高考數(shù)學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題14 橢圓、雙曲線、拋物線的性質綜合問題 Word版含解析

高考數(shù)學精品復習資料 2019.5【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】1.【20xx新課標全國】已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】C；【解析】，故，即，故漸近線方程為.2.【20xx新課標全國】已知橢圓 (a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點.若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為 ( )A、1B、1 C、1D、1【答案】D；3.【20xx新課標全國】為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】C；【解析】易知，過點作準線的垂線交于，可知，在線段上的射影記為，則，故，由勾股定理可知，故4.【20xx全國1高考理】已知為雙曲線:的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】A5.【20xx全國1高考理第10題】已知拋物線C：的焦點為F，準線為，P是上一點，Q是直線PF與C得一個焦點，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如圖所示，因為，故，過點作，垂足為M，則軸，所以，所以，由拋物線定義知，選B6.【20xx高考全國1卷文】已知雙曲線的離心率為2，則（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】D【解析】由離心率可得:，解得：7.【20xx高考全國1卷文】已知拋物線C：的焦點為,是C上一點，則（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】A8.【20xx全國II理11】已知為雙曲線的左、右頂點，點在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】設雙曲線方程為，如圖所示，由，則過點作軸，垂足為， 在中，故點的坐標為，代入雙曲線方程可得，即有，所以.故選D9.【20xx全國I理5】已知是雙曲線上的一點，是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（ ）.A B C D【答案】A【熱點深度剖析】橢圓、雙曲線、拋物線的性質綜合問題是高考考試的重點，每年必考，一般是兩小一大的布局，小題部分： 20xx年文理各兩道，文理都考查了利用雙曲線的基本性質，求雙曲線的漸近線，另一道理科考查了直線與圓錐曲線的位置關系，利用中點弦，求橢圓方程，文科考查了利用拋物線的基本性質求三角形的面積；20xx年文理在小題部分都是兩道，理科一道考查了利用雙曲線的標準方程和簡單幾何性質，點到直線的距離公式，另一道考查了拋物線的定義，拋物線的標準方程，向量共線，文科比較簡單，一道考查了雙曲線的幾何性質，另一道考查了利用拋物線的方程和定義.20xx年以雙曲線為載體進行命題.從這三年高考試題來看，橢圓、雙曲線、拋物線的性質綜合問題是高考考試的熱點，試題難度往往是有一道基礎題，另一道是提高題，難度中等以上，有時作為把關題考查方面離心率是重點，其它利用性質求圓錐曲線方程，求焦點三角形的周長與面積，求弦長，求圓錐曲線中的最值或范圍問題，過定點問題，定值問題等從近幾年的高考試題來看，小題中雙曲線的定義、標準方程及幾何性質是高考的熱點，題型大多為選擇題、填空題，難度為中等偏低，主要考查雙曲線的定義及幾何性質，考查基本運算能力及等價轉化思想，而橢圓、拋物線的性質一般，一道小題，一道解答題，難度中等，有時作為把關題存在，而且三大曲線幾乎年年都考，故預測20xx年高考題中基礎客觀題仍會以雙曲線為載體，綜合性客觀題有可能以橢圓與拋物線為載體進行命題，一個熱點是求曲線的離心率，另一個熱點是圓錐曲線中的最值或范圍問題【重點知識整合】1橢圓及其標準方程：橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點、的距離的和大于|這個條件不可忽視.若這個距離之和小于|，則這樣的點不存在；若距離之和等于|，則動點的軌跡是線段.橢圓的標準方程：（0），（0）.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大?。喝绻椀姆帜复笥陧椀姆帜?，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.求橢圓的標準方程的方法： 正確判斷焦點的位置； 設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.如果已知橢圓過兩個點（不是在坐標軸上的點），求其標準方程時，為了避免對焦點的討論可以設其方程為或；橢圓的參數(shù)方程： 橢圓（0）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.說明 這里參數(shù)叫做橢圓的離心角.橢圓上點P的離心角與直線OP的傾斜角不同：； 橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質是三角代換.2橢圓的簡單幾何性質橢圓的幾何性質：設橢圓方程為（0）.范圍： -axa，-bxb，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里.對稱性：分別關于x軸、y軸成軸對稱，關于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.頂點：有四個（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0e1.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.橢圓的第二定義：平面內動點M與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)（e1時，這個動點的軌跡是橢圓.準線：根據(jù)橢圓的對稱性，（0）的準線有兩條，它們的方程為.對于橢圓（0）的準線方程，只要把x換成y就可以了，即.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑.設（-c，0），（c，0）分別為橢圓（0）的左、右兩焦點，M（x，y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為，橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便.橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有=+、兩個關系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件.在橢圓中，如果一個三角形的兩個頂點是焦點，另一個頂點在橢圓上，稱該三角形為焦點三角形，則三角形的周長為定值等于，面積等于，其中是短半軸的長；過焦點垂直于對稱軸的弦長即通徑長為3雙曲線及其標準方程：雙曲線的定義：平面內與兩個定點、的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（小于|）的動點的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a|，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|，則動點的軌跡是兩條射線；若2a|，則無軌跡.若時，動點的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值”.雙曲線的標準方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，不一定大于，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.如果已知雙曲線過兩個點（不是在坐標軸上的點），求其標準方程時，為了避免對焦點的討論可以設其方程為或4雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的實軸長為，虛軸長為，離心率1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個不為零的常數(shù).雙曲線的第二定義：平面內到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是一個大于1的常數(shù)（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線，它的焦點坐標是（-c，0）和（c，0），與它們對應的準線方程分別是和.在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有與的關系，與橢圓一樣確定雙曲線的標準方程只要兩個獨立的條件.在雙曲線中，如果一個三角形的兩個頂點是焦點，另一個頂點在橢圓上，稱該三角形為焦點三角形，則面積等于，其中是虛半軸的長；過焦點垂直于對稱軸的弦長即通徑長為5拋物線的標準方程和幾何性質拋物線的定義：平面內到一定點（F）和一條定直線（l）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準線.需強調的是，點F不在直線l上，否則軌跡是過點F且與l垂直的直線，而不是拋物線.拋物線的方程有四種類型：、.對于以上四種方程：應注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向.拋物線的幾何性質，以標準方程y2=2px為例（1）范圍：x0；（2）對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；（3）頂點：O（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因為無中心）；（4）離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；（5）準線方程；（6）焦半徑公式：拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p0）： （7）焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導出弦長公式.設過拋物線y2=2px（pO）的焦點F的弦為AB，A，B，AB的傾斜角為，則有或，以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求.在拋物線中，以拋物線的焦點弦為直徑的圓與該拋物的對應準線相切；【應試技巧點撥】焦點三角形問題的求解技巧(1)所謂焦點三角形，就是以橢圓或雙曲線的焦點為頂點，另一個頂點在橢圓或雙曲線上的三角形(2)解決此類問題要注意應用三個方面的知識：橢圓或雙曲線的定義；勾股定理或余弦定理；基本不等式與三角形的面積公式離心率的求法雙曲線與橢圓的離心率就是的值，有些試題中可以直接求出的值再求離心率，在有些試題中不能直接求出的值，由于離心率是個比值，因此只要能夠找到一個關于或的方程，通過這個方程解出或，利用公式求出，對雙曲線來說，對橢圓來說，.求圓錐曲線方程的方法(1)定義法：在所給的條件滿足圓錐曲線的定義時或已知圓錐曲線的焦點及其上一點的坐標時常用此方法(2)待定系數(shù)法：頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設為或()，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時不具有的幾何意義中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，橢圓方程可設為 ()，雙曲線方程可設為 ()這樣可以避免繁瑣的計算利用以上設法，根據(jù)所給圓錐曲線的性質求出參數(shù)，即得方程4最值或范圍問題的解決方法解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：(1)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值；(2)利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值；(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4)利用判別式求最值；(5)利用數(shù)形結合，尤其是切線的性質求最值5求定值問題的方法定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題6 有關弦的問題(1)有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關系，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與系數(shù)的關系，即作如下變形：，.當斜率不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)(2)弦的中點問題有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設而不求法”來簡化運算【考場經(jīng)驗分享】1.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質的基礎.因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求.2區(qū)分雙曲線中的大小關系與橢圓關系，在橢圓中，而在雙曲線中.3雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率4.解決直線與圓錐曲線位置關系問題的步驟：(1)設方程及點的坐標；(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項系數(shù)是否為零)；(3)應用根與系數(shù)的關系及判別式；(4)結合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解5.定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值化解這類問題的關鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程6.求解圓錐曲線的離心率，基本思路有兩種：一是根據(jù)圓錐曲線的定義、方程、性質等分別求出，然后根據(jù)離心率的定義式求解；二是根據(jù)已知條件構造關于的方程，多為二次齊次式，然后通過方程的變形轉化為離心率e的方程求解，要靈活利用橢圓、雙曲線的定義求解相關參數(shù)7.求解拋物線中的最值問題要注意定義的靈活運用，即拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線的距離相等，解該題的關鍵就是利用此定義將問題轉化為求解圓上的點到定點距離的最值問題【名題精選練兵篇】1. 【20xx屆陜西省西北工大附中高三第四次適應性考試】已知為橢圓的左、右焦點，若為橢圓上一點，且的內切圓的周長等于，則滿足條件的點有（ ）A0個 B1個 C2個 D4個【答案】C2【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學期第二次模擬】設為拋物線的焦點，為該拋物線上不同的三點，為坐標原點，且的面積分別為，則（ ）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】由題意可知，設，則，由得，即，又在拋物線上，所以，所以，故選B.3【20xx屆湖北省沙市中學高三下第三次半月考】已知雙曲線的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2. 若以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D【答案】A【解析】由已知，兩邊平方且由得，兩邊同除以，得，解得，故.4【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】已知為雙曲線的左焦點，定點，若雙曲線上存在一點滿足，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A B C D【答案】A5【20xx屆陜西省西安一中等八校高三下聯(lián)考】已知在雙曲線上，其左、右焦點分別為、，的內切圓與軸相切于點，則的值為（ ）A B C D【答案】B【解析】在雙曲線上,可得，設內切圓與軸相切于點，與圓切與于，由雙曲線的定義可知，由切線長定理知，即，可得,解得，故選B.6【20xx屆遼寧省沈陽東北育才學校高三上二模】設拋物線的焦點為F，經(jīng)過點P（2，1）的直線與拋物線相交于 兩點，點P恰為的中點，則|+|=（ ）A.8 B.10 C.14 D.16【答案】A【解析】拋物線的準線為直線，設兩點到準線的距離分別為，則有，到準線的距離為，所以7【20xx屆青海省平安一中高三4月月考】橢圓左右焦點分別為，為橢圓上任一點且最大值取值范圍是，其中，則橢圓離心率的取值范圍（ ）A B C D【答案】B8【20xx屆河北省衡水中學高三下學期一?？肌恳阎c在橢圓，點滿足（其中為坐標原點，為橢圓的左焦點），則點的軌跡為（ ）A圓 B拋物線 C雙曲線 D橢圓【答案】D【解析】因為點滿足（其中為坐標原點，所以點是的中點，設，由于為橢圓的左焦點，則，故，由點在橢圓上，則點的軌跡方程為，故選D.9【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】已知橢圓與x軸負半軸交于點C，A為橢圓第一象限上的點，直線OA交橢圓于另一點B，橢圓的左焦點為F，若直線AF平分線段BC，則橢圓的離心率等于（ ）A B C D【答案】A10【20xx屆福建省漳州市高三下學期第二次模擬】已知拋物線的準線與坐標軸交于點，為拋物線第一象限上一點，為拋物線焦點，為軸上一點，若，則=（ ）（A） （B） （C） （D） 2【答案】【解析】設，則轉化到到準線的距離，在直角三角形中，易知，則.11.【20xx屆浙江省嘉興市高三9月學科基礎知識測試】經(jīng)過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的直線，交雙曲線與A，B兩點，交雙曲線的漸近線于P，Q兩點，若，則雙曲線的離心率是（ ）A B C D【答案】D【解析】由題意可知，離心率12. 【20xx屆河南省商丘市高三第一次模擬考試】已知拋物線4x與雙曲線（a0，b0）有相同的焦點F，點A，B是兩曲線的交點，若（）0，則雙曲線的離心率為（ ）.A2 B1 C1 D1【答案】D13. 【20xx屆遼寧省朝陽市三校協(xié)作體高三下學期開學聯(lián)考】過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦，則（ ）A B C D【答案】D【解析】根據(jù)題意，拋物線的焦點為，設直線的方程為，直線的方程為：,代入得:,由韋達定理得:,所以:,同理:,所以,所以答案為D14. 【20xx屆湖南省懷化市高三第一次?？肌恳阎p曲線 , 、是實軸頂點,是右焦點，是虛軸端點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點使得構成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是A B C D【答案】B15【20xx屆安徽省安慶五校聯(lián)盟高三下學期3月聯(lián)考】已知、是雙曲線（）的左、右焦點，點關于漸近線的對稱點恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為A B C D【答案】C【解析】如圖所示，關于漸近線的對稱點為，連接、，線段交漸近線于點，則，所以，又因為，所以16. 已知點在漸近線方程為的雙曲線上，其中，分別為其左、右焦點若的面積為16且，則的值為 【答案】【名師原創(chuàng)測試篇】1已知拋物線一條過焦點的弦，點在直線上，且滿足，在拋物線準線上的射影為，設是中的兩個銳角，則 ( ) A B C D不確定【答案】C【解析】由拋物線知識可知是直角三角形，則，故選C.2. 若雙曲線的焦點在軸上，過點作圓的切線，切點分別為，直線恰好經(jīng)過點，則雙曲線方程為 .【答案】3. 已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點，則（ ） A. B. C. D.由直線的斜率決定【答案】C【解析】若軸，則，所以；若直線的斜率存在，則設，與拋物線方程聯(lián)立，消去，可得，設，則有.因為，所以.所以，故選C.4. 過雙曲線的右焦點的一條直線交雙曲線的左支于點，若線段的中點到坐標原點的距離為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 .【答案】5. 點為雙曲線的右焦點，點為雙曲線左支上一點，線段與圓相切于點，且，則雙曲線的離心率等于（ ） ABCD2 【答案】C【解析】設左焦點，由，所以是線段的中點,連接，則，且，則，在中，由勾股定理得,所以，兩邊平方得，解得，6. 若函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點，且過點的直線被拋物線截的弦長為，則直線的斜率為（ ）A. 0或-1 B.2或 C.-2或 D.【答案】D.