新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)：考點(diǎn)28隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型

考點(diǎn)28 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型 1.（20xx遼寧高考理科3）兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為（ ）（A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.【思路點(diǎn)撥】恰有一個(gè)一等品，包含兩類情況.【規(guī)范解答】選B.所求概率為.【方法技巧】1.要準(zhǔn)確理解恰有一個(gè)的含義. 2.事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)P(A)P(B) 3.本題也可用對立事件的概率來解決.所求概率p=.2.（20xx北京高考文科3）從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從1,2,3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是（ ） （A） (B) （C） (D)【命題立意】本題考查古典概型，熟練掌握求古典概型概率的常用方法是解決本題的關(guān)鍵.【思路點(diǎn)撥】先求出基本事件空間包含的基本事件總數(shù)，再求出事件“”包含的基本事件數(shù)，從而.【規(guī)范解答】選D.，包含的基本事件總數(shù).事件“”為，包含的基本事件數(shù)為.其概率.【方法技巧】列古典概型的基本事件空間常用的方法有：（1）列舉法；（2）坐標(biāo)網(wǎng)格法；（3）樹狀圖等.3.（20xx湖南高考文科11）在區(qū)間-1,2上隨即取一個(gè)數(shù)x，則x0,1的概率為 .【命題立意】以非常簡單的區(qū)間立意，運(yùn)算不復(fù)雜，但能切中考查幾何概型的要害.【思路點(diǎn)撥】一元幾何概型長度之比.【規(guī)范解答】-1，2的長度為3，0,1的長度為1，所以概率是.【方法技巧】一元幾何概型長度之比，二元幾何概型面積之比，三元幾何概型體積之比.4（20xx福建高考理科13）某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪的概率等于 .【命題立意】本題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求解.【思路點(diǎn)撥】 分析題意可得：該選手第一個(gè)問題可以答對也可以答錯(cuò)，第二個(gè)問題一定回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)問題一定答對，進(jìn)而求解“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率”.【規(guī)范解答】依題意得：該選手第一個(gè)問題可以答對也可以答錯(cuò)，第二個(gè)問題一定回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)問題一定答對，所以其概率.【答案】0.1285. （20xx天津高考理科1）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為 和 .【命題立意】本題考查了統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù)、莖葉圖的基礎(chǔ)知識，考查了學(xué)生的識圖能力.【思路點(diǎn)撥】計(jì)算10個(gè)數(shù)的平均數(shù).【規(guī)范解答】選甲日加工零件的平均數(shù)為：，同理可得乙日加工零件的平均數(shù)為23.【答案】24 236.（20xx安徽高考理科15）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是_（寫出所有正確結(jié)論的編號）. ；事件與事件相互獨(dú)立；是兩兩互斥的事件；的值不能確定，因?yàn)樗c中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān).【命題立意】本題主要考查概率的綜合問題，考查考生對事件關(guān)系的理解和條件概率的認(rèn)知水平【思路點(diǎn)撥】根據(jù)事件互斥、事件相互獨(dú)立的概念，條件概率及把事件B的概率轉(zhuǎn)化為可辨析此題.【規(guī)范解答】顯然是兩兩互斥的事件，有，而，且，有.可以判定正確，而錯(cuò)誤.【答案】7. （20xx遼寧高考文科13）三張卡片上分別寫上字母E，E,B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為.【命題立意】本題考查了古典概型，考查了計(jì)數(shù)原理，和排列組合.【思路點(diǎn)撥】所有可能的基本事件總數(shù)滿足條件的基本事件數(shù)求概率【規(guī)范解答】將三張卡片排成一行，共有(種) 可能的結(jié)果，恰好排成英文單詞BEE的可能結(jié)果有（種）.所以所求概率為p=.【答案】8. （20xx江蘇高考3）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是_ _.【命題立意】本題考查古典概型的概率求法.【思路點(diǎn)撥】先求出從盒子中隨機(jī)地摸出兩只球的所有方法數(shù)，再求出所摸兩只球顏色不同的方法數(shù)，最后代入公式計(jì)算即可.【規(guī)范解答】從盒子中隨機(jī)地摸出兩只球，共有種情況，而摸兩只球顏色不同的種數(shù)為種情況，故所求的概率為【答案】9. （20xx浙江高考文科17）在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，P，Q，M，N分別是線段OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，在A，P，M，C中任取一點(diǎn)記為E，在B，Q，N，D中任取一點(diǎn)記為F，設(shè)G為滿足向量的點(diǎn)，則在上述的點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊形ABCD外（不含邊界）的概率為 .【命題立意】本題主要考查了平面向量與古典概型的綜合運(yùn)用，屬中檔題.【思路點(diǎn)撥】利用向量加法的平行四邊形法則逐個(gè)驗(yàn)證是否在四邊形ABCD外.【規(guī)范解答】由題意知，G點(diǎn)共有16種取法，而只有E為P、M中一點(diǎn)，F(xiàn)為Q、N中一點(diǎn)時(shí)，落在平行四邊形內(nèi)（含邊界），故符合要求的G只有4個(gè)，因此概率為.【答案】【方法技巧】（1）求古典概型的概率一般先求出基本事件空間所包含的基本事件總數(shù)n，再求出事件A所包含的基本事件數(shù)m，其概率為.（2）求向量加法時(shí)如果兩個(gè)向量同一起點(diǎn)那么用平行四邊形法則，如果首尾相連一般用三角形法則.10（20xx湖南高考理科4）在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則的概率為 【命題立意】以非常簡單的區(qū)間和不等式的解集立意，運(yùn)算不復(fù)雜，但能切中考查幾何概型的要害.【思路點(diǎn)撥】一元幾何概型長度之比.【規(guī)范解答】-1，2的長度為3，|x|1的解集為-1,1的長度為2，所以概率是.【答案】【方法技巧】一元幾何概型長度之比，二元幾何概型面積之比，三元幾何概型體積之比.11.（20xx山東高考文科9）一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.（1）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號之和不大于4的概率.（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為n，求的概率.【命題立意】本小題主要考查古典概型、對立事件的概率計(jì)算，考查考生分析問題、解決問題的能力.【思路點(diǎn)撥】采用列舉法列出一切可能的結(jié)果組成的基本事件，再根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算，第（2）問可利用對立事件的概率計(jì)算.【規(guī)范解答】（1）從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個(gè).從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2，1和3兩個(gè).因此所求事件的概率.（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號為，放回后，再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號為，其一切可能的結(jié)果有共16個(gè),又滿足的事件的概率為.故滿足的事件的概率為.12. （20xx安徽高考文科10）甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【命題立意】本題主要考查古典概型的概率問題，考查考生分析問題的能力.【思路點(diǎn)撥】試驗(yàn)為古典概型試驗(yàn)的基本事件個(gè)數(shù)所求事件包含的基本事件個(gè)數(shù) 計(jì)算概率 【規(guī)范解答】選C，正方形四個(gè)頂點(diǎn)可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個(gè)等可能的基本事件.兩條直線相互垂直的情況有5種（4組鄰邊和對角線），包括10個(gè)基本事件，所以概率等于 .【方法技巧】對于古典概型的概率問題，關(guān)鍵是明確試驗(yàn)的基本事件數(shù)，然后明確所求事件包含的基本事件數(shù)，進(jìn)而求解概率.13. （20xx福建高考文科8）設(shè)平面向量 （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n 1,2,3,4. （I）請列出有序數(shù)組（ m，n ）的所有可能結(jié)果； （II）記“使得（-）成立的（ m，n ）”為事件A，求事件A發(fā)生的概率.【命題立意】本題考查概率、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、或然與必然思想. 【思路點(diǎn)撥】第一步用枚舉法寫出數(shù)組的所有可能；第二步用向量的內(nèi)積得到m，n的關(guān)系式，進(jìn)而得到事件A包含的基本事件，利用古典概型公式即可求. 【規(guī)范解答】( I ) 有序數(shù)組的所有可能結(jié)果為：共16個(gè)；（II）由得，即故事件所包含的基本事件為，共兩個(gè).有基本事件的總數(shù)為16，故所求的概率.【方法技巧】有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的問題，越來越常見利用枚舉法的求解方法，枚舉時(shí)一定要考慮全面，漏解是最常見的錯(cuò)誤，如本題要求的是有序的數(shù)組（m，n），坐標(biāo)的位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情況，不要當(dāng)成同一種.因?yàn)檫@部分內(nèi)容與實(shí)際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來越重視這部分的內(nèi)容，試題的難度為中等或中等偏易.14.（20xx天津高考文科18）有編號為,，的10個(gè)零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數(shù)據(jù)：其中直徑在區(qū)間1.48，1.52內(nèi)的零件為一等品.（）從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；（）從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè). （）用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果； （）求這2個(gè)零件直徑相等的概率.【命題立意】本小題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力及運(yùn)用概率知識解決簡單的實(shí)際問題的能力.【思路點(diǎn)撥】利用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.【規(guī)范解答】（）由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個(gè).設(shè)“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件A，則P（A）=.（）（i）一等品零件的編號為.從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的 所以P(B) =.15. （20xx湖南高考文科17）為了對某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組、有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人）(1)求x,y ;(2)若從高校B，C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這二人都來自高校C的概率.【命題立意】以實(shí)際生活為背景，考查抽取樣本的認(rèn)識，進(jìn)而考查求事件的概率.【思路點(diǎn)撥】分層抽樣也叫做按比例抽樣.求事件的概率關(guān)鍵是弄明白基本事件以及目標(biāo)事件包多少個(gè)基本事件.【規(guī)范解答】 (1) 由題意可得, ,所以(2) 記從高校B抽取的2人為b1,b2,從高校C中抽取的3人為c1 ,c2 ,c3 ,則從高校B,C抽取的5人中選2人做專題發(fā)言的基本事件有(b1,b2)(b1,c1)(b1,c2)(b1,c3)(b2,c1)(b2,c2)(b2,c3)(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共10種.設(shè)選中的2人都來自高校C的事件為X，則X包含的基本事件有(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共3種.因此P(X)= .故選中的2人都來自高校C的概率是.【方法技巧】1、分層抽樣的依據(jù)是：比=樣本容量/總體，再用比去乘以每一層的個(gè)體數(shù)，即可得到這層要取的個(gè)體數(shù).2、概率問題的解題步驟：首先思考實(shí)驗(yàn)的個(gè)數(shù)、實(shí)驗(yàn)關(guān)系和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，然后思考目標(biāo)事件如何用基本事件表示出來，最后利用互斥事件進(jìn)行運(yùn)算.16（20xx湖南高考理科4）如圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖（1）求直方圖中x的值.（2）若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【命題立意】以實(shí)際生活為背景，考查頻率分布直方圖的認(rèn)識，進(jìn)而考查分布列和期望等統(tǒng)計(jì)知識.【思路點(diǎn)撥】頻率分布直方圖矩形的面積表示頻率反映概率；隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣）是三個(gè)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)計(jì)算概率時(shí)遵循貝努力概型.【規(guī)范解答】（1）依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.（2）由題意知，XB(3，0.1).因此P(x=0)= P(X=1)=P(X=2)= P(X=3)=故隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.7290.2430.0270.001X的數(shù)學(xué)期望為EX=30.1=0.3.【方法技巧】1.統(tǒng)計(jì)的常用圖：條形圖，徑葉圖；直方圖，折線圖等.要學(xué)會識圖.2.概率問題的解題步驟：首先思考實(shí)驗(yàn)的個(gè)數(shù)、實(shí)驗(yàn)關(guān)系和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，然后思考目標(biāo)時(shí)間如何用基本事件表示出來，最后利用互斥事件進(jìn)行運(yùn)算.3.在求期望和方差時(shí)注意使用公式.