《精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案:第二章 6 正態(tài)分布 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案:第二章 6 正態(tài)分布 Word版含解析(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
*§6正態(tài)分布
1.正態(tài)分布
正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為:f(x)=e-,x∈(-∞,+∞),其中μ表示均值,σ2(σ>0)表示方差.通常用X~N(μ,σ2)表示X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布.
2.正態(tài)分布密度函數(shù)滿足以下性質(zhì)
(1)函數(shù)圖像關(guān)于直線x=μ對稱.
(2)σ(σ>0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”.
(3)正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%;
P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.4%;
P(μ-3σ<X<μ+3σ)=99.7%.
通常服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)
2、的隨機變量X在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有0.3%.
1.正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定,因此可把正態(tài)分布記作N(μ,σ2).
2.要正確理解μ,σ的含義.若X~N(μ,σ2),則EX=μ,DX=σ2,即μ為隨機變量X取值的均值,σ2為其方差.
正態(tài)曲線及性質(zhì)
[例1] 設(shè)X~N(1,22),試求:
(1)P(-1<X≤3);(2)P(X≥5).
[思路點撥] 首先確定μ=1,σ=2,然后根據(jù)三個特殊區(qū)間上的概率值求解.
[精解詳析] 因為X~N(1,22),
所以μ=1,σ=2.
(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=
3、P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.683.
(2)因為P(X≥5)=P(X≤-3),
所以P(X≥5)=[1-P(-3<X≤5)]
=[1-P(1-4<X≤1+4)]
=[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)]
=(1-0.954)
=0.023.
[一點通] 對于正態(tài)分布N(μ,σ2),由x=μ是正態(tài)曲線的對稱軸知,
(1)對任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);
(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0);
(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).
1.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(4,σ2),則P(X>4)=( )
A. B.
4、C. D.
解析:由正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)可知,μ=4是該函數(shù)圖像的對稱軸,∴P(X<4)=P(X>4)=.
答案:D
2.如圖所示,是一個正態(tài)分布密度曲線.試根據(jù)圖像寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式,并求出總體隨機變量的期望和方差.
解:從正態(tài)曲線的圖像可知,該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對稱,最大值為,所以μ=20,=,解得σ=.于是概率密度函數(shù)的解析式為
f(x)=e-,x∈(-∞,+∞).
總體隨機變量的期望是μ=20,方差是σ2=()2=2.
正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用
[例2] (8分)在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績X服從一個正態(tài)分布,即X~N(90,100).
5、
(1)試求考試成績X位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率是多少?
(2)若這次考試共有2 000名考生,試估計考試成績在(80,100)之間的考生大約有多少人?
[思路點撥]
―→―→―→
[精解詳析] ∵X~N(90,100),
∴μ=90,σ==10.(2分)
(1)P(70<X<110)=P(90-2×10<X<90+2×10)=0.954,
即成績X位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率為0.954. (5分)
(2)P(80<X<100)=P(90-10<X<90+10)=0.683,
6、
∴2 000×0.683=1 366(人).
即考試成績在(80,100)之間的考生大約有1 366人. (8分)
[一點通] 解答此類問題的關(guān)鍵有兩個:
(1)熟記隨機變量的取值位于區(qū)間(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)的概率值;
(2)根據(jù)已知條件確定問題所在的區(qū)間,并結(jié)合三個特殊區(qū)間上的概率值求解.
3.一批電阻的阻值X服從正態(tài)分布N(1 000,52)(Ω).今從甲、乙兩箱出廠成品中各隨機抽取一個電阻,測得阻值分別為1 011 Ω和982 Ω,可以認為( )
A.甲、乙兩箱電阻均可出廠
B.甲、乙兩箱電
7、阻均不可出廠
C.甲電阻箱可出廠,乙電阻箱不可出廠
D.甲電阻箱不可出廠,乙電阻箱可出廠
解析:∵X~N(1 000,52),
∴μ=1 000,σ=5,
∴μ-3σ=1 000-3×5=985,
μ+3σ=1 000+3×5=1 015.
∵1 011∈(985,1 015),982?(985,1 015).
∴甲電阻箱可出廠,乙電阻箱不可出廠.
答案:C
4.(湖北高考改編)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.
求p0的值.(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ
8、2),有P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.)
解:(1)由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,
P(700<X≤900)=0.954 4.
由正態(tài)分布的對稱性,可得
p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=+P(700<X≤900)=0.977 2.
5.某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服從正態(tài)分布N(70,102),如果規(guī)定低于60分為不及格,求:
(1)成績不及格的學(xué)生占多少?
(2)成績在80~
9、90之間的學(xué)生占多少?
解:(1)設(shè)學(xué)生的得分為隨機變量X,X~N(70,102),如圖所示,則μ=70,σ=10,P(70-10<X<70+10)=0.683,
∴不及格的學(xué)生的比為
×(1-0.683)=0.158 5,
即成績不及格的學(xué)生占15.85%.
(2)成績在80~90之間的學(xué)生的比為
[P(50<X<90)-P(60<X<80)]
=×(0.954-0.683)=0.135 5,
即成績在80~90之間的學(xué)生占13.55%.
1.正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)μ就是隨機變量X的均值
10、,它可以用樣本的均值去估計;參數(shù)σ就是隨機變量X的標準差,它可以用樣本的標準差去估計.
2.因為P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997,所以正態(tài)總體X幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi),而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.003,這是一個小概率事件,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.
1. 設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函數(shù)圖像如圖所示,則有
2. ( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
11、D.μ1>μ2,σ1>σ2
解析:根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì):對稱軸方程x=μ,σ表示總體分布的分散與集中.由圖可得,μ1<μ2,σ1<σ2.
答案:A
2.已知X~N(0,62),且P(-2≤X≤0)=0.4,則P(X>2)等于( )
A.0.1 B.0.2
C.0.6 D.0.8
解析:由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)知P(0≤X≤2)=0.4,
∴P(-2≤X≤2)=0.8,∴P(X>2)=(1-0.8)=0.1.
答案:A
3.在正常情況下,工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).在一次正常的試驗中,取10 000個零件時,不屬于(μ-
12、3σ,μ+3σ)這個尺寸范圍的零件個數(shù)可能為( )
A.70個 B.100個
C.30個 D.60個
解析:正態(tài)總體N(μ,σ2)落在(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)的概率為0.997,因此不屬于(μ-3σ,μ+3σ)的概率為0.003,所以在一次正常的試驗中,取10 000個零件時.不屬于(μ-3σ,μ+3σ)這個尺寸范圍的零件個數(shù)可能為30個左右.
答案:C
4.如果隨機變量X~N(μ,σ2),且EX=3,DX=1,則P(0<X≤1)等于( )
A.0.021 5 B.0.723
C.0.215 D.0.64
解析:由EX=μ=3,DX=σ2=1,∴X~N
13、(3,1).
P(μ-3σ<X<μ+3σ)=P(0<X<6)=0.997,
P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(1<X<5)=0.954,
P(0<X<6)-P(1<X<5)=2P(0<X≤1)=0.043.
∴P(0<X≤1)=0.021 5.
答案:A
5.若隨機變量X~N(2,100),若X落在區(qū)間(-∞,k)和(k,+∞)內(nèi)的概率是相等的,則k等于________.
解析:由于X的取值落在(-∞,k)和(k,+∞)內(nèi)的概率是相等的,所以正態(tài)曲線在直線x=k的左側(cè)和右側(cè)與x軸圍成的面積應(yīng)該相等
14、,于是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=k對稱,即μ=k,而μ=2.所以k=2.
答案:2
6.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,σ2),P(X>2)=0.023,則P(-2≤X≤2)=________.
解析:∵P(X>2)=0.023,∴P(X<-2)=0.023,
故P(-2≤X≤2)=1-P(X>2)-P(X<-2)=0.954.
答案:0.954
7.設(shè)X~N(0,1).
(1)求P(-1<X≤1);
(2)求P(0<X≤2).
解:(1)X~N(0,1)時,μ-σ=-1,μ+σ=1,
所以P(-1<X≤1)=0.683.
(2
15、)μ-2σ=-2,μ+2σ=2,正態(tài)曲線f(x)關(guān)于直線x=0對稱,所以
P(0<X≤2)=P(-2<X≤2)=×0.954=0.477.
8.某廠生產(chǎn)的T型零件的外直徑X~N(10,0.22),一天從該廠上午、下午生產(chǎn)的T型零件中隨機取出一個,測得其外直徑分別為9.52和9.98.試分析該廠這一天的生產(chǎn)狀況是否正常.
解:∵X~N(10,0.22),
∴μ=10,σ=0.2.
∴μ-3σ=10-3×0.2=9.4,
μ+3σ=10+3×0.2=10.6.
∵9.52∈(9.4,10.6),9.98∈(9.4,10.6),
∴該廠全天的生產(chǎn)狀況是正常的.