高考真題：理科數(shù)學 山東卷試卷含答案

普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）數(shù)學（理科）一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.（1） 已知集合A=，則(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)解析：,答案選(C)(2) 若復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則(A) (B) (C) (D) 解析：，答案選(A)（3）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像(A)向左平移個單位 (B) 向右平移個單位(C)向左平移個單位 (D) 向右平移個單位 解析：，只需將函數(shù)的圖像向右平移個單位答案選(B)(4)已知菱形ABCD的邊長為，則(A) (B) (C) (D) 解析：由菱形ABCD的邊長為，可知，答案選(D)（5）不等式的解集是(A) (B) (C) (D) 解析：當時，成立；當時，解得，則；當時，不成立.綜上，答案選(A)（6）已知滿足約束條件若的最大值為4，則(A) (B) (C) (D) 解析：由得，借助圖形可知：當，即時在時有最大值0，不符合題意；當，即時在時有最大值，不滿足；當，即時在時有最大值，不滿足；當，即時在時有最大值，滿足；答案選(B)7.在梯形中，,.將梯形繞所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(A) (B) (C) (D) 解析：，答案選(C)8.已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則,.）(A) (B) (C) (D) 解析：，答案選(B)（9）一條光線從點射出，經(jīng)軸反射與圓相切，則反射光線所在的直線的斜率為(A)或 (B) 或 (C) 或 (D) 或 解析：關于軸對稱點的坐標為，設反射光線所在直線為即，則，解得或，答案選(D)（10）設函數(shù)則滿足的取值范圍是(A) (B) (C) (D) 解析：由可知，則或，解得，答案選(C)二、 填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.（11）觀察下列各式：照此規(guī)律，當時， .解析：.具體證明過程可以是：（12）若“”是真命題，則實數(shù)的最小值為 .解析：“”是真命題，則，于是實數(shù)的最小值為1.是否開始n=1，T=1n<3n=n+1輸出T結束（13）執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為 .解析：.（14）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則 .解析：當時，無解；當時，解得，則.(15)平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點，若的垂心為的焦點，則的離心率為 .解析：的漸近線為，則的焦點，則，即3、 解答題：本大題共6小題，共75分.（16） （本小題滿分12分）設（）求的單調(diào)區(qū)間；（）在銳角中，角的對邊分別為若求面積的最大值.解：（）由由得，則的遞增區(qū)間為；由得，則的遞增區(qū)間為.（）在銳角中，,而FDEAGBHC由余弦定理可得，當且僅當時等號成立，即，故面積的最大值為.（17） （本小題滿分12分）如圖，在三棱臺中，分別為的中點.（）求證：平面；TFDEAGBHC（）若平面,求平面與平面所成角（銳角）的大小.解：（）證明：連接DG，DC，設DC與GF交于點T.在三棱臺中，則而G是AC的中點，DF/AC，則,所以四邊形是平行四邊形,T是DC的中點，DG/FC.又在,H是BC的中點，則TH/DB，zxyFDEAGBHC又平面，平面，故平面；（）由平面,可得平面而則,于是兩兩垂直，以點G為坐標原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，設,則,，則平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則,即，取，則，故平面與平面所成角（銳角）的大小為.（18） （本小題滿分12分）設數(shù)列的前項和為，已知（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.解：（）由可得，而，則（）由及可得 .19（本小題滿分12分）若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137,359,567等）. 在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取一個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；（）若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學期望EX.解：（）125,135,145,235,245,345；（）X的所有取值為-1,0,1.甲得分X的分布列為：X0-11P(20) (本小題滿分13分)平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是,以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點在橢圓C上.（）求橢圓C的方程；（）設橢圓，P為橢圓C上的任意一點，過點P的直線交橢圓E于A,B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.（）求的值；（）求面積最大值.解析：（）由橢圓的離心率為可知，而則，左、右焦點分別是,圓：圓：由兩圓相交可得，即，交點，在橢圓C上，則，整理得，解得（舍去）故橢圓C的方程為.（）（）橢圓E的方程為，設點，滿足，射線，代入可得點，于是.（）點到直線距離等于原點O到直線距離的3倍：，得，整理得，當且僅當?shù)忍柍闪?而直線與橢圓C：有交點P，則有解，即有解，其判別式，即，則上述不成立，等號不成立，設，則在為增函數(shù)，于是當時，故面積最大值為12.（21） （本小題滿分14分）設函數(shù)，其中.（）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（）若，成立，求的取值范圍.解：（），定義域為，設，當時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.當時，若時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.若時，設的兩個不相等的實數(shù)根，且，且，而，則，所以當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增.因此此時函數(shù)有兩個極值點；當時，但，所以當單調(diào)遞増；當單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個極值點。 綜上可知當時的無極值點；當時有一個極值點；當時，的有兩個極值點.（）由（）可知當時在單調(diào)遞增，而，則當時，符合題意；當時，在單調(diào)遞增，而，則當時，符合題意；當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當時，不符合題意；當時，設，當時，在單調(diào)遞增，因此當時，于是，當時，此時，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.另解：（），定義域為，當時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.設，當時，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質可知的根的個數(shù)就是函數(shù)極值點的個數(shù).若，即時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.若，即或，而當時此時方程在只有一個實數(shù)根，此時函數(shù)只有一個極值點；當時方程在都有兩個不相等的實數(shù)根，此時函數(shù)有兩個極值點；綜上可知當時的極值點個數(shù)為0；當時的極值點個數(shù)為1；當時，的極值點個數(shù)為2.（）設函數(shù)，都有成立.即當時，恒成立；當時，；當時，；由均有成立。故當時，則只需；當時，則需，即.綜上可知對于，都有成立，只需即可，故所求的取值范圍是.另解：設函數(shù)，要使，都有成立，只需函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增即可，于是只需，成立，當時，令，則；當時；當，令，關于單調(diào)遞增，則，則,于是.又當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當時，不符合題意；當時，設，當時，在單調(diào)遞增，因此當時，于是，當時，此時，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是. 評析：求解此類問題往往從三個角度求解：一是直接求解，通過對參數(shù)的討論來研究函數(shù)的單調(diào)性，進一步確定參數(shù)的取值范圍；二是分離參數(shù)法，求相應函數(shù)的最值或取值范圍以達到解決問題的目的；三是憑借函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍，然后對參數(shù)取值范圍以外的部分進行分析驗證其不符合題意，即可確定所求.