高中數(shù)學(xué) 第1章 4數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 北師大版選修22
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高中數(shù)學(xué) 第1章 4數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 北師大版選修22
2019版數(shù)學(xué)精品資料(北師大版)【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第1章 4數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 北師大版選修2-2一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN)時,驗證n1時,左邊應(yīng)取的項是()A1B12C123 D1234答案D2如果123234345n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)對一切正整數(shù)n都成立,則a,b的值應(yīng)該等于()Aa1,b3 Ba1,b1Ca1,b2 Da2,b3答案D解析當(dāng)n1時,上式可化為abab11;當(dāng)n2時,上式可化為ab2(ab)16.由可得ab5,ab6,驗證可知只有選項D適合3(2014揭陽一中高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”,要利用歸納假設(shè)證nk1時的情況,只需展開()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析因為從nk到nk1的過渡,增加了(k3)3,減少了k3,故利用歸納假設(shè),只需將(k3)3展開,證明余下的項9k227k27能被9整除4某個命題與正整數(shù)n有關(guān),若nk(kN*)時該命題成立,那么可推知nk1時該命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n5時該命題不成立,那么可推得()A當(dāng)n6時該命題不成立B當(dāng)n6時該命題成立C當(dāng)n4時該命題不成立D當(dāng)n4時該命題成立答案C解析若原命題正確,則其逆否命題正確,所以若nk(kN*)時該命題成立,那么可推得nk1時該命題也成立,可推得若nk1時命題不成立可推得nk(kN*)時命題不成立,所以答案為C5(2014合肥一六八中高二期中)觀察下列各式:已知ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,則歸納猜測a7b7()A26 B27C28 D29答案D解析觀察發(fā)現(xiàn),134,347,4711,71118,111829,a7b729.二、填空題6(2014吉林長春一模,13)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(2n1)(n1)(2n1)時,當(dāng)n1時左邊表達(dá)式是_;從kk1需增添的項是_答案123;4k5(或(2k2)(2k3)解析因為用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(2n1)(n1)(2n1)時,當(dāng)n1時,2n13,所以左邊表達(dá)式是123;從kk1需增添的項的是4k5或(2k2)(2k3)7使|n25n5|1不成立的最小的正整數(shù)是_答案5解析從n1,2,3,4,5,取值逐個驗證即可8凸k邊形有f(k)條對角線,則凸k1邊形的對角線條數(shù)f(k1)f(k)_.答案k1解析設(shè)原凸k邊形的頂點為A1,A2,Ak,增加一個頂點Ak1,增加Ak1與A2、A3,Ak1共k2條再加上A1與Ak的一條連線共k1條三、解答題9數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計算a1,a2,a3,并猜想an的通項公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想解析(1)當(dāng)n1時,a1S12a1,a11;當(dāng)n2時,a1a2S222a2,a2;當(dāng)n3時,a1a2a3S323a3,a3.由此猜想an(nN*)(2)證明:當(dāng)n1時,a11結(jié)論成立,假設(shè)nk(k1,且kN*)時結(jié)論成立,即ak,當(dāng)nk1時,ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1,2ak12akak1,當(dāng)nk1時結(jié)論成立,于是對于一切的自然數(shù)nN*,an成立10求證:>(n2,nN)證明(1)當(dāng)n2時,左邊>,不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2,kN)時不等式成立,即>,則當(dāng)nk1時,>>.所以當(dāng)nk1時不等式也成立由(1)(2)可知原不等式對一切n(n2,nN)都成立.一、選擇題1(2014秦安縣西川中學(xué)高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(nN*,a1),在驗證n1時,左邊所得的項為()A1 B1aa2C1a D1aa2a3答案B解析因為當(dāng)n1時,an1a2,所以此時式子左邊1aa2.故應(yīng)選B.2(2014衡水一模,6)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1<f(n)(n2,nN)的過程,由nk到nk1時,左邊增加了()A1項 Bk項C2k1項 D2k項答案D解析1(1),共增加了2k項3設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)k2成立時,總可推出f(k1)(k1)2成立”那么,下列命題總成立的是()A若f(1)1成立,則f(10)100成立B若f(2)4成立,則f(1)1成立C若f(3)9成立,則當(dāng)k1時,均有f(k)k2成立D若f(4)25成立,則當(dāng)k4時,均有f(k)k2成立答案D解析對于A,因為“原命題成立,否命題不一定成立”,所以若f(1)1成立,則f(10)100不一定成立;對于B,因為“原命題成立,則逆否命題一定成立”,所以只能得出:若f(2)4成立,則f(1)1成立,不能得出:若f(2)4成立,則f(1)1成立;對于C,當(dāng)k1或2時,不一定有f(k)k2成立;對于D,因為f(4)2516,所以對于任意的k4,均有f(k)k2成立故選D.4(2014湖北重點中學(xué)高二期中聯(lián)考)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)時,從“nk到nk1”左邊需增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C D答案B解析nk時,等式為(k1)(k2)(kk)2k13(2k1),nk1時,等式左邊為(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(2k)(2k1)(2k2),右邊為2k113(2k1)(2k1)左邊需增乘2(2k1),故選B.二、填空題5設(shè)f(n)1(nN),那么f(n1)f(n)_.答案解析f(n1)1,f(n1)f(n).6若不等式對nN*都成立,則正整數(shù)m的最大值為_答案11解析設(shè)f(n),f(n1)f(n)()f(n)f(n),f(n1)f(n)f(1),m11.三、解答題7用數(shù)學(xué)歸納法證明:1.證明當(dāng)n1時,左邊1右邊,當(dāng)n1時,等式成立假設(shè)nk時等式成立,即1.則當(dāng)nk1時,左邊1()()()右邊nk1時等式成立由知等式對任意nN都成立點評在利用歸納假設(shè)論證nk1等式成立時,注意分析nk與nk1的兩個等式的差別nk1時,等式左邊增加兩項,右邊增加一項,而且右式的首項由變到.因此在證明中,右式中的應(yīng)與合并,才能得到所證式因此,在論證之前,把nk1時等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)先作一下分析是有效的8已知函數(shù)f(x)(x0)設(shè)數(shù)列an滿足a11,an1f(an),數(shù)列bn滿足bn|an|,用數(shù)學(xué)歸納法證明:bn.證明當(dāng)x0時,f(x)1>1.因為a11,所以an1(nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn.(1)當(dāng)n1時,b11,不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時,不等式成立即bk,那么bk1|ak1|bk.所以,當(dāng)nk1時,不等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知不等式對任意nN都成立