萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一：專題一 集合 Word版含解析

一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1.集合的含義與表示一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性：確定性、互異性、無序性。集合的表示有列舉法、描述法。描述法格式為：元素|元素的特征，例如2.常用數(shù)集及其表示方法（1）自然數(shù)集N（又稱非負(fù)整數(shù)集）：0、1、2、3、（2）正整數(shù)集N*或N+ ：1、2、3、（3）整數(shù)集Z：-2、-1、0、1、（4）有理數(shù)集Q：包含分?jǐn)?shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等（5）實(shí)數(shù)集R：全體實(shí)數(shù)的集合（6）空集 ：不含任何元素的集合3.元素與集合的關(guān)系：屬于，不屬于,例如：a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA4.集合與集合的關(guān)系：子集、真子集、相等（1）子集的概念如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如圖1)，記作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，記作（2）真子集的概念若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 記作AB或BA.（3）集合相等：若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作A=B.5.重要結(jié)論（1）傳遞性：若，則,（2）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6.含有個(gè)元素的集合,它的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有1個(gè)；非空子集有1個(gè)(即不計(jì)空集)；非空的真子集有2個(gè). 7、集合的運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集（1）一般地，由所有屬于A又屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB（2）一般地，對(duì)于給定的兩個(gè)集合A,B把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做A,B的并集記作AB（讀作A并B），即AB=x|xA，或xB（3）若A是全集U的子集，由U中不屬于A的元素構(gòu)成的集合，叫做A在U中的補(bǔ)集，記作, 二、題之本：思想方法技巧1.對(duì)于集合問題，一定要抓住集合的代表元素，要注意區(qū)分集合中元素的形式，你注意區(qū)分下面幾個(gè)集合： ；.2.集合中的元素具有無序性和互異性。如集合隱含條件，集合不能直接化成.3.由于空集是任何非空集合的真子集，在解題中如果思維不夠縝密，遇到或AB=就有可能忽視的情況，導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤。尤其是在解含有參數(shù)的集合問題時(shí)，更要注意當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)所給的集合可能是空集這種情況。如：，若 ，求實(shí)數(shù)的值.(不要遺忘=0的情況）4.下面幾個(gè)等價(jià)關(guān)系在解題中經(jīng)常用到： AB=AAB=BAB=。5.方程組解的集合可看作點(diǎn)集.例： 解的集合為(2，1).6.數(shù)形結(jié)合是解集合問題時(shí)的常用方法，解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決.7.解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮從反面考慮問題在集合中的運(yùn)用主要就是運(yùn)用補(bǔ)集思想補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。三、題之變：課本典例改編1.原題(必修1第七頁練習(xí)第三題（3）判斷下列兩個(gè)集合之間的關(guān)系：A= .改編 已知集合，集合，則（ ）ABC D【答案】D.【解析】， ，故選D .2.原題(必修1第十二頁習(xí)題1.1 A組第10題）已知集合，求，改編1 已知全集且則等于（ ） A.B. C. D.【答案】C.改編2 設(shè)集合，則等于（ ）A B C D【答案】B.【解析】，所以，故選B .改編3 已知集合集合則等于（ ）AB C D【答案】D.【解析】集合，故選D . 3.原題（必修1第十二頁習(xí)題1.1B組第一題）已知集合A=1，2，集合B滿足AB=1，2，則這樣的集合B有 個(gè).改編1 已知集合A、B滿足AB=1，2，則滿足條件的集合A、B有多少對(duì)？請(qǐng)一一寫出來【答案】有9對(duì)；可以是：，1，2；1，1，2；1，2；2，1，2；2，1；1，2，1，2；1，2，1；1，2，2；1，2，【解析】AB=1，2，集合A，B可以是：，1，2；1，1，2；1，2；2，1，2；2，1；1，2，1，2；1，2，1；1，2，2；1，2，則滿足條件的集合A、B有9對(duì).改編2 已知集合有個(gè)元素，則集合的子集個(gè)數(shù)有 個(gè)，真子集個(gè)數(shù)有 個(gè).【答案】；.【解析】子集個(gè)數(shù)有個(gè)，真子集個(gè)數(shù)有個(gè).改編3 滿足條件的所有集合有 個(gè).【答案】4.改編4 滿足的集合有 個(gè)?！敬鸢浮?【解析】符合條件的集合A有，共4個(gè).改編5 已知，若非空集合A滿足，對(duì)任意 都有，則這樣的集合有 個(gè)?！敬鸢浮?【解析】符合條件的集合A有，共7個(gè)改編6 已知，若集合A中有4個(gè)元素，且對(duì)任意 都有，則這樣的集合有 個(gè)?！敬鸢浮?【解析】符合條件的集合A有，共6個(gè)。4.原題（必修1第十三頁閱讀與思考“集合中元素的個(gè)數(shù)”）改編 用表示非空集合中的元素個(gè)數(shù)，定義,若，且,則由實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合= .【答案】.【解析】由，而，故由得當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)根，這時(shí)當(dāng)時(shí)，必有，這時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程必有兩個(gè)相等的實(shí)根，且異于，有，可驗(yàn)證均滿足題意，故5.原題（必修1第四十四頁復(fù)習(xí)參考題A組第四題）已知集合A=x|=1，集合B=x|ax=1，若BA，求實(shí)數(shù)a的值.改編 已知集合A=x|x-a=0，B=x|ax-1=0，且AB=B，則實(shí)數(shù)a等于 .【答案】1或-1或0.