3、－1＝0或x＝1
解析：將過(guò)直線l2：x＋2y＝0與l3：2x＋2y－1＝0的交點(diǎn)的直線系設(shè)為(x＋2y)＋λ(2x＋2y－1)＝0(*)，即(1＋2λ)x＋(2＋2λ)y－λ＝0，由相切得＝1，解得λ＝1，代入(*)式，整理得選D.
答案：D
4．若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對(duì)稱(chēng)，則由點(diǎn)M(a，b)向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：由題意知直線2ax＋by＋6＝0過(guò)圓心C(－1,2)，則a－b－3＝0，當(dāng)點(diǎn)M(a，b)到圓心的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)最短，|MC|＝＝，當(dāng)a＝2時(shí)最小，此時(shí)b＝－1，切線長(zhǎng)
4、等于4.
答案：C
5．已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|＋|≥||，那么k的取值范圍是( )
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，2) D．[，2)
解析：當(dāng)|＋|＝||時(shí)，A，B，O三點(diǎn)為等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其中|OA|＝|OB|，∠AOB＝120，從而圓心O到直線x＋y－k＝0(k>0)的距離為1，此時(shí)，k＝；當(dāng)k>時(shí)，|＋|>||，又直線與圓x2＋y2＝4存在兩交點(diǎn)，故k<2.綜上，k的取值范圍為[，2)．
答案：C
6．已知方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為( )
A. B．
5、(1,2)
C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，－1)∪
解析：依題意得不等式組，解得m<－1或1b>0)，則，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
答案：D
8．過(guò)拋物線y＝ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若
6、線段AF，BF的長(zhǎng)分別為m，n，則等于( )
A. B.
C．2a D.
解析：設(shè)直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立消去y得ax2－kx－＝0，設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1＋x2＝，x1x2＝－，x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋，可得mn＝，m＋n＝＋，∴＝.
答案：B
9．設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為－1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段BF的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率e＝( )
A. B.
C. D.
解析：由題意知，直線l的方程為y＝－(x－c)，解方程組，得A，解方程組，得B，
7、因?yàn)锳為線段BF的中點(diǎn)，所以＝＋c，即b＝3a，所以e2＝＝＝1＋9＝10，所以e＝.
答案：A
10．與拋物線y2＝－2x相切，且與雙曲線－＝1的漸近線平行的直線方程為( )
A．y＝x－或y＝－x＋
B．y＝x－或y＝－x＋
C．y＝x－或y＝－x＋
D．y＝x－或y＝－x＋
解析：雙曲線－＝1的漸近線為y＝x，設(shè)所求直線的方程為y＝x＋m.把y＝x＋m代入拋物線y2＝－2x，得x2＋x＋m2＝0，由Δ＝2－4m2＝0，得m＝－，所以切線方程為y＝x－；把y＝－x＋m代入拋物線y2＝－2x，得x2－x＋m2＝0，由Δ＝2－4m2＝0，得m＝，所以切線方程為y＝－x＋.綜上，
8、切線方程為y＝x－或y＝－x＋.
答案：A
二、填空題(每小題5分)
11．直線x－ky＋1＝0與圓O：x2＋y2＝4相交于兩點(diǎn)A、B，則動(dòng)弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是__________．
解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，易知直線恒過(guò)定點(diǎn)P(－1,0)，由垂徑定理可得⊥，故＝x(x＋1)＋y2＝0，即2＋y2＝.
答案：2＋y2＝
12．兩條互相垂直的直線2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交點(diǎn)為P，若圓C過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)M(－3，2)，且圓心C在直線y＝x上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．
解析：由2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0垂直得2a＋4＝0，故a＝－2，代入直
9、線方程，聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為P(－1,0)，易求得線段MP的垂直平分線l的方程為x－y＋3＝0.設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)為直線l和直線y＝x的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得圓心C的坐標(biāo)為(－6，－3)，從而解得r2＝34，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋6)2＋(y＋3)2＝34.
答案：(x＋6)2＋(y＋3)2＝34
13．過(guò)拋物線x2＝4y上一點(diǎn)M(x0，y0)(x0>0)作拋物線的切線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N(x1，y1)，則x0－x1的最小值為_(kāi)_________．
解析：由x2＝4y，得y＝x2，則y′＝x，拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1.因?yàn)辄c(diǎn)M(
10、x0，y0)是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，所以y0＝x，且過(guò)點(diǎn)M的拋物線的切線的斜率k＝x0，切線方程為y－y0＝x0(x－x0)，即y－x＝x0(x－x0)，令y＝－1，得x1＝x0－，所以x0－x1＝x0＋≥2，所以x0－x1的最小值為2.
答案：2
14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P為橢圓＋y2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x－y＋6＝0的最大距離為_(kāi)_________．
解析：設(shè)直線x－y＋a＝0與橢圓相切，則方程組有唯一解，消去x，得4y2－2ay＋a2－3＝0，Δ＝4a2－16(a2－3)＝0，解得a＝2，所以直線x－y2＝0與橢圓相切，所以點(diǎn)P到直線x－y＋6＝0的最大距離為直線x
11、－y－2＝0與直線x－y＋6＝0間的距離，最大距離為＝4.
答案：4
15．過(guò)雙曲線x2－＝1左焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝3，則△AOB的面積為_(kāi)_________．
解析：根據(jù)題意知，直線AB的斜率存在，設(shè)為k，F(xiàn)(－2,0)，則直線AB的方程為y＝k(x＋2)，代入雙曲線方程x2－＝1，得3x2－k2(x＋2)2－3＝0，即(3－k2)x2－4k2x－4k2－3＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4＝，所以|AB|＝＝＝3，解得k＝，所以直線AB的方程為y＝(x＋2)，原點(diǎn)到直
12、線AB的距離為d＝＝1，所以△AOB的面積為31＝.
答案：
三、解答題(第16,17,18,19題每題12分，第20題13分，第21題14分)
16．過(guò)平面內(nèi)M點(diǎn)的光線經(jīng)x軸反射后與圓C：x2＋(y－2)2＝2相切于A，B兩點(diǎn)．
(1)若M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,1)，求反射光線所在直線的方程；
(2)若|AB|＝，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
解：(1)由光的反射原理知，反射光線所在直線必過(guò)點(diǎn)(5，－1)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則此直線方程可以設(shè)為y＋1＝k(x－5)，即kx－y－5k－1＝0(*)．
又反射光線與圓C：x2＋(y－2)2＝2相切，所以＝，解得k＝－1或－，代入(*)
13、化簡(jiǎn)整理，得反射光線所在直線的方程為x＋y－4＝0或7x＋23y－12＝0.
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)(y≥0)，則反射光線所在直線必過(guò)點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q(x，－y)，設(shè)動(dòng)弦AB的中點(diǎn)為P，則|AP|＝，故|CP|＝＝.
由射影定理|CP||CQ|＝|AC|2，得|CQ|＝＝8，即＝8，即x2＋(y＋2)2＝128(y≥0)．
17．已知直線l1：mx－y＝0，l2：x＋my－2m－2＝0.
(1)證明：m取任意實(shí)數(shù)時(shí)，l1和l2的交點(diǎn)總在一個(gè)定圓C上；
(2)直線AB與(1)中的圓C相交于A，B兩點(diǎn)，
①若弦AB被點(diǎn)P平分，求直線AB的方程．
②若直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(
14、2,3)，求使△ABC的面積取得最大值時(shí)的直線AB的方程．
解：(1)設(shè)l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則有，
消去m得，x2＋y2－2x－2y＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，所以l1和l2的交點(diǎn)總在圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為的圓上．
(2)①當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，CP⊥AB，因?yàn)閗CP＝＝1，所以kAB＝－1，由點(diǎn)斜式方程，得直線AB的方程為y－＝－，即x＋y－1＝0.
②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝2，可求得|AB|＝2，S△ABC＝21＝1；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，則圓心C到直線AB的
15、距離d＝＝，又S△ABC＝d2＝＝，當(dāng)d2＝2
＝1，即k＝時(shí)，△ABC面積取得最大值1，此時(shí)，直線AB的方程為y－3＝(x－2)，即3x－4y＋6＝0.
綜上所求直線AB的方程為x＝2或3x－4y＋6＝0.
18．已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓＋＝1的中心，焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．
(1)求拋物線D的方程；
(2)已知?jiǎng)又本€l過(guò)點(diǎn)P(4,0)，交拋物線D于A，B兩點(diǎn)．是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．
解：(1)由題意，可設(shè)拋物線D的方程為y2＝2px(p>0)．
由4－3＝1，得拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)
16、，∴p＝2.
∴拋物線D的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)A(x1，y1)，假設(shè)存在直線m：x＝a滿足題意，則圓心M，過(guò)M作直線x＝a的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓M的一個(gè)交點(diǎn)為G.則|EG|2＝|MG|2－|ME|2，
即|EG|2＝|MA|2－|ME|2＝－2＝y(tǒng)＋＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.
當(dāng)a＝3時(shí)，|EG|2＝3，此時(shí)直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值2.
因此存在直線m：x＝3滿足題意．
19．已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切．過(guò)點(diǎn)P(－4,0)作斜率為的直線l
17、，使得直線l和雙曲線G交于A，B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)P在線段AB上，|PA||PB|＝|PC|2.
(1)求雙曲線G的方程；
(2)橢圓S的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，它的短軸是G的實(shí)軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程．
解：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為y＝kx，則由已知可得＝，所以k＝，即雙曲線G的漸近線的方程為y＝x.
設(shè)雙曲線G的方程為x2－4y2＝m，A(xA，yA)，B(xB，yB)．由，得3x2－8x－16－4m＝0，
則xA＋xB＝，xAxB＝－.(*)
因?yàn)閨PA||PB|＝|PC|2，P，A，B，C共線
18、且P在線段AB上，
所以(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，整理得：4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0，將(*)代入上式，解得：m＝28.
所以雙曲線G的方程為－＝1.
(2)由題可設(shè)橢圓S的方程為：＋＝1(a>2)，弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)，
由，得
＋＝0，
因?yàn)椋剑?，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
所以－＝0，
所以S中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡為直線－＝0截在橢圓S內(nèi)的部分．
又這個(gè)軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，所以＝，
所以a2＝56，橢圓S的方程為＋＝1.
20．已知橢
19、圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是橢圓C的頂點(diǎn))．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸交于點(diǎn)M，在第一象限內(nèi)是否存在A點(diǎn)，使得AM與橢圓相切？若存在，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
解：(1)由e＝，得a＝2b，把點(diǎn)代入橢圓方程可得：＋＝1?b＝1，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)假設(shè)存在A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，則B(－x1，－y1)，直線AB的斜率kAB＝，
又AB⊥AD，所以直線AD的斜率k＝－，
設(shè)直線AD的方程為y＝kx＋m，D(x2，y2)，由題
20、意知k≠0，m≠0，
由，可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－，因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
由題意知，x1≠x2，所以kBD＝＝－＝，
所以直線BD的方程為y＋y1＝(x＋x1)，
令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)，
可得kAM＝－.設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝tx＋p與橢圓相切，則把y＝tx＋p代入＋y2＝1，得(1＋4t2)x2＋8ptx＋4p2－4＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，所以Δ＝(8pt)2－44(p2－1)(1＋4t2)＝0，所以4t2＝p2－1.
又方程的解為x1，即x1＝－，y1＝，所以t＝－.
若AM是橢圓的切線，
21、則－＝－，即x＝2y，
又因?yàn)椋珁＝1，
所以x＝，y＝，
所以x1＝，y1＝，所以在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)A，使得AM與橢圓相切．
21．已知焦距為2的橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1、上頂點(diǎn)為D，直線DF1與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為H，且|DF1|＝7|F1H|.
(1)求橢圓的方程；
(2)點(diǎn)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B(1,0)且斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x＝3于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為P.記直線PB的斜率為k′，求證：kk′為定值．
解：(1)∵橢圓C的焦距為2，
∴F1(－，0)，又D(0，b)，|DF1|＝7|F1H|，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則＋＝1，解得a2＝4，則b2＝4－3＝1，
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)根據(jù)已知可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)．
由，得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.直線AE，AF的方程分別為：y＝(x－2)，
y＝(x－2)，令x＝3，
則M，N，
∴P.
∴kk′＝
＝
＝
＝＝－.
【師說(shuō)】高考數(shù)學(xué)理二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí) 專(zhuān)題能力提升練五 Word版含解析
