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1、
高考大題標準練(六)
滿分75分，實戰(zhàn)模擬，60分鐘拿下高考客觀題滿分！ 姓名：________ 班級：________
1．(20xx·新課標全國卷Ⅰ)已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，sin2B＝2sinAsinC.
(1)若a＝b，求cosB；
(2)設B＝90°，且a＝，求△ABC的面積．
解：(1)由題設及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cosB＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因為B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝
2、a＝.
所以△ABC的面積為1.
2．設數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＋a4＝8，且對任意n∈N*，函數(shù)f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx滿足f′＝0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝2，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解：(1)由題設可得，f ′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2·cosx.
對任意n∈N*，f ′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，
即an＋1－an＝an＋2－an＋1，
故{an}為等差數(shù)列．
由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差d＝1，
所
3、以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
(2)由bn＝2
＝2＝2n＋＋2知，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.
3．(20xx·新課標全國卷Ⅱ)某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據(jù)用戶對產品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表．
A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表
滿意度評分分組
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
頻數(shù)
2
8
4、
14
10
6
(1)作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)；
B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級：
滿意度評分
低于70分
70分到89分
不低于90分
滿意度等級
不滿意
滿意
非常滿意
估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由．
解：(1)
通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)
5、用戶滿意度評分比較分散．
(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．
記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”．
由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，
P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．
4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求證：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1－BC1－B1
6、的余弦值；
(3)證明：在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B.并求的值．
解：(1)因為AA1C1C為正方形，所以AA1⊥AC.
因為平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個平面的交線AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A－xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
設平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)，則即
令z＝3，則x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面
7、B1BC1的一個法向量為m＝(3,4,0)．
所以cos〈n，m〉＝＝.
由題意知二面角A1－BC1－B1為銳二面角，
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值為.
(3)設D(x，y，z)是直線BC1上一點，且＝λ.
所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．
解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.
因為∈[0,1]，所以在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B.此時，＝λ＝.
5．(20xx·新課標全國卷Ⅱ)已知A是橢圓E：＋＝1的左頂點，斜率為k(k>0)的直線交E于A，
8、M兩點，點N在E上，MA⊥NA.
(1)當|AM|＝|AN|時，求△AMN的面積；
(2)當2|AM|＝|AN|時，證明：<k<2.
解：(1)設M(x1，y1)，則由題意知y1>0.
由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.
又A(－2,0)，因此直線AM的方程為y＝x＋2.
將x＝y(tǒng)－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面積S△AMN＝2×××＝.
(2)證明：設直線AM的方程為
y＝k(x＋2)(k>0)，
代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－1
9、2＝0.
由x1·(－2)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝.
由題意，設直線AN的方程為
y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0.
設f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，則k是f(t)的零點．f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)內單調遞增．又f()＝15－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)內有唯一的零點，且零點k在(，2)內，所以<k<2.
6．(20xx·新課標全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ln
10、x＋a(1－x)。
(1)討論f(x)的單調性；
(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a的取值范圍．
解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a，
若a≤0，則f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
若a＞0，則當x∈時，f′(x)＞0；
當x∈時，f′(x)＜0.
所以f(x)在上單調遞增，
在上單調遞減．
(2)由(1)知，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上無最大值；
當a＞0時，f(x)在x＝處取得最大值，
最大值為f＝ln＋a＝－lna＋a－1.
因此f＞2a－2等價于lna＋a－1＜0.
令g(a)＝lna＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調遞增，g(1)＝0.
于是，當0＜a＜1時，g(a)＜0；當a＞1時，g(a)＞0.
因此，a的取值范圍是(0,1)．
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