第十章第5節(jié) 直線與圓錐曲線

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1、第十章 圓錐曲線 第五節(jié) 直線與圓錐曲線 題型126 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 2013年 1. (2013天津文18）設(shè)橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與 軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為． (1) 求橢圓的方程； (2) 設(shè)， 分別為橢圓的左右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點．若，求的值． 2.（2013山東文22）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短 軸長為，離心率為． （1）求橢圓的方程； （2），為橢圓上滿足的面積為的任意兩點，為線段的中點，射線 交橢圓于點，設(shè)，求實數(shù)的值． 3. (2013安徽文21）已知橢圓的焦距

2、為，且過點. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為.取點，連接，過點作的垂線交軸于點.點是點關(guān)于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓一定有唯一的公共點？并說明理由. 2014年 1.（2014湖北文8）設(shè)是關(guān)于的方程的兩個不等實根，則過，兩點的直線與雙曲線的公共點的個數(shù)為（ ）. A． B． C． D． 2.（2014大綱文22）已知拋物線C：的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線與C相交于M

3、，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程. 2015年 1.（2015安徽文20）設(shè)橢圓的方程為，點為坐標(biāo)原點，點 的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點在線段上，滿足，直線 的斜率為. （1）求的離心率； （2）設(shè)點的坐標(biāo)為，為線段的中點，求證：. 1. 分析（1）由且，，可得. 又因為的斜率為，所以，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可求出離心率； （2）由題意可知點的坐標(biāo)為，所以，， 推出 ，即可證明結(jié)果. 解析 （1）由，且，，可得. 又因為的斜率為，所以， 則，即，亦即，得. （2）由題意可知點的坐標(biāo)為，所以，， 所以，所以. 2. (2015北京文20)已知

4、橢圓，過點且不過點的直線與橢圓 交于，兩點，直線與直線交于兩點. （1）求橢圓的離心率； （2）若垂直于軸，求直線的斜率； （3）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由. 2. 解析（1）橢圓即，離心率. （2）若垂直于軸，則所在的直線方程為，不妨設(shè)， .又，，直線所在的方程為： ，聯(lián)立直線與直線的方程， 得，，故直線的斜率是1. （3）由（2）知，當(dāng)垂直于軸時，直線的斜率為1，且，得，故直線與直線平行. 若直線不垂直于軸時，直線與直線也保持平行的位置關(guān)系. 下面來進行驗證，即驗證. 設(shè)，，，直線的方程為， 令，得，， 要證明，只需證明，即， 聯(lián)立直線

5、與橢圓方程， 消建立關(guān)于的一元二次方程得，. 將式整理得 將，代入上式的左邊得： 右邊. 因此，直線的斜率為1，說明直線與直線的位置關(guān)系是平行. 3.（2015江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點到直線（其中）的距離為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過的直線與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線分別交直線和于點 ，若，求直線的方程． 3. 解析 （1）由題意得， 故，即，從而，，， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）解法一（正設(shè)斜率）：若的斜率不存在時，則方程為，此時，易知此時，不滿足題意； 當(dāng)?shù)男甭蕿?時，此時亦不

6、滿足題意； 因此斜率存在且不為0，不妨設(shè)斜率為，則方程， 不妨設(shè)，， 聯(lián)立直線與橢圓，即， 因為點在橢圓內(nèi)，故恒成立，所以， 故 ， 又，， 故， 因為，故， 即，即， 整理得，即，即， 解得，從而直線方程為或． 解法二（反設(shè)）：由題意，直線的斜率必不為0，故設(shè)直線方程為， 不妨設(shè)，， 與橢圓聯(lián)立，整理得， 因為點在橢圓內(nèi)，故恒成立，故， 因此 ， 則點的縱坐標(biāo)為， 于是點的橫坐標(biāo)為， 又，故， 所以， 因為可得， 化簡得，即， 化簡得，計算得，從而直線方程為或. 2016年 1.（2016浙江文19）如圖所示，設(shè)拋物線的焦點為，拋物線上的

7、點到軸的距離等于. （1）求的值； （2）若直線交拋物線于另一點，過與軸平行的直線和過與垂直的直線交于點，與軸交于點.求的橫坐標(biāo)的取值范圍. 1.解析 （1）因為拋物線上點到焦點的距離等于點到準(zhǔn)線的距離，由已知條件得，即. （2）由（1）知拋物線的方程為，，可設(shè)，，. 由題知不垂直于軸，可設(shè)直線，， 由消去得，故，所以. 又直線的斜率為，故直線的斜率為，從而直線，直線，所以. 設(shè)，由，，三點共線得：，整理得，(，)，此函數(shù)為偶函數(shù)，且和上單調(diào)遞減，分析知或. 所以點的橫坐標(biāo)的取值范圍是. 2.（2016全國乙文20）在直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點，交拋物線于點，

8、關(guān)于點的對稱點為，聯(lián)結(jié)并延長交于點. （1）求； （2）除以外，直線與是否有其他公共點？請說明理由. 2.解析 （1）如圖所示，由題意不妨設(shè)， 可知點的坐標(biāo)分別為，，， 從而可得直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，. 即點的坐標(biāo)為，從而由三角形相似可知. （2）由于，，可得直線的方程為， 整理得，聯(lián)立方程，整理得， 則，從而可知和只有一個公共點. 2017年 1.（2017全國1文20）設(shè)，為曲線上兩點，與的橫坐標(biāo)之和為4. （1）求直線的斜率； （2）設(shè)為曲線上一點，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程. 1.解析 （1）不妨設(shè)，， 則，即直線的斜率為．

9、（2）設(shè)，由的導(dǎo)函數(shù)知在處的切線斜率為， 所以，故． 因為，易知的斜率存在且不為，因此， 即 ① 設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得， 所以，故，由根與系數(shù)的關(guān)系知， 代入①式得，解得，符合題意，因此直線的方程為． 評注 此題這一條件，也可以轉(zhuǎn)化成向量數(shù)量積為，利用坐標(biāo)的來解決，但用向量法計算得到或，注意聯(lián)立后保證． 2.（2017江蘇卷17）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為．點在橢圓上，且位于第一象限，過點作直線的垂線，過點作直線的垂線． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線的交點在橢圓上，求點的坐標(biāo)

10、． 2.解析 （1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，解得，因此， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）由（1）知，．設(shè)，因為點為第一象限的點，故． 當(dāng)時，與相交于，與題設(shè)不符． 當(dāng)時，直線的斜率為，直線的斜率為． 因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為， 從而直線的方程為 ① 直線的方程為 ② 聯(lián)立①②，解得，所以． 因為點在橢圓上，由對稱性得，即或． 又點在橢圓上，故． 由，解得；由，無解． 因此點的坐標(biāo)為． 題型127 弦長與面積及最值問題 2013年 1.（2013湖北文22） 如

11、圖，已知橢圓與 的中心坐標(biāo)原點，長軸均為且在軸上， 短軸長分別為，（），過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐 標(biāo)從大到小依次為記， 和的面積分別為和． (1) 當(dāng)直線與軸重合時，若，求的值； (2) 當(dāng)變化時，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得？并說明理由． 第22題圖 2. (2013重慶文21） 如圖，橢圓的中心為原點，長軸在軸上，離心率，過左焦點作 軸的垂線交橢圓于兩點，. （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）取平行于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點，過作圓心為的圓，使橢圓上的其余點均在

12、圓外，求的面積的最大值，并寫出對應(yīng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 3. (2013湖南文20）已知，分別是橢圓的左、右焦點，關(guān)于直線的對稱點是圓 的一條直徑的兩個端點. （1）求圓的方程； （2）設(shè)過點的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為，.當(dāng)最大時，求直線的方程. 2014年 1（2014新課標(biāo)Ⅱ文10）設(shè)為拋物線的焦點過且傾斜角為的直線交于兩點則（ ） A B. C. D. 2.（2014四川文10）已知為拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點），則與面積之和的最小值是（ ）. A.

13、 B. C. D. 3.（2014陜西文20）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，左、右焦點分別為，. （1）求橢圓的方程； （2）若直線與橢圓交于A，B兩點，與以為直徑的圓交于兩點，且滿足求直線的方程. 4.（2014湖南文20）如圖所示，為坐標(biāo)原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形. （1）求的方程； （2）是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結(jié)論. 5.（2014四川文20） 已知橢圓：的左焦點為，離心率為.

14、（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點，為直線上一點，過作的垂線交橢圓于，.當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求四邊形的面積. 6.（2014山東文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為. （1）求橢圓的方程； （2）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點）. 點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點. （i）設(shè)直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值； （ii）求面積的最大值. 6. （2014浙江文22）已知的三個頂點都在拋物線上，為拋物線的焦點，點為的中點，； （1）若，求點的坐標(biāo)； （2）求面積的最大值. 2015年 1.

15、（2015全國I文5）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，的右焦點與拋物線 的焦點重合，是的準(zhǔn)線與的兩個交點，則（ ）. A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 1.B 解析 的焦點為，準(zhǔn)線方程為. 由得右焦點與的焦點重合，可得. 又，得，，所以橢圓方程為. 當(dāng)時，，得，即.故選B. 2.（2015全國I文16）已知是雙曲線：的右焦點，是的左支上一點， ，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為 ． 2. 解析 由題意作圖，如圖所示. 由雙曲線的定義知，.所以. 又，所以， 所以當(dāng)點，，在同一條直線上時，周

16、長取得最小值. 所在直線方程為， 同理直線的方程為. 聯(lián)立，解得. 則. 又，所以. 3.（2015湖南文20）已知拋物線的焦點也是橢圓 的一個焦點，與的公共弦長為，過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向. （1）求的方程； （2）若，求直線的斜率. 3.解析 （1）由知其焦點的坐標(biāo)為，因為也是橢圓的一個焦點， 所以； ① 又與的公共弦長為，與都關(guān)于軸對稱，且的方程為， 由此易知與的公共點的坐標(biāo)為， 所以，

17、 ② 聯(lián)立①②得，故的方程為. （2）如圖所示，設(shè)， 因與同向，且，所以， 從而，即， 于是 ③ 設(shè)直線的斜率為，則的方程為， 由得， 由是這個方程的兩根，④ 由得， 而是這個方程的兩根， ， ⑤ 將④,⑤代入③，得. 即 所以，解得，即直線的斜率為. 4.（2015天津文19）已知橢圓的上頂點為，左焦點為，離心 率為， （1）求直線的斜率； （2）設(shè)直線與橢圓交于點（異于點），故點且垂直于的直線與橢圓交于點（異于點）直線與軸交于點，. （i）求的值； （ii）若，求橢圓的

18、方程. 4．分析（1）先由 及，得，直線的斜率 ；（2）(ⅰ)先把直線，的方程與橢圓方程聯(lián)立， 求出點，橫坐標(biāo)，可得 （2）先由，得， 由此求出，故橢圓方程為 解析 （1） ，由已知 及 ，可得 ， 又因為 ，故直線的斜率. （2）設(shè)點 ， （i）由（1）可得橢圓方程為 ，直線的方程為 ， 兩方程聯(lián)立消去得， 解得.因為， 所以直線方程為 ，與橢圓方程聯(lián)立消去得： ，解得.又因為， 及 得 （ii）由（i）得，所以， 即 ，又因為， 所以. 又因為， 所以， 因此，所以橢圓方程為 5.（2015浙江文19）如圖所示，已知拋物線，圓， 過點作不過原

19、點的直線，分別與拋物線和圓相切，，為切點. (1)求點，的坐標(biāo)； (2)求的面積. 注：直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點. 5. 解析 (1)設(shè)：，聯(lián)立，得， 由得，所以，，所以. 設(shè)，則：，所以， 所以 又中點在直線：上， 所以 由式式得，.所以. (2)到的距離，， 所以， 橢圓方程為

20、 6.（2015湖北文22）一種畫橢圓的工具如圖1所示. 是滑槽的中點，短桿可繞 轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動，且 ，，當(dāng)栓子在滑槽內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動，處 的筆尖畫出的橢圓記為，以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直 角坐標(biāo)系. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)動直線與兩定直線：和：分別交于，兩點.若直線總與橢圓有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由. 圖1 圖2 6.解析 (

21、1)因為，當(dāng)在軸上時，等號成立； 同理，當(dāng)重合，即軸時，等號成立. 所以橢圓的中心為原點，長半軸長為，短半軸長為，其方程為 (2)（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為或，都有. （2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線：， 由， 消去，可得. 因為直線總與橢圓有且只有一個公共點， 所以，即. ① 又由，可得；同理可得. 由原點到直線的距離為和， 可得. ② 將式①代入式②得，. 當(dāng)時，； 當(dāng)時，. 因，則，， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號. 所以當(dāng)時，的最小值為. 綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個頂點處相切時，△OPQ的面積取得最小

22、值8. 7. (2015山東文21)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離 心率為，且點在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓 于兩點，射線交橢圓于點. （i）求的值；（ii）求面積的最大值. 7. 解析 （1）由題意知，又，解得，. 所以橢圓的方程為. （2）由（1）可得橢圓的方程為. （?。┰O(shè)，，由題意知. 因為，又 ，即. 所以，即. （ii）過點作交的延長線于點，過點作交于點.連接，，如圖所示. 設(shè)，， 將代入橢圓的方程， 可得， 由，可得. ① 則有,. 所以， 因為直線與軸交點的坐標(biāo)為，所以的面積：

23、. 設(shè)，將直線代入橢圓的方程， 可得，由，可得. ② 由①②可知，， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值. 由（i）并結(jié)合圖形可知，，所以面積的最大值為. 2016年 1.（2016江蘇21 C）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)直線與橢圓相交于兩點，求線段的長. 1.解法一（求點）：直線方程化為普通方程為，橢圓方程化為普通方程為， 聯(lián)立，解得或. 因此. 解法二（弦長）：直線方程化為普通方程為， 橢圓方程化為普通方程為，不妨設(shè)，， 聯(lián)立得，消得，恒成立， 故，所以. 解法三（幾何意義）：橢圓方程化為普通方程為，

24、直線恒過點，該點在橢圓上，將直線的參數(shù)方程代入橢圓的普 通方程，得，整理得，故，. 因此. 2.（2016上海文21）雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點. （1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； （2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率. 2.解析 （1）由已知，，不妨取，則， 由題意，又，，所以， 即，解得. 因此漸近線方程為. （2）若，則雙曲線為. 設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程， 消得， 所以，且， 由，得， 故，解得. 故的斜率為. 2017年 1.（2017北京卷文19）已知橢圓的兩個頂點分別為，，焦點在軸上，離心

25、率為． （1）求橢圓的方程； （2）為軸上一點，過點作軸的垂線交橢圓于不同的兩點，，過點作的垂線交于點.求證：與的面積之比為． 1.解析 （1）設(shè)橢圓，根據(jù)題意有，解得，則， 所以橢圓的方程為. （2）設(shè)，如圖所示，有，，，，另設(shè)由題設(shè)知，直線直線，即，，所以直線的方程為，直線的方程為. 解法一：. 所以，因此，與的面積之比為 解法二:設(shè)，聯(lián)立方程，解得，.所以與的面積之比為 2.（2017山東卷文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為. （1）求橢圓的方程； （2）動直線交橢圓于，兩點，交軸于點.點是點關(guān)于的對稱

26、點，圓的半徑為. 設(shè)為的中點，，與圓分別相切于點，，求的最小值. 2.解析 （1） 由橢圓的離心率為 ，得， 又當(dāng)時，，得，所以，. 因此橢圓方程為. (2) 設(shè)，，聯(lián)立方程 ， 得，由，得 . 且，因此，所以， 又，所以， 因為，所以. 令，故.所以. 令 ，所以. 當(dāng) 時，，從而在上單調(diào)遞增. 因此，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，此時，所以 ，. 設(shè)，則 ，所以的最小值為. 從而的最小值為，此時直線的斜率為. 綜上所述，當(dāng)，時，取得最小值為. 3.（2017天津卷文20）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標(biāo)為，的面積為. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)點在

27、線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為. （i）求直線的斜率； （ii）求橢圓的方程. 3. 解析 （1）由題意，有，則，，解得（舍去）或，即橢圓的離心率為. （2）（i）由題意，，設(shè)直線的方程為，則直線的斜率為. 因為，，所以直線的方程為. 由（1）知，，，則直線的方程為，即. 聯(lián)立直線與直線的方程，解得，則. 又因為，，所以，所以. 所以（舍去）或，所以直線的斜率為. （ii）由（1）知，，則，故橢圓方程可以表示為. 由（i）得直線的方程為，即. 聯(lián)立，消去并整理得，解得（舍去）或，則， 故， 于是有. 因

28、為直線與間的距離為， 所以，，所以， 所以. 同理得，則，即，解得（舍去）或， 故橢圓的方程為. 4.（2017浙江卷21）如圖所示，已知拋物線.點，，拋物線上的點，過點作直線的垂線，垂足為. （1）求直線斜率的取值范圍； （2）求的最大值. 4..解析 （1）設(shè)直線的斜率為，已知，，則. 因為，所以，所以直線斜率的取值范圍是. （2）因為直線，且，所以直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程，解得點的橫坐標(biāo)是. 因為， ，， 所以， 令， 因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，取得最大值. 題型128 中點弦問題 2015年 1.（2015全國

29、II文20）已知橢圓：的離心率為， 點 在上. (1)求的方程. (2)直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，，線段的中點為.直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值. 1. 分析 (1)由題意可得，則，可得 ，. 由此可得的方程； (2)設(shè)直線的方程為 ，代入(1)所得的方程，聯(lián)立得： ，所以，， 于是有.所以，即為定值. 解析 (1)由題意有，，解得，. 所以的方程為. (2)設(shè)直線：，， ，. 將 代入得. 故， . 于是直線的斜率，即. 所以直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值. 評注 解析幾何是高考必考內(nèi)容之一，在命題時多從考查各種圓錐曲線方程中的基本

30、量關(guān)系及運算，在直線與圓錐曲線關(guān)系中.一般用方程的思想和函數(shù)的觀點來解決問題，并會結(jié)合中點坐標(biāo)，方程根與函數(shù)關(guān)系來求解. 2016年 1.（2016四川文20）已知橢圓：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與橢圓交于，，證明： 1.解析 （1）由已知得， 又橢圓過點，故，解得 所以橢圓的方程是 （2）設(shè)直線的方程為，，. 由方程組，得 ① 方程①的判別式為，由，即，解得 由①得，，. 所以點坐標(biāo)為，直線的方程為， 由方程

31、組，得，. 所以. 又 .所以. 2.（2016江蘇22）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線. （1）若直線過拋物線的焦點，求拋物線的方程； （2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點和. ①求證：線段上的中點坐標(biāo)為；②求的取值范圍. 2. 解析 （1）因為，所以與軸的交點坐標(biāo)為， 即拋物線的焦點為，所以，故. （2）解法一：①設(shè)點，， 則由，得，故， 又因為關(guān)于直線對稱，所以，即， 所以，又因為中點一定在直線上， 所以，故線段上的中點坐標(biāo)為； ②因為中點坐標(biāo)為， 所以，即， 所以，即關(guān)于的二次方程有兩個不等根， 因此，解得. 解法二

32、：設(shè)點，，線段的中點， 因為點和關(guān)于直線對稱，所以直線垂直平分線段，于是直線的斜率為， 則可設(shè)其方程為. ①由消去得，（*） 因為 和是拋物線上的相異兩點，所以， 從而，化簡得. 方程（*）的兩根為，從而. 因為在直線上，所以. 因此，線段的中點坐標(biāo)為. ②因為在直線上，所以，即. 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為. 題型129 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 2016年 24.（2016天津文19）設(shè)橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中 為原點，為橢圓的離心率. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于

33、的直線與交于點，與軸交于點.若，且，求直線的斜率. 24.解析 （1）由，即，可得. 又，所以，因此，所以橢圓的方程為 （2）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為， 設(shè)，由方程組 ，消去， 整理得，解得或， 由題意得，從而. 由（1）知，設(shè)，有，， 由，得，所以， 解得.由，得為的垂直平分線與的交點， 所以.由，得，即， 得，解得或 題型130 定點問題 2017年 1.（2017全國2卷文20）20.設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓上，過點M作x軸的垂線，垂足為N， 點P滿足. （1）求點的軌跡方程； （2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點且垂直于的直線過的左焦點.

34、 1.解析 （1）如圖所示，設(shè)，，. 由知，，即. 又點在橢圓上，則有，即. （2）設(shè)， 則有 ，即. 橢圓的左焦點.又，所以.所以過點且垂直于的直線過的左焦點. 題型131 定值問題 2013年 18. （2013江西文20）橢圓的離心率， （1）求橢圓的方程； （2）如圖，是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點直線交于點，設(shè)的斜率為，的斜率為，證明為定值. 2014年 1.（2014江西文20）如圖所示，已知拋物線，過點任作一直線與相交于兩點，過點作軸的平行線與直線相交于點（為坐標(biāo)原點）. （1）求證：動點在定直線上；

35、（2）作的任意一條切線（不含軸），與直線相交于點，與（1）中的定直線相交于點，求證：為定值，并求此定值. 2015年 1.（2015陜西文20）如圖所示，橢圓：經(jīng)過點，且離 心率為. （1）求橢圓的方程； （2）經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，（均異于點），證明：直線與的斜率之和為. 1. 解析 (1)由題意知，，由，解得， 所以橢圓的方程為； (2)設(shè)，，， 由題設(shè)知，直線的方程為，代入， 化簡得， 則，， 由已知，從而直線與的斜率之和為： ， 化簡得. 2.（2015四川文20）如圖所示，

36、橢圓：的離心率是， 點在短軸上，且. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點.是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由. 2. 分析 本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想. 解析 （1）由已知可得點的坐標(biāo)分別為，. 又點的坐標(biāo)為，且， 所以，解得，. 所以橢圓方程為. （2）當(dāng)直線的斜率存在是，設(shè)直線的方程為， 的坐標(biāo)分別為，. 聯(lián)立，得. 其判別式， 所以，. 則 . 所以當(dāng)

37、時，， 此時，為定值. 當(dāng)直線斜率不存在時，直線即為直線. 此時， 故存在常數(shù)，使得為定值. 2016年 1.（2016山東文21）已知橢圓的長軸長為，焦距為. （1）求橢圓的方程； （2）過動點的直線交軸于點，交于點(在第一象限)，且是線段的中點.過點作軸的垂線交于另一點，延長線交于點. （i）設(shè)直線，的斜率分別為，，證明為定值. （ii）求直線的斜率的最小值. 1.解析 （1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知， 所以，所以橢圓的方程為. （2）（i）設(shè)，由，可得 所以直線的斜率 ，直線的斜率. 此時，所以為定值. (ii)設(shè)， 直線的方程為，直線的方程

38、為.聯(lián)立 ， 整理得.由，可得 ， 所以.同理，. 所以， ， 所以 由，可知，所以 ，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得. 此時，即，符合題意.所以直線 的斜率的最小值為 . 2.（2016北京文19）已知橢圓過點，兩點. （1）求橢圓的方程及離心率； （2）設(shè)為第三象限內(nèi)一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值. 2.解析 （1）由題意得，，所以橢圓的方程為. 又，所以離心率. （2）依題意畫出草圖如圖所示. 設(shè)，則.又， 所以直線的方程為. 令，得. 所以. 直線的方程為. 令，得.所以. 所以四邊

39、形的面積 所以四邊形的面積為定值. 2017年 1.（2017全國3文20）在直角坐標(biāo)系中，曲線與軸交于，兩點，點的坐標(biāo)為.當(dāng)變化時，解答下列問題： （1）能否出現(xiàn)的情況？說明理由； （2）證明過，，三點的圓在軸上截得的弦長為定值. 1.解析 （1）令，，C(0，1)，為的根，假設(shè)成立，則，，， 而，所以不能出現(xiàn)的情況. （2）解法一 設(shè)圓與軸的交點為，. 設(shè)圓的方程為 ① 令，得的根為，所以，.又點在圓上， 所以得，所以，故或，所以. 所以圓在軸上截得的弦長為3，是定值. 解法二 設(shè)圓與軸的另一交點為，即與交于原點，由相交弦定理，得. 由（1）知，，所以，所以 ，為定值. 評注 本題整體難度不算很高，但與?？嫉膱A錐曲線題型存在一定區(qū)別，學(xué)生做題時會產(chǎn)生迷茫的感覺.第（1）問垂直的證明比較常規(guī)，但第（2）問定值類問題的處理比較不常見，一般定值都是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來處理，本題直接用采用設(shè)方程的方法來解圓的方程，對學(xué)生來講，思路是一大難題.解法二直接利用相交弦定理，更加簡捷，對思維的靈活度是個挑戰(zhàn). 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org