分線是否滿足題意，另一方面要思考在空間中與一平面內兩相交直線成等角的直線的條數，此時關鍵是搞清平面外的直線與平面內的直線所成的角與平面內的直線與平面外的直線在平面內的射影所成的角的關系，由公式coscoscos（其中是直線與平面所成的角）易知coscos，coscos（最小角定理）故一般地，若異面直線 a、b 所成的角為，L 與a、b 所成的角均為，據上式有如下結論：當02時，這樣的直線不存在；當2時，這樣的直線只有一條；當22時，這樣的直線有兩條；當2時這樣的直線有 3 條；當22時，這樣的直線有四條2.如果異面直線 a、b 所在的角為100,P 為空間一定點，則過點 P 與 a、b 所成的角都是50的直線有幾條？A、一條 B 二條 C 三條 D 四條 (答案：C)【易錯點易錯點 4】4】求異面直線所成的角，若所成角為求異面直線所成的角，若所成角為090，容易忽視用證明垂直的方法來求，容易忽視用證明垂直的方法來求夾角大小這一重要方法夾角大小這一重要方法 1、在三棱柱111ABCABC中，若12ABBB，則11ABC B與所成角的大小為（ ）A、060 B、090 C、0105 D、075【易錯點分析】忽視垂直的特殊求法導致方法使用不當而浪費很多時間。解析：如圖1,D D分別為11,BC BC中點， 連結1,AD DC，設11,2BBAB則則 AD 為1AB在平面1BC上的射影。又11322,cos,323BCBEBDC BCBC22212cosDEBEBDBE BDC BC1132212323263而2220111,90362BEDEBDBED11ABC B與垂直。 【知識點歸類點撥】求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，對特殊的角，如090時，可以采用證明垂直的方法來求之【易錯點易錯點 5】5】對于經度和緯度兩個概念，經度是二面角，緯度為線面對于經度和緯度兩個概念，經度是二面角，緯度為線面角，二者容易混淆角，二者容易混淆1、如圖，在北緯045的緯線圈上有 B 兩點，它們分別在東經070與東經0160的經度上，設地球的半徑為 R，求 B 兩點的球面距離。解析：設北緯045圈的圓心為O，地球中心為 O，則00011607090 ,AO B0145 ,OBOOBR112,2O BO AR ABR連結,AO AB，則0,60AOBOABRAOB11263ABRR。故 A、B 兩點間的球面距離為13R?！局R點歸類點撥】數學上，某點的經度是：經過這點的經線與地軸確定的平面與本初子午線（00經線）和地軸確定的半平面所成的二面角的度數。某點的緯度是：經過這點的球半徑與赤道面所成的角的度數。如下圖：圖（1）：經度P 點的經度，也是ABAOB或的度數。圖（2）：緯度P 點的緯度，也是POAPA或的度數（III）由 II 知，OF 平面PBC，F是O在平面PBC內的射影.D是PC的中點，若點F是PBC的重心，則B、F、D三點共線，直線OB在平面PBC內的射影為直線BD.OBPC PCBD PBBC，即1K .反之，當1K 時，三棱錐OPBC為正三棱錐，O在平面PBC內的射影為PBC的重心.方法二:OP 平面ABC,OAOC ABBC,.OAOB OAOP OBOP以O為原點，射線OP為非負z軸，建立空間直角坐標系Oxyz(如圖)，設,ABa則2(,0,0)2Aa,2(0,0)2Ba,2(,0,0)2Ca.設OPh, 則(0,0, )Ph(I) D 為 PC 的中點，OD21(,0,)42ah，又2(,0,)2PAah,OD-12PAOD/PA OD/平面PAB.【知識點分類點拔】解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識.二是向量的坐標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想.向量的數量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論【易錯點易錯點 7】7】常見幾何體的體積計算公式，特別是棱錐，球的體積公式容易忽視公式系常見幾何體的體積計算公式，特別是棱錐，球的體積公式容易忽視公式系數，導致出錯數，導致出錯1 如圖四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為矩形，AB=8，AD=4 3，側面 PAD 為 等邊三角形，并且與底面成二面角為060。求四棱錐 PABCD 的體積。解析：如圖，去 AD 的中點 E，連結 PE，則PEAD。作PO 平面 ABCD，垂足為 O，連結 OE。根據三垂線定理的逆定理得OEAD，所以PEO為側面 PAD 與底面所成二面角的平面角。由已知條件可060 ,6PEOPE，所以3 3PO ，四棱錐 PABCD 的體積18 4 33 3963P ABCDV 。 【知識點歸類點撥】計算簡單幾何體的體積，要選擇某個面作為底面，選擇的前提條件是這個面上的高易求【知識點歸類點撥】求點到平面的距離一般由該點向平面引垂線，確定垂足，轉化為解三角形求邊長，或者利用空間向量表示點到平面的垂線段，設法求出該向量，轉化為計算向量的模，也可借助體積公式利用等積求高2、 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，側棱 AA1=2，D、E 分別是 CC1與 A1B 的中點，點 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的垂心 G.（）求 A1B 與平面 ABD 所成角的大小（結果用反三角函數值表示） ；(）求點 A1到平面 AED 的距離.答案：（）;32arcsin（）362.解法 2 如圖 3 所示，延長 CE 與 C1B1交于點 F，連結 AF，則截面 A1EC面A1B1CAFEB1面 A1B1C1，過 B1作 B1GA1F 交 A1F 于點 G，連接 EG，由三垂線定理知EGB1就是所求二面角的平面角 即所求二面角的度數為 45【知識點歸類點撥】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根據平面角的定義，作垂直于棱的平面，通過這個平面和二面角兩個面的交線得出平面角。（2）垂線法：是指在二面角的棱上取一特殊點，過此點在二面角的兩個半平面內作兩條射線垂直于棱，則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角；（3）三垂線法：是指利用三垂線定理或逆定理作出平面角易錯點易錯點 1010 三視圖三視圖一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：2cm）為( ) （A）48 12 2 （B）4824 2 （C）36 12 2 （D）3624 2解析:棱錐的直觀圖如右，則有 PO4，OD3，由勾股定理，得 PD5，AB62，全面積為：2166221652162448122，故選.A。2、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，ADB90，AB2AD （）證明：PABD；（）若PDAD，求二面角A-PB-C的余弦值4、已知四棱柱1111ABCDABC D中，1AAABCD底面,90ADC，ABCD，122ADCDDDAB. 求證：11ADBC； 求二面角11ABDC的正弦值;（3）求四面體11ABDC的體積.5、如圖，在四面體ABCD中，二面角BCDA的平面角為60，,CDAC ,CDBD 且,2BDCDAC點E、F分別是AD、BC的中點.()求作平面，使EF，且AC平面A1CD1DABB1C1,BD平面；（）求證：BCDEF平面.7、如圖，在三棱柱_111ABCABC中，1,ACBC ABBB，12,ACBCBBD為AB的中點，且1CDDA.求證：1BB 平面ABC；求多面體_111DBCABC的體積.8、三棱錐 O-ABC 中，OA、OB、OC 兩兩垂直，P 為 OC 中點，PQ 垂直 BC 于Q，OA=OB=OC=2，過 PQ 作一個截面，交 AB、AO 于 R、S，使 PQRS 為梯形。（1）求SOAS、RBAR的值；（2）求五面體 ACPQRS 的體積。9、如圖，正方形 AA1D1D 與矩形 ABCD 所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點 E 為 AB 上一點(I)當點E為AB 的中點時,求證；BD1/平面A1DEPCDEFBA(II )求點 A1到平面 BDD1的距離；(III)當時，求二面角 D1-EC-D 的大小.11、如圖所示四棱錐PABCD中,PA 底面ABCD,四邊形ABCD中,ABAD,/BCAD,2PAABBC,4AD ,E為PD的中點,F為PC中點.（）求證:CD 平面PAC； （）求證:/BF平面ACE；（）求直線PD與平面PAC所成的角的正弦值；12、如右圖所示，四棱錐 PABCD 中，側面 PDC 是邊長為 2 的正三角形且與底面垂直，底面 ABCD 是ADC=60的菱形，M 為 PB 的中點 （1）求 PA 與底面 ABCD 所成角的大??；（2）求證：PA平面 CDM；（3）求二面角 DMCB 的余弦值15、如圖 5，AB是圓柱ABFG的母線，C是點A關于點B對稱的點，O是圓柱上底面的圓心，BF過O點，DE是過O點的動直徑，且AB=2，BF=2AB.（1）求證：BE平面ACD；（2）當三棱錐DBCE的體積最大時，求二面角CDEA的平面題圖第19角的余弦值.17、如圖所示，圓柱的高為 2,PA 是圓柱的母線， ABCD 為矩形, AB=2，BC=4， E、F、G 分別是線段PA，PD，CD 的中點。（1）求證：平面 PDC平面 PAD；（2）求證：PB/面 EFG；（3）在線段 BC 上是否存在一點 M，使得 D 到平面 PAM的距離為 2？若存在，求出 BM；若不存在，請說明理由。18、如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為 1 的正方形，PACD，PA = 1， PD，E為PD上一點，PE = 2ED（）求證：PA 平面ABCD；（）求二面角DACE的余弦值；（）在側棱PC上是否存在一點F，使得BF / 平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由 E P D C B A20、如圖,在四棱錐ABCDE 中,底面ABCD為正方形, AE平面CDE,已知4, 3DEAE.（）若F為DE的中點,求證: BE/平面ACF；（）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值；（）如果四棱錐ABCDE 有外接球，求出四棱錐ABCDE 外接球的半徑，沒有的話請說明理由.