2020高中數學北師大版選修22教案：第2章 簡單復合函數的求導法則 參考教案

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1、北師大版2019-2020學年數學精品資料 5 簡單復合函數的求導法則 一、教學目標：1、了解簡單復合函數的求導法則；2、會運用上述法則，求簡單復合函數的導數。 二、教學重點：簡單復合函數的求導法則的應用 教學難點：簡單復合函數的求導法則的應用 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：兩個函數的和、差、積、商的求導公式。 1. 常見函數的導數公式： ；；； 2.法則1 ?。? 法則2 , 法則3 （二）、引入新課 海上一艘油輪發(fā)生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，油膜的面積S(單位：m2)是油膜半徑r(單

2、位：m)的函數：。 油膜的半徑r隨著時間t（單位：s）的增加而擴大，假設r關于t的函數為。 油膜的面積S關于時間t的瞬時變化率是多少？ 分析：由題意可得S關于t的新的函數：。 油膜的面積S關于時間t的瞬時變化率就是函數的導函數。 ∵ ， ∴ 。 又 ， ， 可以觀察到 ， 即 。 一般地，對于兩個函數和，給定x的一個值，就得到了u的值，進而確定了y的值，這樣y可以表示成x的函數，我們稱這個函數為函數和的復合函數，記作。其中u為中間變量。 復合函數的導數為： (表示y對

3、x的導數) 復合函數的求導法則 復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數 復合函數求導的基本步驟是：分解——求導——相乘——回代． 例1、試說明下列函數是怎樣復合而成的？ ⑴； ⑵；⑶； ⑷． 解：⑴函數由函數和復合而成； ⑵函數由函數和復合而成； ⑶函數由函數和復合而成； ⑷函數由函數、和復合而成． 說明：討論復合函數的構成時，“內層”、“外層”函數一般應是基本初等函數，如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等． 例2、求函數的導數。 解：引入中間變量，則函數是由函數與 復合而成的。 根據復合函數求導

4、法則可得： 例3、求函數的導數。 解：引入中間變量，則函數是由函數與 復合而成的。 根據復合函數求導法則可得： 注意：在利用復合函數的求導法則求導數后，要把中間變量換成自變量的函數.有時復合函數可以由幾個基本初等函數組成，所以在求復合函數的導數時，先要弄清復合函數是由哪些基本初等函數復合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整體，然后按照復合次序從外向內逐層求導. 例4、一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）。關于時間t（單位：s）的函數為，求函數在t=3時的導數，并解釋它的實際意義。 解：函數是由函數與復合而成的，其中x是中間變量。 ∴。 將t=3代入得： （cm/s）。 它表示當t=3時，水面高度下降的速度為 cm/s。 （三）、小結 ：⑴復合函數的求導，要注意分析復合函數的結構，引入中間變量，將復合函數分解成為較簡單的函數，然后再用復合函數的求導法則求導；⑵復合函數求導的基本步驟是：分解——求導——相乘——回代 （四）、練習：課本練習. （五）、作業(yè)：課本習題2-5： 2、3、5 五、教后反思：