萬(wàn)變不離其宗五【選修1－11－24－5】：專題三 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 Word版含解析

一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí) 1導(dǎo)數(shù)的概念 (1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù) 稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率limx0 f（x0 x）f（x0）xlimx0 yx為函數(shù)yf(x)在x x0處 的 導(dǎo) 數(shù) ， 記 作f(x0)或y|x x0， 即f(x0) limx0 yxlimx0 f（x0 x）f（x0）x. (2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0) (3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)f(x)limx0f（xx）f（x）x為f(x)的導(dǎo)函數(shù) 2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)c(c為常數(shù)) f(x)0 f(x)xn(nQ Q*) f(x)nxn1(nQ Q*) f(x)sin x f(x)cos x f(x)cos x f(x)sin_x f(x)ax f(x)axln a f(x)ex f(x)ex f(x)logax f(x)1xln a f(x)ln x f(x)1x 3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 (1)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0) 4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積 5.函數(shù)的單調(diào)性 在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于 0. f(x)0f(x)在(a，b)上為增函數(shù) f(x)0f(x)在(a，b)上為減函數(shù) 6函數(shù)的極值 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值 極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 7函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)f(x)在上必有最大值與最小值 (2)若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值 二、題之本：思想方法技巧二、題之本：思想方法技巧 1弄清“函數(shù)在一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系 (1)函數(shù)在一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是一個(gè)常數(shù)，不是變量； (2)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))，是針對(duì)某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，是指對(duì)于區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一個(gè)確定的值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x0)，根據(jù)函數(shù)的定義，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，也就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)； (3)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處的函數(shù)值 2求函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)通常有以下兩種方法 (1)利用導(dǎo)數(shù)的定義：即求 0limx f（x0 x）f（x0）x的值； (2)利用導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值：先求函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，再將x0(x0(a，b)代入導(dǎo)函數(shù)f(x)，得f(x0) 3正確區(qū)分“曲線在某點(diǎn)處的切線”與“過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線”的含義，前者的“某點(diǎn)”即切點(diǎn)，后者的“某點(diǎn)”是否為切點(diǎn)則須檢驗(yàn) 4求曲線在某一點(diǎn)處的切線方程時(shí)，可以先求函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點(diǎn)的切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程如果切點(diǎn)未知，要先求出切點(diǎn)坐標(biāo) 5.注意曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別 6導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的技巧 (1)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算的形式，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)； (2)對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的，要適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)但必須注意變形的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)是根式或者分式時(shí)，可用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將真數(shù)轉(zhuǎn)化為有理式或整式，然后再求解比較方便；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式含有三角函數(shù)時(shí)，可優(yōu)先考慮利用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)后再求導(dǎo) 7用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0 的點(diǎn)外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的間斷點(diǎn) 8理清導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 (1)f(x)0(或0(或f(b)的形式 (2)對(duì)形如f(x)g(x)的不等式，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x) (3)對(duì)于(或可化為)f(x1，x2)A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構(gòu)造函數(shù)f(x，x2)(或f(x1，x) 16.利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法 研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn) 三、題之變：課本典例改編三、題之變：課本典例改編 1.原題（選修原題（選修 1 1- -1 1 第第 8080 頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題 1.1B1.1B 組第一題組第一題）改編改編 在高臺(tái)跳水中，t s 時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)水面的高度(單位：m）是105 . 69 . 4)(2ttth則 t=2 s 時(shí)的速度是_. 【答案】13.1(/ )m s. 2 2. .原題（選修原題（選修 1 1- -1 1 第第 9696 頁(yè)練習(xí)第頁(yè)練習(xí)第 2 2 題題）改編改編 如圖是導(dǎo)函數(shù)/( )yfx的圖象，那么函數(shù)( )yf x在下 面哪個(gè)區(qū)間是減函數(shù)（ ） A. 13( ,)x x B. 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x 【答案】B. 【解析】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間就是其導(dǎo)函數(shù)小于零的區(qū)間，故選 B. 3 3. . 原 題 （ 選 修原 題 （ 選 修 1 1- -1 1 第第 9999 頁(yè) 習(xí) 題頁(yè) 習(xí) 題 1.3B1.3B 組 第組 第 1 1 題 改 編題 改 編 1 1 設(shè)02x， 記s i nl n s i n,s i n,xax bx ce 試比較 a,b,c 的大小關(guān)系為（ ） A abc B bac C cba D bca 【答案】A. 【解析】1.先證明不等式lnxxxe (x0);設(shè)( )ln,0f xxx x, 因?yàn)?( )1,fxx所以，當(dāng)01x時(shí)，1( )10,fxx ( )f x單調(diào)遞增，( )ln(1)10f xxxf ；當(dāng)1x 時(shí)1( )10,fxx ( )f x單調(diào)遞減，( )ln(1)10f xxxf ；當(dāng) x=1 時(shí)，顯然ln1 1，因此ln xx; 2.設(shè)( ),0 xg xxex,( )1xg xe 當(dāng)0( )0 xg x時(shí) ( )(0,+g x在）單調(diào)遞減 ( )(0)0g xg,即xxe; 綜上：有l(wèi)nxxxe，x0 成立; 02x ,0sin1x , sinlnsinsinxxxe ,故選 A. 改編改編 2 2 證明：xxx1ln111，1x 【解析】 （1）構(gòu)造函數(shù)xxxf1ln)(， 1111)(xxxxf) 1(x，當(dāng), 0 x 00 f，得下表 01x 0 0 x xf + 0 xf 單調(diào)遞增 極大值0)0(f 單調(diào)遞減 , 1x總有, 0)0()( fxf, 01lnxx.1lnxx 另解1111)(xxxxf) 1(x，當(dāng), 0 x 00 f， 當(dāng)01x， )(, 0 xfxf單調(diào)遞增，, 0)0()(, 01fxfx 當(dāng)0 x， )(, 0 xfxf單調(diào)遞減，, 0)0()(, 0fxfx 當(dāng), 0 x 00 f 綜合得：當(dāng)1x時(shí)，, 0)(xf, 01lnxx.1lnxx 5.5.原題（選修原題（選修 1 1- -1 1 第第 104104 頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題 1.4A1.4A 組第組第 1 1 題題）改編改編 用長(zhǎng)為 18 m 的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為 2：1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是_. 答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m 時(shí)，寬為 1 m，高為 1.5 m 時(shí)，體積最大，最大體積為 3 m3.