萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修四、五：專題三 三角恒等變換 Word版含解析

專題三 三角恒等變換一、題之源：課本基礎(chǔ)知識1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan()(,均不為k,kZ)2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.(,2均不為k,kZ)3三角公式關(guān)系二、題之本：思想方法技巧1深層次領(lǐng)悟公式的功能、規(guī)律與內(nèi)涵對三角公式,知其結(jié)構(gòu)特征僅是第一層面要求,重要的是要知曉公式的功能及揭示的規(guī)律與內(nèi)涵如1sin2(sincos)2有并項(xiàng)的功能,cos2cos2sin2有升冪的功能,sin22sincos有將角由大化小的功能,兩角和與差的正切公式,揭示的是同名不同角的正切函數(shù)的關(guān)系等2余弦的差角公式是本節(jié)公式之源,掌握其證明過程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的3三角恒等證明分有條件的恒等證明和無條件的恒等證明對于有條件的恒等證明,需要注意的問題有二：一是仔細(xì)觀察等式兩邊結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系與差異,探尋消除差異(函數(shù)的差異、角的差異)的方法；二是充分利用條件,特別是將條件變形整理后使用4熟知一些恒等變換的技巧公式的正用、逆用及變形用熟悉角的拆拼技巧,理解倍角與半角是相對的,如2()(),()(),是的半角,是的倍角等在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中,有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值,尤其要重視常數(shù)“1”的各種變形,例如：1tan,1sin2cos2等在進(jìn)行三角函數(shù)化簡、求值、恒等式證明時(shí),常常采用切化弦、異名化同名、異角化同角、高次降低次的方法,達(dá)到由不統(tǒng)一轉(zhuǎn)化到統(tǒng)一,消除差異的目的總之,三角恒等變換說到底就是“四變”,即變角、變名、變式、變冪通過對角的分拆,達(dá)到使角相同；通過轉(zhuǎn)換函數(shù),達(dá)到同名(最好使式中只含一個(gè)函數(shù)名)；通過對式子變形,達(dá)到化簡(盡可能整式化、低次化、有理化)；通過冪的升降,達(dá)到冪的統(tǒng)一5.輔助角公式（化一公式）：(其中角所在的象限由a, b 的符號確定,角的值由確定)在求最值、化簡時(shí)起著重要作用.把形如 的函數(shù)化為的形式,再研究其性質(zhì),是近幾年高考?？碱}型.6.已知值求角中,角的范圍常常被忽略或不能發(fā)現(xiàn)隱含的角的大小關(guān)系而出現(xiàn)增根不能排除要避免上述情況的發(fā)生,應(yīng)合理選擇三角函數(shù)形式進(jìn)行求解,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,估算出角的較精確的取值范圍,并不斷縮小角的范圍,在選擇三角函數(shù)公式時(shí),一般已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù),已知正余弦函數(shù)值時(shí),若角在時(shí),一般選余弦函數(shù),若是則一般選正弦函數(shù)如：若、B均為銳角,且,則A+2B的值為7.兩角和正切公式的變形：tan+tan=tan(+)(1-tantan),它體現(xiàn)了兩個(gè)角正切的和與積的關(guān)系,在解題中有廣泛的應(yīng)用,如求值：8.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則(1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式；(2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,如“遇到分式要通分”等9.三角函數(shù)求值有三類(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角,從表面上來看是很難的,但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,確定角三、題之變：課本典例改編1.原題（必修4第一百二十七頁例2）改編 已知求.2.原題（必修4第137頁A組第十題）已知：,是方程的兩根,試求的值.改編 已知：,是方程的兩根,求的值.【解析】由題意有,.3.原題（必修4第一百三十九頁例1）改編 化簡：的結(jié)果是 .【解析】2sin24.原題（必修4第147頁復(fù)習(xí)參考題B組第七題）改編 如圖,正方形ABCD的邊長為1,P、Q分別為AB、DA上的點(diǎn),當(dāng)PCQ=時(shí),求APQ的周長.5.原題（必修4第一百四十七頁復(fù)習(xí)參考題B組第六題）改編 若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3,求常數(shù)的值及此函數(shù)當(dāng)(其中可取任意實(shí)數(shù))時(shí)的最大值.【解析】,時(shí),由于最小正周期為,所以當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí),區(qū)間上的最大值是6.