【走向高考】全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題6 三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)含解析

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1、【走向高考】（全國通用）2016高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題6 三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、選擇題 1．(2015·河南八市質(zhì)檢)已知sin－cos α＝，則2sin αcos＝(　　) A．－ B. C．－ D. [答案]　B [解析]　2sin αcos＝2sin α ＝sin 2α－＝sin－， 又由于sin－cos α＝sin α＋cos α－cos α ＝sin α－cos α＝sin＝， 又sin＝cos＝cos ＝1－2sin2＝1－＝， 所以2sinαcos＝－＝. [方法點撥]　1.已知條件為角α的終邊

2、過某點時，直接運用三角函數(shù)定義求解；已知條件為角α的終邊在某條直線上，在直線取一點后用定義求解；已知sinα、cosα、tanα中的一個值求其他值時，直接運用同角關(guān)系公式求解，能用誘導(dǎo)公式化簡的先化簡． 2．已知tanα求sinα與cosα的齊次式的值時，將分子分母同除以cosnα化“切”代入，所求式為整式時，視分母為1，用1＝sin2α＋cos2α代換． 3．sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ知一求其他值時，利用關(guān)系(sinθ±cosθ)2＝1±2cosθcosθ.要特別注意利用平方關(guān)系巧解題．已知某三角函數(shù)式的值，求另一三角函數(shù)式的值時，關(guān)鍵是

3、分析找出兩三角函數(shù)式的聯(lián)系恰當(dāng)化簡變形，再代入計算． 2．(文)(2015·洛陽市期末)已知角α的終邊經(jīng)過點A(－，a)，若點A在拋物線y＝－x2的準線上，則sin α＝(　　) A．－ B. C．－ D. [答案]　D [解析]　由已知得拋物線的準線方程為y＝1，故A(－，1)，所以sinα＝. (理)(2015·山東理，3)要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象(　　) A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 [答案]　B [解析]　因為y＝sin(4x－)＝sin[4(x－)]所

4、以要得到y(tǒng)＝sin[4(x－)]的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象向右平移個單位．故選B. 3．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的圖象如圖所示，為了得到g(x)＝sin3x的圖象，則只要將f(x)的圖象(　　) A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 [答案]　B [解析]　由題知，函數(shù)f(x)的周期 T＝4(－)＝， 所以＝， 解得ω＝3，易知A＝1， 所以f(x)＝sin(3x＋φ)． 又f(x)＝sin(3x＋φ)過點(，－1)， 所以sin(3

5、×＋φ)＝－1， 所以3×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z， 所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<， 所以φ＝， 所以f(x)＝sin(3x＋)＝sin[3(x＋)]， 所以將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)g(x)＝sin3x的圖象，故選B. [方法點撥]　1.已知正弦型(或余弦型)函數(shù)的圖象求其解析式時，用待定系數(shù)法求解．由圖中的最大值或最小值確定A，再由周期確定ω，由圖象上特殊點的坐標來確定φ，只有限定φ的取值范圍，才能得出唯一解，否則φ的值不確定，解析式也就不唯一． 將點的坐標代入解析式時，要注意選擇的點屬于“五點法”中的哪一個點．“第一

6、點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次類推即可． 2．解答有關(guān)平移伸縮變換的題目時，向左(或右)平移m個單位時，用x＋m(或x－m)代替x，向下(或上)平移n個單位時，用y＋n(或y－n)代替y，橫(或縱)坐標伸長或縮短到原來的k倍，用代替x(或代替y)，即可獲解． 4．(文)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，則tan2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ [答案]　C [解析]　本題考查三角函數(shù)同角間的基本關(guān)系． 將sinα＋2cosα＝兩邊平方可得， sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝， ∴4sinαcosα＋3

7、cos2α＝. 將左邊分子分母同除以cos2α得， ＝，解得tanα＝3或tanα＝－， ∴tan2α＝＝－. (理)(2015·唐山市一模)已知2sin2α＝1＋cos2α，則tan2α＝(　　) A．－ B. C．－或0 D.或0 [答案]　D [解析]　∵，∴或 ∴tan2α＝0或tan2α＝. 5．(2015·安徽理，10)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π，當(dāng)x＝時，函數(shù)f(x)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(2)＜f(－2)＜f(0) B．f(0)＜f(2)＜f(－2)

8、C．f(－2)＜f(0)＜f(2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2) [答案]　A [解析]　考查三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用及函數(shù)值的大小比較． 解法1：由題意， f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ>0)，T＝＝＝π，所以ω＝2，則f(x)＝Asin(2x＋φ)，而當(dāng)x＝時，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asin(2x＋)(A>0)，則當(dāng)2x＋＝＋2nπ，n∈Z，即x＝＋nπ，時，n∈Z，f(x)取得最大值．要比較f(2)，f(－2)，f(0)的大小，只需判斷2，－2,0與最近的最高點處對稱軸的距離大小

9、，距離越大，值越小，易知0,2與比較近，－2與－比較近，所以，當(dāng)k＝0時，x＝，此時|0－|＝0.52，|2－|＝1.47，當(dāng)k＝－1時，x＝－，此時|－2－(－)|＝0.6，所以f(2)<f(－2)<f(0)，故選A. 解法2：∵f(x)的最小正周期為π，且在x＝時f(x)取最小值，∴在x＝－＝時取到最大值f(－2)＝f(－2＋π)，∵f(x)在[，]上單調(diào)遞減，∴f(π－2)>f(2)，即f(－2)>f(2)，又π－2－>－0，f(x)圖象的一條對稱軸方程為x＝，∴f(π－2)<f(0)，即f(－2)<f(0)， ∴f(2)<f(－2)&

10、lt;f(0)． 6．(文)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，它的最小正周期為π，則函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心是(　　) A．(，1) B．(，0) C．(，0) D．(－，0) [答案]　B [解析]　由題意知T＝π，∴ω＝2， 由函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對稱，得2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)． 又|φ|<，∴φ＝－， ∴f(x)＝Asin(2x－)， 令2x－＝kπ(k∈Z)，則x＝＋π(k∈Z)． ∴一個對稱中心為(，0)，故選B. (理)已知函數(shù)f(x)＝c

11、osxsin2x，下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A．f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù) B．f(x)最大值是1 C．f(x)的圖象關(guān)于點(，0)對稱 D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝π對稱 [答案]　B [解析]　f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝cosxsin2x＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin2(x＋2π)＝cosxsin2x，∴2π是f(x)一個周期，故A選項正確．f(x)＝cosxsin2x＝－cos3x＋cosx，令t＝cosx則t∈[－1,1]，g(t)＝－t3＋t，g′(t)＝－3t2＋1 令g′(t)＝0，則t＝±

12、;，易知f(x)在區(qū)間[－1，－)上單調(diào)遞減，在(－，)上單調(diào)遞增，在(，1]上單調(diào)遞減，g(－1)＝0，g()＝，∴g(t)max＝≠1，故B項錯誤． 7．(文)給出下列四個命題： ①f(x)＝sin(2x－)的對稱軸為x＝＋，k∈Z； ②函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx最大值為2； ③函數(shù)f(x)＝sinxcosx－1的周期為2π； ④函數(shù)f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函數(shù)． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　B [解析]?、儆?x－＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋(k∈Z)， 即f(x)＝sin(2x－)的對稱軸為x＝＋

13、，k∈Z，正確； ②由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知， 函數(shù)的最大值為2，正確； ③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函數(shù)的周期為π，故③錯誤； ④函數(shù)f(x)＝sin(x＋)的圖象是由f(x)＝sinx的圖象向左平移個單位得到的，故④錯誤． (理)若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，對任意實數(shù)t都有f(＋t)＝f(－t)，且f()＝－3，則實數(shù)m的值等于(　　) A．－1 B．±5 C．－5或－1 D．5或1 [答案]　C [解析]　依題意得，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，于是x＝時，函數(shù)f(x)取得最值，因此有±

14、2＋m＝－3，∴m＝－5或m＝－1，選C. 8．(文)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC的值是(　　) A．－ B. C. D．－ [答案]　B [解析]　由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，則C＝，cosC＝，故選B. (理)(2014·新課標Ⅰ理，8)設(shè)α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，則(　　) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ [答案]　C [解析]　本題考查了誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換．運用驗證法． 解法1：

15、當(dāng)2α－β＝時，β＝2α－， 所以＝＝＝tanα. 解法2：∵tanα＝＝， ∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)， ∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝. 9．(2015·石家莊市二模)在平面直角坐標系中，角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P，則sin＝(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　A [解析]　由于角α的終邊經(jīng)過點P(sin，cos)，即P(cos，sin)， ∴α＝2kπ＋，k∈Z. ∴sin(2α－)＝sin(4kπ＋－) ＝sin＝，故選A. 10．(文

16、)(2015·河南六市聯(lián)考) 函數(shù)y＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，A、B分別為最高點與最低點，并且兩點間的距離為2，則該函數(shù)圖象的一條對稱軸為(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝1 D．x＝2 [答案]　C [解析]　∵y＝cos(ωx＋φ)為奇函數(shù)， ∴其圖象過原點，∴cosφ＝0， ∵0<φ<π，∴φ＝， ∴y＝cos(ωx＋)＝－sinωx，設(shè)周期為T，則由條件知()2＋[1－(－1)]2＝(2)2， ∴T＝4. ∴ω＝＝， ∴函數(shù)為y＝－sin(x)． 令x＝kπ＋(k∈Z)

17、得x＝2k＋1，∴x＝1為其一條對稱軸． (理)(2015·陜西理，3)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 [答案]　C [解析]　由圖象知，最小值為2，∴－3＋k＝2，∴k＝5， ∴最大值為3＋k＝8.故選C. 二、填空題 11．(2015·葫蘆島市一模)已知函數(shù)f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R則f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值分別為________． [答案]　、－ [解析]　f(x)＝sin

18、xcosx＋cos2x－cos2x＋＝sin2x－(cos2x＋1)＋＝sin，當(dāng)x∈時，2x－∈， ∴sin∈. ∴f(x)∈. 12．(文)(2014·陜西文，13)設(shè)0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，則tanθ＝________. [答案]　 [解析]　本題考查向量垂直、向量坐標運算等． ∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0. 又0<θ<，∴cosθ≠0， ∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝. (理)如果兩個函數(shù)的圖象平移

19、后能夠重合，那么稱這兩個函數(shù)為“互為生成”函數(shù)．給出下列四個函數(shù)： ①f(x)＝sinx＋cosx； ②f(x)＝(sinx＋cosx)； ③f(x)＝sinx； ④f(x)＝sinx＋. 其中為“互為生成”函數(shù)的是________(填序號)． [答案]?、佗? [解析]　首先化簡題中的四個解析式可得：①f(x)＝sin(x＋)，②f(x)＝2sin(x＋)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝sinx＋，可知③f(x)＝sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合，單純經(jīng)過平移不能完成，必須經(jīng)過伸縮變換才能實現(xiàn)，所以③f(x)＝sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù)，同理①f(x)＝s

20、in(x＋)的圖象與②f(x)＝2sin(x＋)的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合，而④f(x)＝sinx＋的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位即可得到①f(x)＝sin(x＋)的圖象，所以①④為“互為生成”函數(shù)． 三、解答題 13．(文)(2014·甘肅三診)已知f(x)＝sinωx－2sin2(ω>0)的最小正周期為3π. (1)當(dāng)x∈[，]時，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值． [解析]　∵f(x)＝sin(ωx)－2· ＝sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2s

21、in(ωx＋)－1， 由＝3π得ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)－1. (1)由≤x≤得≤x＋≤， ∴當(dāng)sin(x＋)＝時，f(x)min＝2×－1＝－1. (2)由f(C)＝2sin(C＋)－1及f(C)＝1，得 sin(C＋)＝1， 而≤C＋≤， 所以C＋＝，解得C＝. 在Rt△ABC中，∵A＋B＝， 2sin2B＝cosB＋cos(A－C)， ∴2cos2A－sinA－sinA＝0， ∴sin2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝. ∵0<sinA<1，∴sinA＝. (理)已知函數(shù)f(x)＝(2cos2 x－1)sin2x＋cos 4x.

22、 (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． [解析]　(1)因為f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x ＝cos2xsin2x＋cos4x ＝(sin4x＋cos4x) ＝sin(4x＋) 所以f(x)的最小正周期為，最大值為. (2)因為f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1. 因為α∈(，π)， 所以4α＋∈(，)， 所以4α＋＝，故α＝. 14．已知函數(shù)f(x)＝2sin(x＋)cos(x＋)－2cos2(x＋)＋1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． [解析]　(1)∵f

23、(x)＝2sin(x＋)cos(x＋)－2cos2(x＋)＋1 ＝sin(2x＋)－cos(2x＋) ＝[sin(2x＋)·cos－cos(2x＋)·sin] ＝sin[(2x＋)－] ＝sin(2x＋)． ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)可知f(x)＝sin(2x＋)． 當(dāng)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)時， 函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)是增函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－，kπ＋](k∈Z)． [方法點撥]　1.解答三角函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、周期性、最值等)問題時，通常是利用三角函

24、數(shù)的有關(guān)公式，通過將三角函數(shù)化為只含一個函數(shù)名稱且角度唯一，最高次數(shù)為一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函數(shù)依次對所求問題作出解答． 2．求三角函數(shù)的最值的方法： (1)化為正弦(余弦)型函數(shù) y＝asinωx＋bcosωx型引入輔助角化為一角一函． (2)化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)． 15．設(shè)函數(shù)f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m(x∈R)． (1)化簡函數(shù)f(x)的表達式，并求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若x∈[0，]，是否存在實數(shù)m，使函數(shù)f(x)的值域恰為[，]？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由． [解析]　(1)∵f(x

25、)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m＝1＋cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π. (2)假設(shè)存在實數(shù)m，符合題意． ∵x∈[0，]，∴≤2x＋≤， 則sin(2x＋)∈[－，1]， ∴f(x)＝2sin(2x＋)＋m＋1∈[m,3＋m]． 又∵f(x)的值域為[，]，解得m＝. ∴存在實數(shù)m＝，使函數(shù)f(x)的值域恰為[，]． [方法點撥]　1.求值題一般先將三角函數(shù)式化簡，再求值． 2．討論三角函數(shù)的性質(zhì)(求單調(diào)區(qū)間、求最值、求周期等)的題目，一般先運用三角公式化簡函數(shù)表達式，再依據(jù)正弦型或余弦型函數(shù)的性質(zhì)進行討論．

26、 3．三角變換的基本策略：(1)1的變換；(2)切化弦；(3)升降次；(4)引入輔助角；(5)角的變換與項的分拆． 16．(文)(2015·廣東文，16)已知tan α＝2. (1)求tan的值； (2)求的值． [分析]　考查：1.兩角和的正切公式；2.特殊角的三角函數(shù)值；3.二倍角的正、余弦公式；4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系． (1)由兩角和的正切公式展開，代入數(shù)值，即可得tan的值；(2)先利用二倍角的正、余弦公式變形，然后化切求解． [解析]　(1) tan＝ ＝＝＝－3， (2) ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. (理)(2015·福建文，21

27、)已知函數(shù)f(x)＝10sin cos ＋10cos2. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移a(a>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，且函數(shù)g(x)的最大值為2. (ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式； (ⅱ)證明：存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)>0. [解析]　(1)因為f(x)＝10sincos＋10cos2 ＝5sin x＋5cos x＋5 ＝10sin＋5. 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2π. (2)(i)將f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到y(tǒng)＝10sin x＋5的圖象，再向

28、下平移a(a>0)個單位長度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的圖象． 又已知函數(shù)g(x)的最大值為2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10sin x－8. (ii)要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)>0，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得10sin x0－8>0，即sin x0>. 由<知，存在0<α0<，使得sin α0＝. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x∈(α0，π－α0)時，均有sin x>. 因為y＝sin x的周期為2π，所以當(dāng)x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)時，均有sin x>. 因為對任意的整數(shù)k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0>>1， 所以對任意的正整數(shù)k，都存在正整數(shù)xk∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sin xk>. 即，存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)>0.