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1、 課時跟蹤檢測課時跟蹤檢測 (五五十十八八) 坐標系坐標系 1求雙曲線求雙曲線 C：x2y2641 經(jīng)過經(jīng)過 ： x3x，2yy，變換后所得曲線變換后所得曲線 C的焦點坐標的焦點坐標 解：解：設曲線設曲線 C上任意一點上任意一點 P(x，y)， 由上述可知，將由上述可知，將 x13x，y2y代入代入 x2y2641 得得x294y2641，化簡，化簡得得x29y2161， 即即x29y2161 為曲線為曲線 C的方程，的方程， 可見仍是雙曲線，則焦點可見仍是雙曲線，則焦點 F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)為所求為所求 2(1)把化圓的直角坐標方程把化圓的直角坐標方程 x2y2r2(r0)化為極坐
2、標方程；化為極坐標方程； (2)把曲線的極坐標方程把曲線的極坐標方程 8sin 化為直角坐標方程化為直角坐標方程 解：解：(1)將將 xcos ，ysin 代入代入 x2y2r2， 得得 2cos22sin2r2，2(cos2sin2)r2，r 所所以，以極點為圓心、半徑為以，以極點為圓心、半徑為 r 的圓的極坐標方程為的圓的極坐標方程為 r(02) (2)法一：法一：把把 x2y2，sin y代入代入 8sin ， 得得x2y28yx2y2， 即即 x2y28y0，即，即 x2(y4)216 法二：法二：方程兩邊同時乘以方程兩邊同時乘以 ， 得得 28sin ， 即即 x2y28y0 3在極
3、坐標系中，曲線在極坐標系中，曲線 C 的方程為的方程為 2312sin2，點，點 R 2 2，4 (1)以極點為原點，極軸為以極點為原點，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標系，把曲線軸的正半軸，建立平面直角坐標系，把曲線 C 的極坐標方的極坐標方程化為直角坐標方程，程化為直角坐標方程，R 點的極坐標化為直角坐標；點的極坐標化為直角坐標； (2)設設 P 為曲線為曲線 C 上一動點，以上一動點，以 PR 為對角線的矩形為對角線的矩形 PQRS 的一邊垂直于極軸，求矩形的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS 周長的最小值，及此時周長的最小值，及此時 P 點的直角坐標點的直角坐標 解：解：(1)xc
4、os ，ysin ， 曲線曲線 C 的直角坐標方程為的直角坐標方程為x23y21， 點點 R 的直角坐標為的直角坐標為 R(2,2) (2)設設 P( 3cos ，sin )， 根據(jù)題意可得根據(jù)題意可得|PQ|2 3cos ，|QR|2sin ， |PQ|QR|42sin(60 )， 當當 30 時，時，|PQ|QR|取最小值取最小值 2， 矩形矩形 PQRS 周長的最小值為周長的最小值為 4， 此時點此時點 P 的直角坐標為的直角坐標為 32，12 4在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中，以中，以 O 為極點，為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線 C 的極
5、的極坐標方程為坐標方程為 cos 31，M，N 分別為分別為 C 與與 x 軸，軸，y 軸的交點軸的交點 (1)寫出寫出 C 的直角坐標方程，并求的直角坐標方程，并求 M，N 的極坐標；的極坐標； (2)設設 MN 的中點為的中點為 P，求直線，求直線 OP 的極坐標方程的極坐標方程 解：解：(1)由由 cos 31 得得 12cos 32sin 1 從而從而 C 的直角坐標方程為的直角坐標方程為12x32y1，即，即 x 3y2 當當 0 時，時，2，所以，所以 M(2,0) 當當 2時，時，2 33，所以，所以 N 2 33，2 (2)由由(1)知知 M 點的直角坐標為點的直角坐標為(2,
6、0)，N 點的直角坐標為點的直角坐標為 0，2 33 所以所以 P 點的直角坐標為點的直角坐標為 1，33，則，則 P 點的極坐標為點的極坐標為 2 33，6，所以直線，所以直線 OP 的極坐標的極坐標方程為方程為 6(R) 5(20 xx 成都模擬成都模擬)在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中，半圓中，半圓 C 的直角坐標方程為的直角坐標方程為(x1)2y21(0y1)以以 O 為極點，為極點，x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系軸的非負半軸為極軸建立極坐標系 (1)求求 C 的極坐標方程；的極坐標方程； (2)直線直線 l 的極坐標方程是的極坐標方程是 (sin 3cos )5 3，射線，射
7、線 OM：3與半圓與半圓 C 的交點為的交點為O，P，與直線，與直線 l 的交點為的交點為 Q，求線段，求線段 PQ 的長的長 解：解：(1)由由 xcos ，ysin ，所以半圓，所以半圓 C 的極坐標方程是的極坐標方程是 2cos ， 0，2 (2)設設(1，1)為點為點 P 的極坐標，則有的極坐標，則有 12cos 1，13，解得解得 11，13，設設(2，2)為點為點 Q的極坐標，的極坐標， 則有則有 2 sin 2 3cos 2 5 3，23， 解得解得 25，23， 由于由于 12，所以，所以|PQ|12|4，所以線段，所以線段 PQ 的長為的長為 4 6在極坐標系中，已知直線在極
8、坐標系中，已知直線 l 過點過點 A(1,0)，且其向上的方向與極軸的正方向所成的最，且其向上的方向與極軸的正方向所成的最小正角為小正角為3，求：，求： (1)直線的極坐標方程；直線的極坐標方程； (2)極點到該直線的距離極點到該直線的距離 解：解：(1)如圖，由正弦定理得如圖，由正弦定理得 sin231sin 3 即即 sin 3 sin2332， 所求直線的極坐標方程為所求直線的極坐標方程為 sin 3 32 (2)作作 OHl，垂足為，垂足為 H， 在在OHA 中，中，OA1，OHA2，OAH3， 則則 OHOAsin332，即極點到該直線的距離等于，即極點到該直線的距離等于32 7(2
9、0 xx 全國乙卷全國乙卷)在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中，曲線中，曲線 C1的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xacos t，y1asin t(t 為參為參數(shù)，數(shù)，a0)在以坐標原點為極點，在以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線 C2：4cos (1)說明說明 C1是哪一種曲線，并將是哪一種曲線，并將 C1的方程化為極坐標方程；的方程化為極坐標方程； (2)直線直線 C3的極坐標方程為的極坐標方程為 0，其中，其中 0滿足滿足 tan 02，若曲線，若曲線 C1與與 C2的公共點都的公共點都在在 C3上，求上，求 a 解：解：(1)消去參數(shù)消去
10、參數(shù) t 得到得到 C1的普通方程為的普通方程為 x2(y1)2a2，則，則 C1是以是以(0,1)為圓心，為圓心，a 為為半徑的圓半徑的圓 將將 xcos ，ysin 代入代入 C1的普通方程中，得到的普通方程中，得到 C1的極坐標方程為的極坐標方程為 22sin 1a20 (2)曲線曲線 C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組的公共點的極坐標滿足方程組 22sin 1a20，4cos . 若若 0，由方程組得，由方程組得 16cos28sin cos 1a20， 由已知由已知 tan 2，可得，可得 16cos28sin cos 0， 從而從而 1a20，解得，解得 a1(舍去舍去)或或 a
11、1 當當 a1 時，極點也為時，極點也為 C1，C2的公共點，且在的公共點，且在 C3上上 所以所以 a1 8(20 xx 廣州五校聯(lián)考廣州五校聯(lián)考)在極坐標系中，圓在極坐標系中，圓 C 是以點是以點 C 2，6為圓心，為圓心，2 為半徑的圓為半徑的圓 (1)求圓求圓 C 的極坐標方程；的極坐標方程； (2)求圓求圓 C 被直線被直線 l：512(R)所截得的弦長所截得的弦長 解：解：法一法一：(1)設所求圓上任意一點設所求圓上任意一點 M(，)，如圖，如圖， 在在 RtOAM 中，中，OMA2， AOM26，|OA|4 因為因為 cosAOM|OM|OA|， 所以所以|OM|OA| cosA
12、OM， 即即 4cos 264cos 6， 驗證可知，極點驗證可知，極點 O 與與 A 4，6的極坐標也滿足方程的極坐標也滿足方程， 故故 4cos 6為所求為所求 (2)設設 l：512(R)交圓交圓 C 于點于點 P，在，在 RtOAP 中，中，OPA2， 易得易得AOP4， 所以所以|OP|OA|cosAOP2 2 法二法二：(1)圓圓 C 是將圓是將圓 4cos 繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)6而得到的圓，而得到的圓， 所以圓所以圓 C 的極坐標方程是的極坐標方程是 4cos 6 (2)將將 512代入圓代入圓 C 的極坐標方程的極坐標方程 4cos 6， 得得 2 2， 所以圓所以圓 C 被直線被直線 l：512(R)所截得的弦長為所截得的弦長為 2 2
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