高考數(shù)學(xué)浙江專用總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第6講　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) Word版含解析

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1、第第 6 講講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 最新考綱 1.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)用換底公式；2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用. 知 識(shí) 梳 理 1.對(duì)數(shù)的概念 如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)，記作 xlogaN，其中 a 叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N 叫做真數(shù). 2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì) (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：alogaNN；logaabb(a0，且 a1). (2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN； logaMNlogaMlogaN； logaMnnlogaM(

2、nR)； logamMnnmlogaM(m，nR，且 m0). (3)對(duì)數(shù)的重要公式 換底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于 1)； logab1logba，推廣 logab logbc logcdlogad. 3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) (1)概念：函數(shù) ylogax(a0，且 a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是(0，). (2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a1 0a1 時(shí)，y0； 當(dāng) 0 x1 時(shí)，y1 時(shí)，y0； 當(dāng) 0 x0 在(0，)上是增函數(shù) 在(0，)上是減函數(shù) 4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)與對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax(a0，且

3、a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線 yx 對(duì)稱. 診 斷 自 測(cè) 1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)log2x22log2x.( ) (2)函數(shù) ylog2(x1)是對(duì)數(shù)函數(shù)( ) (3)函數(shù) yln1x1x與 yln(1x)ln(1x)的定義域相同.( ) (4)當(dāng) x1 時(shí)，若 logaxlogbx，則 a0，且 a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是( ) A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1 D.0a1，0c1 解析 由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以 0a0，即 logac0，所以 0cbc B.acb C.cba D.cab 解析 0a1，b1. cab.

4、答案 D 4.(2017 湖州調(diào)研)已知 a0 且 a1， 若 a32278， 則 a_； log32a_. 解析 a0 且 a1，由 a32278得 a2782332294；log32alog32942. 答案 94 2 5.(2015 浙江卷)計(jì)算：log222_；2log23log43_. 解析 log222log22log2212112； 2log23log432log23 2log4332log4332log233 3. 答案 12 3 3 6.若 loga340，且 a1)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 解析 當(dāng) 0a1 時(shí)，loga34logaa1，解得 0a1 時(shí)，loga34

5、1. 答案 0，34(1，) 考點(diǎn)一 對(duì)數(shù)的運(yùn)算 【例 1】 (1)設(shè) 2a5bm，且1a1b2，則 m 等于( ) A. 10 B.10 C.20 D.100 (2)計(jì)算：lg14lg 25 10012_. 解析 (1)由已知，得 alog2m，blog5m， 則1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102. 解得 m 10. (2)原式(lg 22lg 52)10012lg1225210lg 1021021020. 答案 (1)A (2)20 規(guī)律方法 (1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化

6、簡(jiǎn)合并. (2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算. (3)abNblogaN(a0，且 a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化. 【訓(xùn)練 1】 (1)(2017 北京東城區(qū)綜合練習(xí))已知函數(shù) f(x)2x，x4，f（x1），x4，則f(2log23)的值為( ) A.24 B.16 C.12 D.8 (2)(2015 安徽卷)lg522lg 2121_. 解析 (1)因?yàn)?32log230，且 a1)的值域?yàn)閥|y1，則函數(shù) yloga|x|的圖象大致是( ) (2)(2017 金華調(diào)研)已知函數(shù) f

7、(x)log2x，x0，3x，x0，且關(guān)于 x 的方程 f(x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 解析 (1)由于 ya|x|的值域?yàn)閥|y1， a1，則 ylogax 在(0，)上是增函數(shù)， 又函數(shù) yloga|x|的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱. 因此 yloga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng) B. (2)如圖， 在同一坐標(biāo)系中分別作出 yf(x)與 yxa 的圖象，其中 a 表示直線在 y 軸上截距. 由圖可知，當(dāng) a1 時(shí)，直線 yxa 與 ylog2x 只有一個(gè)交點(diǎn). 答案 (1)B (2)a1 規(guī)律方法 (1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與

8、坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng). (2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解. 【訓(xùn)練 2】 (1)函數(shù) y2log4(1x)的圖象大致是( ) (2)當(dāng) 0 x12時(shí)，4xlogax，則 a 的取值范圍是( ) A.0，22 B.22，1 C.(1， 2) D.( 2，2) 解析 (1)函數(shù) y2log4(1x)的定義域?yàn)?，1)，排除 A、B； 又函數(shù) y2log4(1x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除 D. (2)由題意得，當(dāng) 0a1 時(shí)，要使得 4xlogax0 x12，即當(dāng)0 x12時(shí)，函數(shù) y4x的圖象在函數(shù) ylogax 圖象的

9、下方.又當(dāng) x12時(shí)，4122，即函數(shù) y4x的圖象過點(diǎn)12，2 .把點(diǎn)12，2 代入 ylogax， 得 a22.若函數(shù) y4x的圖象在函數(shù) ylogax 圖象的下方，則需22a1 時(shí)，不符合題意，舍去. 所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是22，1 . 答案 (1)C (2)B 考點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(多維探究) 命題角度一 比較對(duì)數(shù)值的大小 【例 31】 (2016 全國(guó)卷)若 ab0，0c1，則( ) A.logaclogbc B.logcalogcb C.accb 解析 由 yxc與 ycx的單調(diào)性知，C、D 不正確. ylogcx 是減函數(shù)，得 logcalogcb，B 正確. log

10、aclg clg a，logbclg clg b，0c1，lg c0.而 ab0，lg alg b，但不能確定 lg a，lg b 的正負(fù)，logac 與 logbc 的大小不能確定. 答案 B 命題角度二 解對(duì)數(shù)不等式 【例 32】 若 loga(a21)loga2a0 且 a1，故必有 a212a， 又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1，a12.綜上，a12，1 . 答案 C 命題角度三 對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì) 【例 33】 已知函數(shù) f(x)loga(3ax). (1)當(dāng) x0，2時(shí)，函數(shù) f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； (2)是否存在這樣的實(shí)數(shù) a，使得函數(shù) f(x

11、)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為 1？如果存在，試求出 a 的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 解 (1)a0 且 a1，設(shè) t(x)3ax， 則 t(x)3ax 為減函數(shù)， x0，2時(shí)，t(x)的最小值為 32a， 當(dāng) x0，2時(shí)，f(x)恒有意義， 即 x0，2時(shí)，3ax0 恒成立. 32a0.a0 且 a1，a(0，1)1，32. (2)t(x)3ax，a0， 函數(shù) t(x)為減函數(shù). f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，ylogat 為增函數(shù)， a1，x1，2時(shí)，t(x)最小值為 32a，f(x)最大值為 f(1)loga(3a)， 32a0，loga（3a）1，即acb B.bca C

12、.cba D.cab (2)已知函數(shù) f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在區(qū)間1，2上恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 解析 (1)alog32log331，blog52log221， 所以，c 最大. 由 1log231log25，即 ab， 所以 cab. (2)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)loga(8ax)在1，2上是減函數(shù)，由 f(x)1 在區(qū)間1，2上恒成立， 則 f(x)minloga(82a)1， 解之得 1a83. 若 0a1 在區(qū)間1，2上恒成立， 則 f(x)minloga(8a)1，且 82a0. a4，且 a1 且 b1 或 0a1 且 0b0

13、； 當(dāng) a1 且 0b1 或 0a1 時(shí)，logab0. 2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決. 3.比較冪、 對(duì)數(shù)大小有兩種常用方法： (1)數(shù)形結(jié)合； (2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性. 4.多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線 y1 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定. 易錯(cuò)防范 1.在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須是大于 0 的，所以對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax 的定義域應(yīng)為(0，).對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù) a 與 1 的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù) a 與 1 的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分 0a1 兩種情況討論.

14、2.在運(yùn)算性質(zhì) logaMlogaM 中，要特別注意條件，在無 M0 的條件下應(yīng)為logaMloga|M|(N*，且 為偶數(shù)). 3.解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)需注意兩點(diǎn)：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40 分鐘) 一、選擇題 1.(2015 四川卷)設(shè) a，b 為正實(shí)數(shù)，則“ab1”是“l(fā)og2alog2b0”的( ) A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析 因?yàn)?ylog2x 在(0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng) ab1 時(shí)，有l(wèi)og2alog2blog210； 當(dāng) log2alog2b0l

15、og21 時(shí)，有 ab1. 答案 A 2.(2017 石家莊模擬)已知 alog23log23，blog29log23，clog32，則 a，b，c 的大小關(guān)系是( ) A.abc C.abbc 解析 因?yàn)?alog23log23log23 332log231，blog29log23log23 3a，clog320， 且 a1)的圖象如圖所示， 則下列函數(shù)圖象正確的是( ) 解析 由題意 ylogax(a0，且 a1)的圖象過(3，1)點(diǎn)，可解得 a3.選項(xiàng) A 中，y3x13x，顯然圖象錯(cuò)誤；選項(xiàng) B 中，yx3，由冪函數(shù)圖象可知正確；選項(xiàng)C 中，y(x)3x3，顯然與所畫圖象不符；選項(xiàng) D

16、 中，ylog3(x)的圖象與ylog3x 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，顯然不符.故選 B. 答案 B 4.已知函數(shù) f(x)log2x，x0，3x1，x0，則 f(f(1)flog312的值是( ) A.5 B.3 C.1 D.72 解析 由題意可知 f(1)log210， f(f(1)f(0)3012， flog3123log31213log321213， 所以 f(f(1)flog3125. 答案 A 5.(2016 浙江卷)已知 a，b0 且 a1，b1，若 logab1，則( ) A.(a1)(b1)0 C.(b1)(ba)0 解析 a0，b0 且 a1，b1. 由 logab1 得 l

17、ogaba0. a1，且ba1 或 0a1 且 0baa1 或 0ba0. 答案 D 二、填空題 6.設(shè) f(x)log21xa是奇函數(shù)，則使 f(x)0 的 x 的取值范圍是_. 解析 由 f(x)是奇函數(shù)可得 a1， f(x)lg1x1x，定義域?yàn)?1，1). 由 f(x)0，可得 01x1x1，1x2(a0，且 a1)的值域是4，)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 解析 當(dāng) x2 時(shí)，f(x)4；又函數(shù) f(x)的值域?yàn)?，)，所以a1，3loga24，解 1a2，所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍為(1，2. 答案 (1，2 三、解答題 9.設(shè) f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1

18、)，且 f(1)2. (1)求 a 的值及 f(x)的定義域； (2)求 f(x)在區(qū)間0，32上的最大值. 解 (1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2. 由1x0，3x0，得1x3， 函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?1，3). (2)f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x)log2(x1)24， 當(dāng) x(1，1時(shí)，f(x)是增函數(shù)； 當(dāng) x(1，3)時(shí)，f(x)是減函數(shù)， 故函數(shù) f(x)在0，32上的最大值是 f(1)log242. 10.(2016 衡陽(yáng)月考)已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且 f(0)0，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)log12x.

19、(1)求函數(shù) f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解 (1)當(dāng) x0，則 f(x)log12(x). 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)是偶函數(shù)，所以 f(x)f(x)log12(x)， 所以函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)log12x，x0，0，x0，log12（x），x2 轉(zhuǎn)化為 f(|x21|)f(4). 又因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在(0，)上是減函數(shù)， 所以|x21|4，解得 5x 5， 即不等式的解集為( 5， 5). 能力提升題組 (建議用時(shí)：25 分鐘) 11.(2017 長(zhǎng)沙質(zhì)檢)設(shè) f(x)ln x，0ab，若 pf( ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式

20、中正確的是( ) A.qrp B.prp D.prq 解析 0a ab， 又f(x)ln x 在(0，)上為增函數(shù)， fab2f( ab)，即 qp. 又 r12(f(a)f(b)12(ln aln b)ln abp， 故 prb1，若 logablogba52，abba，則 a_，b_. 解析 logablogbalogab1logab52， logab2 或12. ab1，logab0，且 a1)的最大值是 1，最小值是18，求 a 的值. 解 由題意知 f(x)12(logax1)(logax2) 12(log2ax3logax2) 12logax32218. 當(dāng) f(x)取最小值18時(shí)

21、，logax32. 又x2，8，a(0，1). f(x)是關(guān)于 logax 的二次函數(shù)， 函數(shù) f(x)的最大值必在 x2 或 x8 時(shí)取得. 若12loga2322181，則 a213， 此時(shí) f(x)取得最小值時(shí)，x(213)32 22，8，舍去. 若12loga8322181，則 a12， 此時(shí) f(x)取得最小值時(shí)，x12322 22，8， 符合題意，a12. 15.已知函數(shù) f(x)lg1x1ax(a1)是奇函數(shù). (1)求 a 的值； (2)若 g(x)f(x)212x，x(1，1)，求 g12g12的值. 解 (1)因?yàn)?f(x)為奇函數(shù)， 所以對(duì)定義域內(nèi)任意 x，都有 f(x)f(x)0， 即 lg1x1axlg1x1axlg1x21a2x20，a 1， 由條件知 a1，所以 a1. (2)因?yàn)?f(x)為奇函數(shù)，所以 f12f120. 令 h(x)212x，則 h12h1221 221122， 所以 g12g122.