萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修四、五：專題六 不等式 Word版含解析

專題六 不等式一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系ab>0a>b；ab0ab；ab<0a<b2不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性：abba；(2)傳遞性：ab,bc ac；(3)可加性：abacbc,ab,cdacbd；(4)可乘性：ab,c0acbc,ab0,cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN,n1)；(6)可開方：ab0(nN,n2)3二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC>0直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分4.二元一次不等式(組)的解集滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)(x,y),叫做二元一次不等式(組)的解,所有這樣的有序數(shù)對(duì)(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集5線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式(組)線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式,如zx2y線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題6基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)7算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)8利用基本不等式求最值問題已知x>0,y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),xy有最大值是(簡記：和定積最大)二、題之本：思想方法技巧1.理解不等關(guān)系的意義、實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則、不等式的性質(zhì),是解不等式和證明不等式的依據(jù)和基礎(chǔ).2.一般數(shù)學(xué)結(jié)論都有前提,不等式性質(zhì)也是如此.在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前,一定要準(zhǔn)確把握前提條件,注意放寬條件和加強(qiáng)條件與其結(jié)論的關(guān)系,以及條件與結(jié)論間的相互聯(lián)系.如：同向不等式相加,方向不改變；都是正數(shù)的同向不等式相乘,方向不改變；異向不等式相減,方向與被減不等式方向相同；都是正數(shù)的異向不等式相除,方向與被除不等式方向相同；兩個(gè)正數(shù)的n次(nN,n1)方(開n次方),當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí),它們的冪(方根)相等；而不等的兩個(gè)正數(shù),它們的冪(方根)不等,較大的正數(shù)冪(方根)較大.(1)在應(yīng)用傳遞性時(shí),注意等號(hào)是否傳遞下去,如ab,b<ca<c；(2)在乘法法則中,要特別注意“乘數(shù)c的符號(hào)”,例如當(dāng)c0時(shí),有a>bac2>bc2；若無c0這個(gè)條件,a>bac2>bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c0時(shí),取“”)3不等式中的倒數(shù)性質(zhì)(1)a>b,ab>0<；(2)a<0<b<；(3)a>b>0,0<c<d>；(4)0<a<x<b或a<x<b<0<<.4.判斷多個(gè)不等式是否成立,需要逐一給出推理判斷或反例說明常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì),常見的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考：(1)不等式兩邊都乘以一個(gè)代數(shù)式時(shí),考察所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0；(2)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),當(dāng)兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不一定保持不變；(3)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),當(dāng)兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號(hào)方向不變等5.不等式性質(zhì)包括“充分條件(或者是必要條件)”和“充要條件”兩種,前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ),后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ).6.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,有作差法和作商法兩種方法.一般多用作差法,注意當(dāng)這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)時(shí),才可以用作商法.作差法是比較作差后的式子與“0”的大小關(guān)系；作商法是比較作商后的式子與“1”的大小關(guān)系.7.對(duì)于實(shí)際問題中的不等量關(guān)系,還要注意實(shí)際問題對(duì)各個(gè)參變數(shù)的限制.8.一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)(a0)的解集的確定,受二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)及判別式b24ac的符號(hào)制約,且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系,可結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象,數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集；二次函數(shù)yax2bxc的值恒大于0的條件是a0且0；若恒大于或等于0,則a0且0.若二次項(xiàng)系數(shù)中含參數(shù)且未指明該函數(shù)是二次函數(shù)時(shí),必須考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0這一特殊情形.9.解分式不等式要使一邊為零；求解非嚴(yán)格分式不等式時(shí),要注意分母不等于0,轉(zhuǎn)化為不等式組.(注：形如0或0的不等式稱為非嚴(yán)格分式不等式).10.解含參數(shù)的不等式的基本途徑是分類討論,能避免討論的應(yīng)設(shè)法避免討論.對(duì)字母參數(shù)的邏輯劃分要具體問題具體分析,必須注意分類不重、不漏、完全、準(zhǔn)確.11.解不等式的過程,實(shí)質(zhì)上是不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程.因此保持同解變形是解不等式應(yīng)遵循的基本原則.12.各類不等式最后一般都要化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來解,這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.13.對(duì)給定的一元二次不等式,求解的程序框圖是：14.不等式的解集的規(guī)范書寫格式是什么？（一般要寫成集合的表達(dá)式）15.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定方法(1)確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法是：“直線定界,特殊點(diǎn)定域”,即先作直線,再取特殊點(diǎn)并代入不等式組若滿足不等式組,則不等式(組)表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對(duì)應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域；(2)當(dāng)不等式中帶等號(hào)時(shí),邊界為實(shí)線,不帶等號(hào)時(shí),邊界應(yīng)畫為虛線,特殊點(diǎn)常取原點(diǎn)16.如果可行域是一個(gè)多邊形,那么一般在其頂點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值.最優(yōu)解一般是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn),到底是哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解,有三種解決方法：第一種方法：將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動(dòng),最先通過或最后通過的一個(gè)便是.第二種方法：利用圍成可行域的直線斜率來判斷.特別地,當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域某條邊重合時(shí),其最優(yōu)解可能有無數(shù)組.第三種方法：將可行域所在多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)Pi逐一代入目標(biāo)函數(shù)ZPimxny,比較各個(gè)ZPi,得最大值或最小值.17. 辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)畫出平面區(qū)域,避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為axbyc>0(a>0)；(2)線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的,即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)不一定只有一個(gè),也可能有無數(shù)多個(gè),也可能沒有18求zaxby(ab0)的最值步驟將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值(1)當(dāng)b>0時(shí),截距取最大值時(shí),z也取最大值；截距取最小值時(shí),z也取最小值；(2)當(dāng)b<0時(shí),截距取最大值時(shí),z取最小值；截距取最小值時(shí),z取最大值19.利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的求解步驟如下：(1)審題：仔細(xì)閱讀材料,抓住關(guān)鍵,準(zhǔn)確理解題意,明確有哪些限制條件,主要變量有哪些由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多,為了了解題目中量與量之間的關(guān)系,可以借助表格或圖形；(2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量x,y,并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)；(3)作圖：準(zhǔn)確作圖,平移找點(diǎn)(最優(yōu)解)；(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)；(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果,檢驗(yàn)反饋20.要熟悉基本不等式的變式和推廣,這對(duì)提高解題能力是有幫助的,常見的基本不等式和推廣有：a2b2；ab；ab(ab)2；(ab)24ab；abc等.a、b、cR,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)）；對(duì)于上面的式子,要明了其成立的條件和取“”的條件.21.在利用基本不等式求最值時(shí),要注意一正,二定,三相等.“一正”是指使用均值不等式的各項(xiàng)(必要時(shí),還要考慮常數(shù)項(xiàng))必須是正數(shù)；“二定”是指含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；“三相等”是指具備等號(hào)成立的條件,使待求式能取到最大或最小值.22.基本不等式的應(yīng)用在于“定和求積,定積求和；和定積最大,積定和最小”,必要時(shí)可以通過變形(拆補(bǔ))、運(yùn)算(指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算等)構(gòu)造“和”或者“積”為定值.23.求型最值問題,常通過“1”來進(jìn)行轉(zhuǎn)化,但不是所有的最值都可以通過基本不等式解決,有一些看似可以通過基本不等式解決的問題,由于條件的限制,等號(hào)不能夠成立,這時(shí)就不能用基本不等式來解決,而要借助于其他求值域的方法來解決.24.對(duì)于形如f(x)的最值問題,只要分母xd0,都可以將f(x)轉(zhuǎn)化為f(x)a(xd)h(這里ae0；若ae0,可以直接利用單調(diào)性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.25. 一般地,對(duì)含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問題,對(duì)于“恒成立”的不等式,一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值.另外,要記住幾個(gè)常見的有關(guān)不等式恒成立的等價(jià)命題：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min；(3)af(x)有解af(x)min；(4)af(x)有解af(x)max.三、題之變：課本典例改編1.原題（必修5第75頁習(xí)題3.1A組第2題）改編 若試比較與的大小.【解析】平方作差可得：.2.原題（必修5第80頁習(xí)題3.2A組第3題）改編 已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】依題意有：,故或.3.原題（必修5第81頁習(xí)題3.2B組第二題）改編1 若函數(shù)的定義域?yàn)?則的取值范圍是 【解析】要使有意義,即對(duì)恒成立,則,即.改編2 若恒成立,則的取值范圍是 【解析】當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于：,即不是恒成立,要使恒成立,則,即.改編3 若函數(shù)的定義域不是,則的取值范圍是 【解析】要使函數(shù)有意義,則存在,使得（*） 當(dāng)時(shí),（*）等價(jià)于：,即,滿足題意；當(dāng)時(shí),即；當(dāng)時(shí),即；綜上,改編4 若函數(shù)的值域是,則的取值范圍是 4.原題（必修5第80頁習(xí)題3.2A組第四題）改編 已知不等式的解集為A,不等式的解集是B. （1）求；（2）若不等式的解集是 求的解集.【解析】（1）解得,所以. 解得,所以. . （2）由的解集是,所以,解得 ,解得解集為R. 5.原題（必修5第87頁例題）改編 橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)是整點(diǎn)坐標(biāo)若直線（為正整數(shù)）,與坐標(biāo)軸圍成三角形內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)（含周界）的個(gè)數(shù)是100,則等于（ ） A9 B18 C11 D22【解析】B.6.原題（必修5第100頁練習(xí)題第1題）改編 求函數(shù)的值域.