新課標高考數(shù)學 總復習：考點28隨機事件的概率、古典概型、幾何概型

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1、 考點28 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型 1.（20xx遼寧高考理科3）兩個實習生每人加工一個零件加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（ ）（A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率.【思路點撥】恰有一個一等品，包含兩類情況.【規(guī)范解答】選B.所求概率為.【方法技巧】1.要準確理解恰有一個的含義. 2.事件A，B相互獨立，則P(AB)P(A)P(B) 3.本題也可用對立事件的概率來解決.所求概率p=.2.（20xx北京高考文科3）從1,2,3,4,5中隨機選取一個數(shù)為a，從1,2,3中隨機選取一

2、個數(shù)為b，則ba的概率是（ ） （A） (B) （C） (D)【命題立意】本題考查古典概型，熟練掌握求古典概型概率的常用方法是解決本題的關鍵.【思路點撥】先求出基本事件空間包含的基本事件總數(shù)，再求出事件“”包含的基本事件數(shù)，從而.【規(guī)范解答】選D.，包含的基本事件總數(shù).事件“”為，包含的基本事件數(shù)為.其概率.【方法技巧】列古典概型的基本事件空間常用的方法有：（1）列舉法；（2）坐標網(wǎng)格法；（3）樹狀圖等.3.（20xx湖南高考文科11）在區(qū)間-1,2上隨即取一個數(shù)x，則x0,1的概率為 .【命題立意】以非常簡單的區(qū)間立意，運算不復雜，但能切中考查幾何概型的要害.【思路點撥】一元幾何概型長度之比

3、.【規(guī)范解答】-1，2的長度為3，0,1的長度為1，所以概率是.【方法技巧】一元幾何概型長度之比，二元幾何概型面積之比，三元幾何概型體積之比.4（20xx福建高考理科13）某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于 .【命題立意】本題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求解.【思路點撥】 分析題意可得：該選手第一個問題可以答對也可以答錯，第二個問題一定回答錯誤，第三、四個問題一定答對，進而求解“相互獨立事件同時發(fā)生的

4、概率”.【規(guī)范解答】依題意得：該選手第一個問題可以答對也可以答錯，第二個問題一定回答錯誤，第三、四個問題一定答對，所以其概率.【答案】0.1285. （20xx天津高考理科1）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為 和 .【命題立意】本題考查了統(tǒng)計中的平均數(shù)、莖葉圖的基礎知識，考查了學生的識圖能力.【思路點撥】計算10個數(shù)的平均數(shù).【規(guī)范解答】選甲日加工零件的平均數(shù)為：，同理可得乙日加工零件的平均數(shù)為23.【答案】24 236.（20xx安徽高考理科15）甲罐中有

5、5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是_（寫出所有正確結論的編號）. ；事件與事件相互獨立；是兩兩互斥的事件；的值不能確定，因為它與中哪一個發(fā)生有關.【命題立意】本題主要考查概率的綜合問題，考查考生對事件關系的理解和條件概率的認知水平【思路點撥】根據(jù)事件互斥、事件相互獨立的概念，條件概率及把事件B的概率轉化為可辨析此題.【規(guī)范解答】顯然是兩兩互斥的事件，有，而，且，有.可以判定正確，而錯誤.【答案】7.

6、（20xx遼寧高考文科13）三張卡片上分別寫上字母E，E,B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為.【命題立意】本題考查了古典概型，考查了計數(shù)原理，和排列組合.【思路點撥】所有可能的基本事件總數(shù)滿足條件的基本事件數(shù)求概率【規(guī)范解答】將三張卡片排成一行，共有(種) 可能的結果，恰好排成英文單詞BEE的可能結果有（種）.所以所求概率為p=.【答案】8. （20xx江蘇高考3）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是_ _.【命題立意】本題考查古典概型的概率求法.【思路點撥】先求出從盒子中隨機地摸出兩只球的所有方法數(shù)，再求出所摸兩只球

7、顏色不同的方法數(shù)，最后代入公式計算即可.【規(guī)范解答】從盒子中隨機地摸出兩只球，共有種情況，而摸兩只球顏色不同的種數(shù)為種情況，故所求的概率為【答案】9. （20xx浙江高考文科17）在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P，Q，M，N分別是線段OA，OB，OC，OD的中點，在A，P，M，C中任取一點記為E，在B，Q，N，D中任取一點記為F，設G為滿足向量的點，則在上述的點G組成的集合中的點，落在平行四邊形ABCD外（不含邊界）的概率為 .【命題立意】本題主要考查了平面向量與古典概型的綜合運用，屬中檔題.【思路點撥】利用向量加法的平行四邊形法則逐個驗證是否在四邊形ABCD外.【規(guī)范解答】由

8、題意知，G點共有16種取法，而只有E為P、M中一點，F(xiàn)為Q、N中一點時，落在平行四邊形內(nèi)（含邊界），故符合要求的G只有4個，因此概率為.【答案】【方法技巧】（1）求古典概型的概率一般先求出基本事件空間所包含的基本事件總數(shù)n，再求出事件A所包含的基本事件數(shù)m，其概率為.（2）求向量加法時如果兩個向量同一起點那么用平行四邊形法則，如果首尾相連一般用三角形法則.10（20xx湖南高考理科4）在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，則的概率為 【命題立意】以非常簡單的區(qū)間和不等式的解集立意，運算不復雜，但能切中考查幾何概型的要害.【思路點撥】一元幾何概型長度之比.【規(guī)范解答】-1，2的長度為3，|x|1的解集為-1,

9、1的長度為2，所以概率是.【答案】【方法技巧】一元幾何概型長度之比，二元幾何概型面積之比，三元幾何概型體積之比.11.（20xx山東高考文科9）一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.（1）從袋中隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率.（2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求的概率.【命題立意】本小題主要考查古典概型、對立事件的概率計算，考查考生分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】采用列舉法列出一切可能的結果組成的基本事件，再根據(jù)古典概型的概率公式進行計算，第（2）問可利用對立事件的概率計算

10、.【規(guī)范解答】（1）從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個.從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2，1和3兩個.因此所求事件的概率.（2）先從袋中隨機取一個球，記下編號為，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為，其一切可能的結果有共16個,又滿足的事件的概率為.故滿足的事件的概率為.12. （20xx安徽高考文科10）甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【命題立意】本題主要考查古典概型的概率

11、問題，考查考生分析問題的能力.【思路點撥】試驗為古典概型試驗的基本事件個數(shù)所求事件包含的基本事件個數(shù) 計算概率 【規(guī)范解答】選C，正方形四個頂點可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個等可能的基本事件.兩條直線相互垂直的情況有5種（4組鄰邊和對角線），包括10個基本事件，所以概率等于 .【方法技巧】對于古典概型的概率問題，關鍵是明確試驗的基本事件數(shù)，然后明確所求事件包含的基本事件數(shù)，進而求解概率.13. （20xx福建高考文科8）設平面向量 （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n 1,2,3,4. （I）請列出有序數(shù)組（ m，n ）的所有可能結果； （II）記“使得（-

12、）成立的（ m，n ）”為事件A，求事件A發(fā)生的概率.【命題立意】本題考查概率、平面向量等基礎知識，考查運算求解能力，應用意識，考查化歸轉化思想、或然與必然思想. 【思路點撥】第一步用枚舉法寫出數(shù)組的所有可能；第二步用向量的內(nèi)積得到m，n的關系式，進而得到事件A包含的基本事件，利用古典概型公式即可求. 【規(guī)范解答】( I ) 有序數(shù)組的所有可能結果為：共16個；（II）由得，即故事件所包含的基本事件為，共兩個.有基本事件的總數(shù)為16，故所求的概率.【方法技巧】有關概率統(tǒng)計的問題，越來越常見利用枚舉法的求解方法，枚舉時一定要考慮全面，漏解是最常見的錯誤，如本題要求的是有序的數(shù)組（m，n），坐標的

13、位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情況，不要當成同一種.因為這部分內(nèi)容與實際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來越重視這部分的內(nèi)容，試題的難度為中等或中等偏易.14.（20xx天津高考文科18）有編號為,，的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數(shù)據(jù)：其中直徑在區(qū)間1.48，1.52內(nèi)的零件為一等品.（）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；（）從一等品零件中，隨機抽取2個. （）用零件的編號列出所有可能的抽取結果； （）求這2個零件直徑相等的概率.【命題立意】本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎知識，考查數(shù)

14、據(jù)處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力.【思路點撥】利用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.【規(guī)范解答】（）由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）=.（）（i）一等品零件的編號為.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的 所以P(B) =.15. （20xx湖南高考文科17）為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關人員中，抽取若干人組成研究小組、有關數(shù)據(jù)見下表（單位：人）(1)求x,y ;(2)若從高校B，C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這二人都來自高校C的概率.【命題立意】以實際生

15、活為背景，考查抽取樣本的認識，進而考查求事件的概率.【思路點撥】分層抽樣也叫做按比例抽樣.求事件的概率關鍵是弄明白基本事件以及目標事件包多少個基本事件.【規(guī)范解答】 (1) 由題意可得, ,所以(2) 記從高校B抽取的2人為b1,b2,從高校C中抽取的3人為c1 ,c2 ,c3 ,則從高校B,C抽取的5人中選2人做專題發(fā)言的基本事件有(b1,b2)(b1,c1)(b1,c2)(b1,c3)(b2,c1)(b2,c2)(b2,c3)(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共10種.設選中的2人都來自高校C的事件為X，則X包含的基本事件有(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共3種.因此P(

16、X)= .故選中的2人都來自高校C的概率是.【方法技巧】1、分層抽樣的依據(jù)是：比=樣本容量/總體，再用比去乘以每一層的個體數(shù)，即可得到這層要取的個體數(shù).2、概率問題的解題步驟：首先思考實驗的個數(shù)、實驗關系和實驗結果，然后思考目標事件如何用基本事件表示出來，最后利用互斥事件進行運算.16（20xx湖南高考理科4）如圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖（1）求直方圖中x的值.（2）若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.【命題立意】以實際生活為背景，考查頻率分布直方圖的認識，進而考查分

17、布列和期望等統(tǒng)計知識.【思路點撥】頻率分布直方圖矩形的面積表示頻率反映概率；隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣）是三個獨立重復實驗計算概率時遵循貝努力概型.【規(guī)范解答】（1）依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.（2）由題意知，XB(3，0.1).因此P(x=0)= P(X=1)=P(X=2)= P(X=3)=故隨機變量X的分布列為X0123P0.7290.2430.0270.001X的數(shù)學期望為EX=30.1=0.3.【方法技巧】1.統(tǒng)計的常用圖：條形圖，徑葉圖；直方圖，折線圖等.要學會識圖.2.概率問題的解題步驟：首先思考實驗的個數(shù)、實驗關系和實驗結果，然后思考目標時間如何用基本事件表示出來，最后利用互斥事件進行運算.3.在求期望和方差時注意使用公式.