高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第四章】三角函數(shù)、解三角形 第7講 解三角形應(yīng)用舉例

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1、 精品資料 第7講 解三角形應(yīng)用舉例 一、選擇題 1．在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一平面方向的B點(diǎn)的仰角是50，且到A的距離為2，C點(diǎn)的俯角為70，且到A的距離為3，則B、C間的距離為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析 因∠BAC＝120，AB＝2，AC＝3. ∴BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos ∠BAC ＝4＋9－223cos 120＝19. ∴BC＝. 答案 D 2．如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩

2、側(cè)A，B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A，B間距離的是(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．α，a，b B．α，β，a C．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b 解析　選項(xiàng)B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項(xiàng)C中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)D同B類似，故選A. 答案　A 3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距

3、離是 (　　)． A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析　如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30，∠ACB＝45，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)． 答案　A 4. 如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 (　　)． A．30 B．45 C．60 D．75 解析　依題意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝

4、，又0<∠CAD<180，所以∠CAD＝45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45. 答案　B 5．如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解析 由題意，得B＝30.由正弦定理，得＝， ∴AB＝＝＝50(m)． 答案 A 6. 如圖，在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云

5、的仰角為30，測(cè)得湖中之影的俯角為45，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) (　　)． A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析　在△ACE中， tan 30＝＝.∴AE＝(m)． 在△AED中，tan 45＝＝， ∴AE＝(m)，∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)． 答案　C 二、填空題 7．如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D，測(cè)得∠BDC＝45，則塔AB的高是________米． 解析

6、　在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45，∠BCD＝15＋90＝105，∠DBC＝30，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60＝，AB＝BCtan 60＝10(米)． 答案　10 8．如圖，在日本地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105，進(jìn)行10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135后繼續(xù)前行回到出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________. 解析　由題知，∠CBA＝75，∠BCA＝45，∴∠BAC＝180－75－45＝60，∴＝. ∴x＝ m. 答案　 m 9. 在2012年7月12日倫敦奧運(yùn)會(huì)上舉行升旗儀式

7、．如圖，在坡度為15的觀禮臺(tái)上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個(gè)座位A和最后一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60和30，且座位A，B的距離為10米，則旗桿的高度為________米． 解析　由題可知∠BAN＝105，∠BNA＝30，由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，在Rt△AMN中，MN＝20 sin 60＝30(米)．故旗桿的高度為30米． 答案　30 10. 如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)m海里后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件

8、________時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)． 解析　由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得＝，解得BM＝，要使該船沒有觸礁危險(xiǎn)需滿足BMsin(90－β)＝＞n，所以當(dāng)α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β＞nsin(α－β)時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)． 答案　mcos αcos β＞nsin(α－β) 三、解答題 11．如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45的方向作勻速直線航行，速度為15 n mile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東θ的方向作勻速直線航行，速度為m n mile/h. (1)若兩船能相遇，求m. (2)當(dāng)m＝10時(shí)，求兩船出

9、發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近，最近距離為多少n mile? 解 (1)設(shè)t小時(shí)后，兩船在M處相遇， 由tanθ＝，得sinθ＝，cosθ＝， 所以sin∠AMB＝sin(45－θ)＝. 由正弦定理，＝，∴AM＝40， 同理得BM＝40. ∴t＝＝，m＝＝15. (2)以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)在t 時(shí)刻甲、乙兩船分別在P(x1，y1)，Q(x2，y2)處，則|AP|＝15t，|BQ|＝10t. 由任意角三角函數(shù)的定義，可得 即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(15t,15t)， 即點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(10t,20t－40)， ∴|PQ|＝＝ ＝≥2

10、0， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝4時(shí)，|PQ|取得最小值20，即兩船出發(fā)4小時(shí)時(shí)，距離最近，最近距離為20 n mile. 12．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cos θ的值． 解　如題圖所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800，故BC＝20(海里)． 由正弦定理得＝， 所以sin∠ACB＝sin∠BAC＝. 由∠BA

11、C＝120，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 易知θ＝∠ACB＋30，故cos θ＝cos(∠ACB＋30) ＝cos∠ACBcos 30－sin∠ACBsin 30 ＝. 13．如圖，某測(cè)量人員為了測(cè)量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C；并測(cè)量得到數(shù)據(jù)：∠ACD＝90，∠ADC＝60，∠ACB＝15，∠BCE＝105，∠CEB＝45，DC＝CE＝1百米． (1)求△CDE的面積； (2)求A，B之間的距離． 解　(1)在△CDE中，∠DC

12、E＝360－90－15－105＝150，S△CDE＝DCCEsin 150＝sin 30＝＝(平方百米)． (2)連接AB，依題意知，在Rt△ACD中， AC＝DCtan∠ADC＝1tan 60＝(百米)， 在△BCE中，∠CBE＝180－∠BCE－∠CEB＝180－105－45＝30， 由正弦定理＝，得 BC＝sin∠CEB＝sin 45＝(百米)． ∵cos 15＝cos(60－45)＝cos 60cos 45＋sin 60sin 45 ＝＋＝， 在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB， 可得AB2＝()2＋()2－2＝2－， ∴AB＝

13、百米． 14．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇． (1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇． 解　(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則 S＝ ＝＝ . 故當(dāng)t＝時(shí)，Smin＝10(海里)， 此時(shí)v＝＝30(海里/時(shí))． 即小艇以30海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。? (2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2＝400＋900t2－22030tcos(90－30)， 故v2＝900－＋，∵0＜v≤30， ∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥. 又t＝時(shí)，v＝30海里/時(shí)． 故v＝30海里/時(shí)時(shí)，t取得最小值，且最小值等于. 此時(shí)，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可設(shè)計(jì)航行方案如下： 航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度為30海里/時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.