高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 專題突破練5 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題 理 北師大版

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1、 專題突破練(五)　平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第309頁) 1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. [解]　(1)根據(jù)c＝及題設(shè)知M，＝，2b2＝3ac. 將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 解得＝，＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸， 所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1

2、的中點(diǎn)， 故＝4，即b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得＋＝1.② 將①及c＝代入②得＋＝1. 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2. 2．(20xx?？谡{(diào)研)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 圖2 (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)如圖2，過橢圓E的左焦點(diǎn)F任作一條不垂直于坐標(biāo)軸的直線l，交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，記弦PQ的中點(diǎn)為M, 過F作PQ的垂線FN交直線OM于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)N在一條定直線上． [解]　(1)由題易得解得

3、所以c＝2，所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)證明：設(shè)直線l的方程為 y＝k(x＋2)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 聯(lián)立y＝k(x＋2)與＋y2＝1， 可得(1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 設(shè)直線FN的方程為y＝－(x＋2)，M(x0，y0)， 則x0＝＝－，y0＝k(x0＋2)＝， 所以kOM＝＝－， 所以直線OM的方程為y＝－x， 聯(lián)立解得 所以點(diǎn)N在定直線x＝－上． 3．(20xx合肥二檢)如圖3，已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)與圓O：x2＋y2＝8相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

4、2.過劣弧AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)M. 圖3 (1)求拋物線E的方程； (2)求點(diǎn)M到直線CD距離的最大值． [解]　(1)由xA＝2得y＝4，故4p＝4，解得p＝1. 于是拋物線E的方程為y2＝2x. (2)設(shè)C，D， 切線l1：y－y1＝k， 代入y2＝2x得ky2－2y＋2y1－ky＝0， 由Δ＝4－4k(2y1－ky)＝0解得k＝， ∴l(xiāng)1的方程為y＝x＋， 同理，l2的方程為y＝x＋. 聯(lián)立解得 易得CD的方程為x0x＋y0y＝8， 其中x0，y0滿

5、足x＋y＝8，x0∈[2,2]． 聯(lián)立得x0y2＋2y0y－16＝0， 則代入 ∴M(x，y)滿足 即點(diǎn)M的坐標(biāo)為. 點(diǎn)M到直線CD：x0x＋y0y＝8的距離d＝＝＝＝為關(guān)于x0的單調(diào)遞減函數(shù)，故當(dāng)且僅當(dāng)x0＝2時(shí)，dmax＝＝. 4．(20xx陜西質(zhì)檢(一))已知F1，F(xiàn)2為橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且|PF1|＋|PF2|＝4. (1)求橢圓E的方程； (2)過F1的直線l1，l2分別交橢圓E于A，C和B，D，且l1⊥l2，問是否存在常數(shù)λ，使得，λ，成等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由. [解]　(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴2a＝4，a＝2. ∴橢圓E的方程為＋＝1. 將P代入可得b2＝3， ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)存在．①當(dāng)AC的斜率為零或斜率不存在時(shí)， ＋＝＋＝； ②當(dāng)AC的斜率k存在且k≠0時(shí)， 設(shè)AC的方程為y＝k(x＋1)， 代入橢圓方程＋＝1，并化簡(jiǎn)得 (3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0. 設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝， |AC|＝|x1－x2| ＝＝. 同理，∵直線BD的斜率為－， ∴|BD|＝＝. ∴＋＝＋＝. 綜上，2λ＝＋＝，∴λ＝. ∴存在常數(shù)λ＝，使得，λ，成等差數(shù)列．