高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點總動員新課標(biāo)版 專題11 平面向量的運(yùn)算 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標(biāo)全國】已知兩個單位向量,的夾角為,,若,則_____. 【答案】2； 【解析】,故,故. 2.【20xx全國卷1理】已知為圓上的三點,若,則與的夾角為_______． 【答案】． 3.【20xx全國卷1卷文】設(shè)分別為的三邊的中點,則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根據(jù)平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算可得：在中,,同理,則． 4．【20xx全國

2、卷1】設(shè)為所在平面內(nèi)一點,,則（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題可得,所以,所以 ．故選A． 5．【20xx全國卷2】設(shè)向量不平行,向量與平行,則實數(shù) ． 【答案】 【解析】根據(jù)向量平行的條件,因為向量與平行, 所以,則有解得,所以． 6.【20xx全國卷1】已知是雙曲線上的一點,,是的兩個焦點,若,則的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【熱點深度剖析】 從近幾年的高考試題來看,向量的運(yùn)算,向量的幾何意義,平面向量基本定理,向量的數(shù)量積,向量的坐標(biāo)運(yùn)算及

3、向量共線的坐標(biāo)表示,及向量的數(shù)量積及運(yùn)算律,向量垂直的充要條件是高考的熱點,題型既有選擇題、填空題,有時也涉及解答題,往往和解析幾何結(jié)合出題,函數(shù)等結(jié)合出題,與三角結(jié)合出大題在新課標(biāo)卷中還沒涉及,而對向量的數(shù)量積及運(yùn)算律的考查多為一個小題；另外作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時經(jīng)常用到．整個命題過程緊扣課本,重點突出,有時考查單一知識點；有時通過知識的交匯與鏈接,全面考查向量的數(shù)量積及運(yùn)算律等內(nèi)容．20xx年文理為同一道題目,求向量的模,考查向量的數(shù)量積公式,難度較低；20xx年新課標(biāo)高考理對向量的考查平面向量基本定理,難度中等,文科則考查向量的幾何運(yùn)算,較為簡單；20xx

4、年全國卷兩套試卷各有一題考查向量的線性運(yùn)算,難度較低,全國卷1還有一道與圓錐曲線的綜合題,難度中等.向量試題屬于中、低檔題目,常與向量的數(shù)量積運(yùn)算等交匯命題,主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線條件的應(yīng)用．同時又注重對函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法的考查．預(yù)測20xx年高考將以向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)表示,向量的數(shù)量積,向量的平行,垂直為主要考點.另外還有注意向量與平面幾何、三角、解析幾何知識交匯問題． 【重點知識整合】 （1）兩個向量的夾角：對于非零向量,,作, 稱為向量,的夾角,當(dāng)＝0時,,同向,當(dāng)＝時,,反向,當(dāng)＝時,,垂直. （2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量,,它們

5、的夾角為,我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積）,記作：,即＝.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù),不再是一個向量. （3）在上的投影為,它是一個實數(shù),但不一定大于0. （4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積. （5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量,,其夾角為,則： ①； ②當(dāng),同向時,＝,特別地,；當(dāng)與反向時,＝－；當(dāng)為銳角時,＞0,且不同向,是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時,＜0,且不反向,是為鈍角的必要非充分條件； ③非零向量,夾角的計算公式：；④. 2、向量的運(yùn)算： （1）幾何運(yùn)算： ①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行,但“

6、平行四邊形法則”只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè),那么向量叫做與的和,即； ②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè),由減向量的終點指向被減向量的終點.注意：此處減向量與被減向量的起點相同. （2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè),則： ①向量的加減法運(yùn)算：,. ②實數(shù)與向量的積：. ③若,則,即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo). ④平面向量數(shù)量積：. ⑤向量的模：. 3、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：,,；(2)結(jié)合律：,；（3）分配律：,.提醒：（1）向量運(yùn)算和實數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式,可以移項,兩邊平方、兩邊同乘以

7、一個實數(shù),兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量,切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律,即,為什么？ 4、向量平行(共線)的充要條件：＝0.如(13)設(shè),則k＝_____時,A,B,C共線. 5、向量垂直的充要條件： .特別地. 【應(yīng)試技巧點撥】 1.如何利用向量的幾何表示三角形的各種心 向量的幾何表示是高考的熱點問題,特別是用三角形的各種心的向量表示經(jīng)常是命題的素材,常見的結(jié)論如下： ①為的重心,特別地為的重心；是BC邊上的中線AD上的任意向量,過重心；等于已知AD是中BC邊的中線. ②為的垂心；是△ABC的邊

8、BC的高AD上的任意向量,過垂心. ③ 的內(nèi)心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線). ④為 的外心. 2.向量與平行四邊形相關(guān)的結(jié)論 向量的加法的幾何意義是通過平行四邊形法則得到,其應(yīng)用非常廣泛.在平行四邊形中,設(shè),則有以下的結(jié)論： ①通過這個公式可以把共同起點的兩個向量進(jìn)行合并；若,可判斷四邊形為平行四邊形； ②若對角線相等或鄰邊垂直,則平行四邊形為矩形；對角線垂直.則平行四邊形為菱形； ③說明平行四邊形的四邊的平方和等于對角線的平方和； ④,特別地,當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實數(shù)比較類似). 3. 向量平行和垂直的重要應(yīng)用 向量平行和垂直的重

9、要應(yīng)用,是高考的熱點.命題方向有兩點：一是利用已知條件去判斷垂直或平行；二是利用平行或垂直的條件去確定參數(shù)的值.需牢固掌握判斷的充要條件. （1）向量平行(共線)的充要條件：＝0; （2）向量垂直的充要條件：. 4.一個共線結(jié)論：是平面內(nèi)不同4點,則共線,且. 5.向量運(yùn)算問題的兩大處理思路 向量運(yùn)算包括幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算.利用幾何運(yùn)算就是充分利用加法和減法的幾何含義,以及一些具有幾何含義的式子,進(jìn)行化簡、轉(zhuǎn)化向量的計算.利用坐標(biāo)運(yùn)算,實際上就是轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,即向量問題坐標(biāo)化. 樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點,以數(shù)代形,以形觀數(shù),用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題,特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系

10、時,要正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理,去計算向量的模、兩點的距離等.由于向量作為工具,它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查,是知識的交匯點. 5.如何恰當(dāng)?shù)倪x擇向量的數(shù)量積的公式 求向量的數(shù)量積的公式有兩個：一是定義式＝；二是坐標(biāo)式.定義式的特點是具有強(qiáng)烈的幾何含義,需要明確兩個向量的模及夾角,夾角的求解方法靈活多樣,一般通過具體的圖形可確定,因此采用數(shù)形結(jié)合思想是利用定義法求數(shù)量積的一個重要途徑.坐標(biāo)式的特點具有明顯的代數(shù)特征,解題時需要引入直角坐標(biāo)系,明確向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解.即向量問題“坐標(biāo)化”,使得問題操作起來容易、方便. 6.如何判斷三角形形狀

11、 給出三角形邊相關(guān)的向量關(guān)系式,判斷三角形的形狀是一個熱點題型.此類題的關(guān)鍵是對給定的關(guān)系式恰當(dāng)?shù)娜セ?變形,整理.最終能夠說明三角形的形狀.常用的技巧有： （1）利用向量加減法的運(yùn)算可以合并或分解. （2）利用拆、添、減項等技巧,對式子進(jìn)行變形化簡. （3）利用一些常見的結(jié)論進(jìn)行判斷. 【考場經(jīng)驗分享】 1．求向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角關(guān)系是鈍角． 2.如果高考單獨(dú)考查向量的運(yùn)算,如代數(shù)或幾何運(yùn)算,一般試題難度較低,位置較為靠

12、前,一般為選擇題的前8題,或填空題的前2題,此時應(yīng)為的全分題,如果向量和其它知識相結(jié)合,考查最值等問題,一般會出現(xiàn)在后幾道選擇題中,難度較大,此時應(yīng)充分考慮向量的幾何意義,或坐標(biāo)法表示進(jìn)行解決,在利用坐標(biāo)法解決問題時,可考慮一般問題特殊化,即恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,如果探求一些范圍問題,適當(dāng)?shù)拇凋炞C是一個良策. 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆陜西省西安一中等八校高三下聯(lián)考】已知為正三角形內(nèi)一點,且滿足,若的面積與的面積比值為3,則的值為（ ） A．3 B． C．1

13、 D．2 【答案】B 2．【20xx屆遼寧省沈陽東北育才學(xué)校高三上二?！恳阎橇阆蛄繚M足 ,若函數(shù) 在R 上存在極值,則和夾角的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,設(shè)和夾角為,因為有極值,所以,即,即,所以． 3．【20xx屆四川省成都市七中高三考試】在中,,且,點滿足,則（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】如下圖所示,過點作于,則,所以,故選B. 4．【20xx屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一?！恳阎矫嬷?/p>

14、角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個向量,,且平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成（為實數(shù)）,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 5．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】向量且,則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意得,因為,則,即,又,故選A． 6．【20xx屆重慶市巴蜀中學(xué)高三3月月考】已知是單位圓上的兩點,為圓心,且,是圓的一條直徑,點在圓內(nèi),且滿足,則的最小值為（ ） A． B． C． D．

15、 【答案】C 【解析】因為,所以,即,又,所以點在線段上,且,所以,又因為,所以,所以的最小值為,故選C. 7．【20xx屆福建省漳州市高三下學(xué)期第二次模擬】已知兩個單位向量,的夾角為,則下列結(jié)論不正確的是（ ） （A）在方向上的投影為 （B） （C） （D） 【答案】 8．【20xx屆河南省八市重點高中高三4月質(zhì)檢】已知平面向量滿足,,則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖, 設(shè)由題意由 ,可知即,即,即,設(shè),由可知即,由知,則,在和中,可知,又,則,將,代入

16、, 當(dāng)且僅當(dāng)故,故選D 9．【20xx屆廣東省肇慶市高三上期末】設(shè)向量=（1,﹣2）,=（﹣3,2）,若表示向量3,2﹣,的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,則?=（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 【答案】B 10．【20xx屆四川省成都七中高三下學(xué)第三次周練】已知拋物線（）的焦點為,直線與該拋物線交于、兩點,是線段的中點,過作軸的垂線,垂足為,若,則的值為（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】如圖所示,設(shè),則,聯(lián)立與消可得,而,由,可推得,聯(lián)立,可解得,故選B

17、. 11．【20xx屆四川省成都七中高三下學(xué)第三次測試】已知點是邊長為2的正方形的內(nèi)切圓內(nèi)（含邊界）一動點,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 12．【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】設(shè)向量是相互垂直的單位向量,向量與垂直,則實數(shù)________． 【答案】 【解析】由于向量與垂直,所以,又因為向量是相互垂直的單位向量,所以,進(jìn)而可得,故答案填. 13．【20xx屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研二】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點,,,,若不等式對任意實數(shù)都成立,則實數(shù)的最大值是 ． 【答案】 【解析】

18、由題意得：, 對任意實數(shù)都成立,因此,即對任意實數(shù)都成立,即,對任意實數(shù)都成立,即,,即,實數(shù)的最大值是 14． 【20xx屆青海省平安一中高三4月月考】設(shè)為單位向量,①若為平面內(nèi)的某個向量,則；②若與平行,則；③若與平行且,則.上述命題中,假命題個數(shù)是 ． 【答案】 15．【20xx屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一?？荚嚒吭谥苯亲鴺?biāo)系中,已知點和點,若點在的平分線上,且,則 . 【答案】 【解析】由題意得,,設(shè)與交于點,則,即分有向線段所成的比為,所以,即,因為,所以,即點的坐標(biāo)為. 16．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】已知向量是

19、單位向量,向量,若,則,的夾角為__________. 【答案】 【名師原創(chuàng)測試篇】 1. 已知是以為圓心的單位圓上的動點,且,則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知,,所以,,故選． 2.已知、為平面向量,若與的夾角為,與的夾角為,則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖所示,,,在三角形中,由下正弦定理得,故選D 3. 的外接圓半徑為1,圓心為,且,則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4. 若,均為單位向量,且,則,的夾角大小為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為,均為單位向量,,所以,所以,所以 ,因為與共線,所以,的夾角大小為.選C. 5．如圖,在中,,,,,則_____. 【答案】 【解析】在中,又正弦定理可得,可得,又因為 6． 如圖,在同一平面內(nèi),點位于兩平行直線的同側(cè),且到的距離分別為1,3．點分別在,,則的最大值是 ． 【答案】 【解析】