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1、
走出定積分運用的誤區(qū)
通過定積分與微積分基本定理部分知識的學(xué)習(xí)，初步了解定積分的概念，為以后進一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)．同時體會微積分的產(chǎn)生對人類文化發(fā)展的意義和價值，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神．在實際解題中，由于這部分知識的特殊性，經(jīng)常會由于種種原因出現(xiàn)一些錯誤，下面結(jié)合實際加以剖析．
1．公式應(yīng)用出錯
微積分基本定理為：一般地，如果是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且=，那么=．
例1．計算．
錯解：==
=++=+－=－．
錯解剖析：錯誤的原因在于對微積分基本定理記憶不準(zhǔn)，定理的條件與對應(yīng)的公式不清而導(dǎo)致錯誤．根據(jù)微積分基本定理，相應(yīng)的公式是==，而不是=．
正解：
2、==
=++=+－=．
評注：利用微積分基本定理來計算時通常是把求原函數(shù)與計算原函數(shù)值的差用一串等式表示出來．注意，把積分上、下限代入原函數(shù)求差時，要按步驟進行，以免發(fā)生符號錯誤．
2．幾何意義出錯
我們知道，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上恒為正時，定積分的幾何意義是以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積．在一般情況下，定積分的幾何意義是介于x軸，函數(shù)的圖象以及直線x=a，x=b之間各部分面積的代數(shù)和．
例2．如圖，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上，則陰影部分的面積S為（ ）
- 1 - / 3
A． B．－
C．―― D．―+
3、錯解：選擇答案：A或B或C．
錯解剖析：錯誤的原因在于對微積分的幾何意義不理解或理解得不夠透徹而導(dǎo)致出錯．根據(jù)微積分的幾何意義，若，則在[a，b]上的陰影面積S=；若，則在[a，b]上的陰影面積S=－．
正解：如圖所示，在[a，c]上，；在[c，b]上，；
所以函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的陰影部分的面積S=―+，
故選擇答案：D．
評注：在實際求解曲邊梯形的面積時要注意在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負(fù)號．各部分面積的代數(shù)和即為：x軸上方的面積減去x軸下方的面積．
3．實際應(yīng)用出錯
利用定積分可以用來解決平面幾何中的面積問題．其實，除幾何方面外，定積分在工程物理等方面的應(yīng)用
4、也極其廣泛，可以用來處理變速直線運動的路程和速度問題，也可以用來解決變力的作功問題等．
例3．模擬火箭自靜止開始豎直向上發(fā)射，設(shè)起動時即有最大加速度，以此時為起點，加速度滿足，求火箭前內(nèi)的位移．
錯解：由題設(shè)知，
====，
即火箭前內(nèi)的位移為．
錯解剖析：錯誤的原因在于對實際應(yīng)用中的相關(guān)問題理解不夠透徹，關(guān)系混淆．一般地，變速直線運動的路程問題的一般解法：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v（t）（v（t）0）在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s=．而一般地，變速直線運動的速度問題的一般解法：作變速直線運動的物體所具有的速度v，等于其加速度函數(shù)a=a（t）在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即v=．
正解：由題設(shè)知，，，，
所以=，
那么===，
即火箭前內(nèi)的位移為．
評注：先通過定積分求解變速直線運動的物體所具有的速度函數(shù)v（t），再根據(jù)已求的速度函數(shù)，通過定積分求解在對應(yīng)時間的位移．
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