精編高中數(shù)學(xué) 本冊(cè)綜合測(cè)試 北師大版選修22

精編北師大版數(shù)學(xué)資料選修22綜合測(cè)試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1計(jì)算：()A1iB1iC1i D1i答案B解析1i.2用反證法證明命題“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被3整除”，假設(shè)應(yīng)為()Aa，b都能被3整除 Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除 Da不能被3整除答案B解析“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)也沒有”3用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212，從nk到nk1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是()A(k1)22k2 B(k1)2k2C(k1)2 D(k1)2(k1)21答案B解析當(dāng)nk時(shí)，左邊1222(k1)2k2(k1)22212，當(dāng)nk1時(shí)，左邊1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，從nk到nk1，左邊應(yīng)添加的式子為(k1)2k2.4已知函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大致為()答案B解析當(dāng)x1時(shí)，y<0，排除A；當(dāng)x0時(shí)，y不存在，排除D；當(dāng)x從負(fù)方向無限趨近于0時(shí)，y趨近于，排除C.故選B.5已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929答案D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a1a9a2a82a5，故D成立6做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在任意位置x處，所受的力F(x)1ex，則質(zhì)點(diǎn)從x10，沿x軸運(yùn)動(dòng)到x21處，力F(x)所做的功是()AeBC2eD答案B解析由W(1ex)dx1dxexdxx|ex|11.7已知復(fù)數(shù)(x2)yi(x，yR)對(duì)應(yīng)向量的模為，則的最大值是()A B C. D答案C解析由|(x2)yi|，得(x2)2y23，此方程表示如圖所示的圓C，則的最大值為切線OP的斜率由|CP|，|OC|2，得COP，切線OP的斜率為，故選C.8設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖像可能是()答案C解析本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象由f(x)在x2處取極小值知f(2)0且在2的左側(cè)f(x)<0，而2的右側(cè)f(x)>0，所以C項(xiàng)合適函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式結(jié)合命題，對(duì)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)能力提出了較高要求9.觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第6個(gè)圖中有_個(gè)小正方形，第n個(gè)圖中有_個(gè)小正方形()A28， B14，C28， D12，答案A解析根據(jù)規(guī)律知第6個(gè)圖形中有123456728.第n個(gè)圖形中有12(n1).10.給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f(x)(f(x)，若f(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)以下四個(gè)函數(shù)在(0，)上不是凸函數(shù)的是()Af(x)sinxcosx Bf(x)lnx2xCf(x)x32x1 Df(x)xex答案D解析若f(x)sinxcosx，則f(x)sinxcosx，在x(0，)上，恒有f(x)<0；若f(x)lnx2x，則f(x)，在x(0，)上，恒有f(x)<0；若f(x)x32x1，則f(x)6x，在x(0，)上，恒有f(x)<0；若f(x)xex，則f(x)2exxex(2x)ex.在x(0，)上，恒有f(x)>0，故選D.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11(2014北京理，9)復(fù)數(shù)()2_.答案1解析復(fù)數(shù)i，故()2i21.12用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1能被14整除時(shí)，當(dāng)nk1時(shí)，對(duì)于34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_答案3434k15252k1解析nk時(shí)，34k152k1能被14整除，因此，我們需要將nk1時(shí)的式子構(gòu)造為能利用nk的假設(shè)的形式.34(k1)152(k1)13434k15252k13452k13452k134(34k152k1)(5234)52k1，便可得證13在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則()，將命題類比到四面體中去，得到一個(gè)類比命題：_.答案在四面體ABCD中，G為BCD的重心，則()14已知函數(shù)f(x)x3ax23ax1在區(qū)間(，)內(nèi)既有極大值，又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，0)(9，)解析由題意得y3x22ax3a0有兩個(gè)不同的實(shí)根，故(2a)2433a>0，解得a<0或a>9.15.如圖為函數(shù)f(x)的圖像，f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式xf(x)<0的解集為_答案(3，1)(0,1)解析xf(x)<0或(3，1)是f(x)的遞增區(qū)間，f(x)>0的解集為(3，1)(0,1)是f(x)的遞減區(qū)間，f(x)<0的解集為(0,1)故不等式的解集為(3，1)(0,1)三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16(2015山東青島)已知復(fù)數(shù)z1i(1i)3.(1)求|z1|.(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解析(1)|z1|i(1i)3|i|i1|32.(2)如圖所示，由|z|1可知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1，圓心為O(0,0)的圓而z1對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z1(2，2)，所以|zz1|的最大值可以看成是點(diǎn)Z1(2，2)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值由圖知|zz1|max|z1|r(r為圓的半徑)21.17設(shè)函數(shù)f(x)kx33x21(k0)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的極小值大于0，求k的取值范圍解析(1)當(dāng)k0時(shí)，f(x)3x21，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，)當(dāng)k>0時(shí)，f(x)3kx26x3kx(x)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，(，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，)(2)當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)不存在極小值當(dāng)k>0時(shí)，由(1)知f(x)的極小值為f()1>0，即k2>4，又k>0，k的取值范圍為(2，)18.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解析解法一：(1)選擇(2)式，計(jì)算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.19.設(shè)a>0且a1，函數(shù)f(x)x2(a1)xalnx.(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在(3，f(3)處切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)解析(1)由已知得x>0.當(dāng)a2時(shí)，f(x)x3，f(3)，所以曲線yf(x)在(3，f(3)處切線的斜率為.(2)f(x)x(a1).由f(x)0，得x1或xA當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(a,1)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)xa時(shí)f(x)的極大值點(diǎn)，x1是f(x)的極小值點(diǎn)當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，a)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(a，)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)x1是f(x)的極大值點(diǎn)，xa是f(x)的極小值點(diǎn)綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，xa是f(x)的極大值點(diǎn)，x1是f(x)的極小值點(diǎn)；當(dāng)a>1時(shí)，x1是f(x)的極大值點(diǎn)，xa是f(x)的極小值點(diǎn)20.(2014廣東理)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析(1)a1S12a2312412a27a1a2S24a3322424(S3a1a2)204(15a1a2)20，a1a28聯(lián)立解得，a3S3a1a21587，綜上a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：由(1)知，當(dāng)n1時(shí)，a13211，猜想成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想成立，即ak2k1，則當(dāng)nk1時(shí)，ak1ak(2k1)332k32(k1)1這就是說nk1時(shí)，猜想也成立，從而對(duì)一切nN*，an2n1.21.如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB20 km，CB10 km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)，且與A，B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為y km.(1)設(shè)BAOrad，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；(2)確定污水處理廠的位置，使三條排污管道的總長(zhǎng)度最小解析(1)延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)Q，則PQ垂直平分AB.若BAOrad，則OA，故OB.又OP1010tan，所以yOAOBOP1010tan.故所求函數(shù)關(guān)系式為y10(0)(2)y.令y0，得sin .因?yàn)?，所以.當(dāng)0，)時(shí)，y<0，則y是關(guān)于的減函數(shù)；當(dāng)(，時(shí)，y>0，則y是關(guān)于的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，ymin10(1010)故當(dāng)點(diǎn)O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊km處時(shí)，三條排污管道的總長(zhǎng)度最小