精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修45學(xué)案：第3講 3 排序不等式 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 三　排序不等式 1．了解排序不等式的數(shù)學(xué)思想和背景． 2．理解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理，會用排序不等式解決簡單的不等式問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　順序和、亂序和、反序和的概念 閱讀教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列問題． 設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則稱ai與bi(i＝1,2，…，n)的相同順序相乘所得積的和a1b1＋a2b2＋…＋anbn為順序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn為亂序和

2、，相反順序相乘所得積的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1稱為反序和． 教材整理2　排序不等式 閱讀教材P42～P44，完成下列問題． 設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b2＋a2b2＋…＋anbn，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn時，反序和等于順序和，此不等式簡記為反序和≤亂序和≤順序和． [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　

3、 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　

4、解惑：　 [小組合作型] 用排序不等式證明不等式(字母大小已定) 　已知a，b，c為正數(shù)，a≥b≥c，求證： (1)≥≥； (2)＋＋≥＋＋. 【精彩點(diǎn)撥】　由于題目條件中已明確a≥b≥c，故可以直接構(gòu)造兩個數(shù)組． 【自主解答】　(1)∵a≥b>0，于是≤. 又c>0，∴>0，從而≥， 同理，∵b≥c>0，于是≤， ∴a>0，∴>0，于是得≥， 從而≥≥. (2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0，

5、 ∴≥≥，a2≥b2≥c2. 由排序不等式，順序和≥亂序和得 ＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋， 故＋＋≥＋＋. 利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組． [再練一題] 1．本例題中條件不變，求證：＋＋≥＋＋. 【證明】　∵a≥b≥c≥0， ∴a5≥b5≥c5， ≥≥＞0. ∴≥≥， ∴≥≥，由順序和≥亂序和得 ＋＋≥＋＋ ＝＋＋， ∴＋＋≥＋＋. 字母大小順序不定的不等式證明 　設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≤＋＋. 【精彩點(diǎn)撥】　(1)題目涉及到與排序有關(guān)的不等式；

6、(2)題目中沒有給出a，b，c的大小順序．解答本題時不妨先設(shè)定a≤b≤c，再利用排序不等式加以證明． 【自主解答】　不妨設(shè)0<a≤b≤c，則a3≤b3≤c3， 0<≤≤， 由排序原理：亂序和≤順序和，得 a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·， a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·. 將上面兩式相加得 ＋＋≤2， 將不等式兩邊除以2， 得＋＋≤＋＋. 在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系，對于沒有給出大小關(guān)系的情況

7、：(1)要根據(jù)各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關(guān)系．(2)若給出的字母不具有對稱性，一定不能直接限定字母的大小順序，而要根據(jù)具體環(huán)境分類討論． [再練一題] 2．設(shè)a1，a2，…，an為正數(shù)，求證： ＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an. 【證明】　不妨設(shè)0＜a1≤a2≤…≤an，則 a≤a≤…≤a，≥≥…≥. 由排序不等式知，亂序和不小于反序和，所以 ＋＋…＋＋≥a·＋a·＋…＋a·，即 ＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an. 利用排序不等式求最值 　設(shè)A，B，C表示△ABC的三個內(nèi)角，a，b，c表示其對邊，求的最小值(A，B，C

8、用弧度制表示)． 【精彩點(diǎn)撥】　不妨設(shè)a≥b≥c＞0，設(shè)法構(gòu)造數(shù)組，利用排序不等式求解． 【自主解答】　不妨設(shè)a≥b≥c， 則A≥B≥C. 由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC， 將以上三式相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)， 當(dāng)且僅當(dāng)A＝B＝C＝時，等號成立． ∴≥， 即的最小值為. 1．分析待求函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造兩個有序數(shù)組． 2．運(yùn)用排序原理求最值時，一定要驗(yàn)證等號是否成立，若等號不成立，則取不到最值．

9、 [再練一題] 3．已知x，y，z是正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值． 【解】　不妨設(shè)x≥y≥z>0，則x2≥y2≥z2，≥≥. 由排序不等式，亂序和≥反序和． ＋＋ ≥x2·＋y2·＋z2· ＝x＋y＋z. 又x＋y＋z＝1，＋＋≥1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝時，等號成立． 故t＝＋＋的最小值為1. 利用排序不等式求解簡單的實(shí)際問題 　若某網(wǎng)吧的3臺電腦同時出現(xiàn)了故障，對其維修分別需要45 min,25 min和30 min，每臺電腦耽誤1 min，網(wǎng)吧就會損失0.05元．在只能逐臺維修的條件下，按怎樣的順序維修，才能使

10、經(jīng)濟(jì)損失降到最?。? 【精彩點(diǎn)撥】　這是一個實(shí)際問題，需要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．要使經(jīng)濟(jì)損失降到最小，即三臺電腦維修的時間與等候的總時間之和最小，又知道若維修第一臺用時間t1 min時，三臺電腦等候維修的總時間為3t1 min，依此類推，等候的總時間為3t1＋2t2＋t3 min，求其最小值即可． 【自主解答】　設(shè)t1，t2，t3為25,30,45的任一排列， 由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)， 所以按照維修時間由小到大的順序維修，可使經(jīng)濟(jì)損失降到最小． 1．首先理解題意，實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立恰當(dāng)模型． 2．三臺電腦的維修

11、時間3t1＋2t2＋t3就是問題的數(shù)學(xué)模型，從而轉(zhuǎn)化為求最小值(運(yùn)用排序原理)． [再練一題] 4．有5個人各拿一只水桶到水龍頭接水，如果水龍頭注滿這5個人的水桶需要時間分別是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，那么如何安排這5個人接水的順序，才能使他們等待的總時間最少？ 【解】　根據(jù)排序不等式的反序和最小，可得最少時間為4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)． 即按注滿時間為4 min,5 min,6 min,8 min,10 min依次等水，等待的總時間最少． [構(gòu)建·體系

12、] 排序不等式— 1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，則M與N的大小關(guān)系是(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D.M≤N 【解析】　由排序不等式，知M≥N. 【答案】　B 2．設(shè)a，b，c為正數(shù)，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，則P與Q的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D.P≤Q 【解析】　不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2≥c2>0， 由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a. ∴P≥Q. 【答案】　B 3．已知兩組數(shù)1,2,3和4

13、,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一個排列，則c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________. 【解析】　由排序不等式，順序和最大，反序和最小， ∴最大值為1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值為1×6＋2×5＋3×4＝28. 【答案】　32　28 4．某班學(xué)生要開聯(lián)歡會，需要買價格不同的禮品4件，5件和2件．現(xiàn)在選擇商店中單價分別為3元，2元和1元的禮品，則至少要花________元，最多要花________元． 【解析】　取兩組實(shí)數(shù)(2,4,5)和(1,2,3)，則順序和為2×

14、1＋4×2＋5×3＝25，反序和為2×3＋4×2＋5×1＝19. 所以最少花費(fèi)為19元，最多花費(fèi)為25元． 【答案】　19　25 5．設(shè)a1，a2，…，an是n個互不相同的正整數(shù)，求證：1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋. 【證明】　∵12＜22＜32＜…＜n2， ∴＞＞…＞. 設(shè)c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an由小到大的一個排列，即c1＜c2＜c3＜…＜cn， 根據(jù)排序原理中，反序和≤亂序和， 得c1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋， 而c1，c2，…，cn分別大于或等于1,2，…，n， ∴c1＋＋＋…＋≥1＋＋＋…＋ ＝

15、1＋＋…＋， ∴1＋＋＋…＋≤a1＋＋…＋. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　

16、 學(xué)業(yè)分層測評（十一） (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．設(shè)a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，則P與Q的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q　　B．P≥Q　　C．P<Q　　D．P≤Q 【解析】　∵a≥b>0，∴a2≥b2>0. 因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)， 則P≥Q. 【答案】　B 2．設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，在排序不等式中，順序和，反序和，亂序和的大小關(guān)系為(　　) A．反序和≥亂序和≥順序和 B．反序和

17、＝亂序和＝順序和 C．反序和≤亂序和≤順序和 D．反序和、亂序和、順序和大小關(guān)系不確定 【答案】　C 3．設(shè)正實(shí)數(shù)a1，a2，a3的任一排列為a′1，a′2，a′3，則＋＋的最小值為(　　) A．3 B．6 C．9 D.12 【解析】　設(shè)a1≥a2≥a3＞0，則≥≥＞0，由亂序和不小于反序和知， ＋＋≥＋＋＝3， ∴＋＋的最小值為3，故選A. 【答案】　A 4．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為(　　) A．A＞B B．A＜B C．A≥B D.A≤B 【解析】　依序

18、列{xn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，不妨設(shè)0＜x1≤x2≤…≤xn，則x2，x3，…，xn，x1為序列{xn}的一個排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故選C. 【答案】　C 5．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負(fù)情況是(　　) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D.小于等于零 【解析】　設(shè)a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3， 根據(jù)排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c

19、＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab， ∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 【答案】　B 二、填空題 6．若a，b，c∈R＋，則＋＋________a＋b＋c. 【解析】　不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則bc≤ca≤ab，≤≤， ∴＋＋≥＋＋＝a＋b＋c. 【答案】　≥ 7．有4人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5 s,4 s,3 s,7 s，每個人接完水后就離開，則他們總的等候時間最短為________s.

20、 【解析】　等候的最短時間為：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)． 【答案】　41 8．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝1，則＋＋的最小值為________. 【解析】　不妨設(shè)a3>a1>a2>0，則<<， 所以a1a2<a2a3<a3a1. 設(shè)亂序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1， 順序和S′＝＋＋. 由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1， 所以＋＋的最小值為1. 【答案】　1 三、解答題 9．設(shè)a，b，c大于0，求證： (1)a3＋b3≥ab(a＋b)；

21、 (2)＋＋≤. 【證明】　(1)不妨設(shè)a≥b≥c>0， 則a2≥b2≥c2>0， ∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a， ∴a3＋b3≥ab(a＋b)． (2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)， 所以＋＋ ≤＋ ＋ ＝ ＝·＝. 故原不等式得證． 10．已知a，b，c都是正數(shù)，求＋＋的最小值． 【解】　由對稱性，不妨設(shè)0＜c≤b≤a，則有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜≤≤. 由排序不等式得 ＋＋ ≥＋＋，① ＋＋≥＋＋.② 由①②知2≥3， ∴＋＋≥. 當(dāng)

22、且僅當(dāng)a＝b＝c時，＋＋取最小值. [能力提升] 1．銳角三角形中，設(shè)P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，則P，Q的關(guān)系為(　　) A．P≥Q B．P＝Q C．P≤Q D.不能確定 【解析】　不妨設(shè)A≥B≥C，則a≥b≥c， cos A≤cos B≤cos C，則由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A ＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A) ≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)] ＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P.

23、 【答案】　C 2．已知a＋b＋c＝1，a，b，c為正數(shù)，則＋＋的最小值是________． 【解析】　不妨設(shè)a≥b≥c，∴≥≥， ∴＋＋≥＋＋，① ＋＋≥＋＋，② ①＋②得＋＋≥， ∴＋＋≥. 【答案】　 3．在Rt△ABC中，∠C為直角，A，B所對的邊分別為a，b，則aA＋bB與(a＋b)的大小關(guān)系為________. 【解析】　不妨設(shè)a≥b＞0， 則A≥B＞0，由排序不等式 ?2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B) ＝(a＋b)， ∴aA＋bB≥(a＋b)． 【答案】　aA＋bB≥(a＋b) 4．已知0<α<β<γ<，求證

24、：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 【證明】　∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在上為增函數(shù)，y＝cos x在上為減函數(shù)， ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. 根據(jù)排序不等式得：亂序和>反序和． ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 故原不等式得證． 最新精品資料