浙江高考數(shù)學理二輪專題訓練：第1部分 專題七 第1講 坐標系與參數(shù)方程選修44

考 點 考 情 極坐標方程及其應用坐標系與參數(shù)方程是新課標選考內(nèi)容之一，高考對本講內(nèi)容的考查主要有：(1)直線與圓的極坐標方程以及極坐標與直角坐標系的互化，如2013年廣東T14,2013年新課標全國卷T23.(2)直線、圓與圓錐曲線的參數(shù)方程以及參數(shù)方程與普通方程的互化.參數(shù)方程及其應用極坐標與參數(shù)方程的綜合應用1(2013新課標全國卷)已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(0,02)解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標方程為28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程為x2y22y0.由解得或所以C1與C2交點的極坐標分別為，.2(2013福建高考)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為cosa，且點A在直線l上(1)求a的值及直線l的直角坐標方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系解：(1)由點A在直線cosa上，可得a.所以直線l的方程可化為cos sin 2，從而直線l的直角坐標方程為xy20.(2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x1)2y21，所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r1，因為圓心C到直線l的距離d<1，所以直線l與圓C相交1直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)，則2圓的極坐標方程若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的方程為：220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標方程：(1)當圓心位于極點，半徑為r：r；(2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos ；(3)當圓心位于M，半徑為a：2asin .3直線的極坐標方程若直線過點M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)幾個特殊位置的直線的極坐標方程：(1)直線過極點：0和0；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過M且平行于極軸：sin b.4幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)圓以O(shè)(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中是參數(shù)當圓心在(0,0)時，方程為其中是參數(shù)(2)橢圓橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)(3)直線經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)熱點一極坐標方程及其應用例1(1)(2013北京高考改編)在極坐標系中，求點到直線sin 2的距離(2)已知點P(1cos ，sin )，參數(shù)0，點Q在曲線C：上求點P的軌跡方程和曲線C的直角坐標方程；求點P與點Q之間距離的最小值自主解答(1)極坐標系中點對應的直角坐標為(，1)，直線sin 2對應的直線方程為y2，所以點到直線的距離為1.(2)由消去，得點P的軌跡方程為(x1)2y21(y0)，又由，得，所以sin cos 9.所以曲線C的直角坐標方程為xy9.因為半圓(x1)2y21(y0)的圓心(1,0)到直線xy9的距離為4，所以|PQ|min41.規(guī)律總結(jié)研究極坐標方程往往要與直角坐標方程進行相互轉(zhuǎn)化當條件涉及到角度和到定點距離時，引入極坐標系會對問題的解決帶來很大方便1在極坐標系Ox中，已知點A，B0<<，求過AB的中點，且與OA垂直的直線的極坐標方程解：設(shè)AB的中點為C，則|OC|cos ，過C作CDOA于D.則|OD|OC|cos cos2 .設(shè)M(，)是直線CD上的任意一點，則MOD，在MOD中，|OD|OM|cos，即cos2 cos，所以直線CD的極坐標方程為cos2 cos.熱點二參數(shù)方程及其應用例2(2013鄭州模擬)已知直線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(為參數(shù))(1)當時，求C1與C2的交點坐標；(2)過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線？自主解答(1)當時，C1的普通方程為y(x1)，C2的普通方程為x2y21，聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點坐標為(1,0)，.(2)C1的普通方程為xsin ycos sin 0，A點坐標為(sin2，sin cos )，故當變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，P點軌跡的普通方程為2y2，故P點的軌跡是圓心為，半徑為的圓規(guī)律總結(jié)在解答參數(shù)方程的有關(guān)問題時常用的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程，再利用相關(guān)知識解決，注意消參后x，y的取值范圍(2)觀察參數(shù)方程有什么幾何意義，利用參數(shù)的幾何意義解題2已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓y21上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值解：由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，故直線l的普通方程為x2y0.因為P為橢圓y21上的任意一點，故可設(shè)P(2cos ，sin )，其中R.因此點P到直線l的距離是d，所以當k，kZ時，d取得最大值.熱點三極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用例3(2013遼寧高考)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系圓C1，直線C2的極坐標方程分別為4sin ，cos2.(1)求C1與C2交點的極坐標；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值自主解答(1)圓C1的直角坐標方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標方程為xy40.解得所以C1與C2交點的極坐標為，.注：極坐標系下點的表示不唯一(2)由(1)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0,2)，(1,3)故直線PQ的直角坐標方程為xy20，由參數(shù)方程可得yx1.所以解得a1，b2.規(guī)律總結(jié)對于同時含有極坐標方程和參數(shù)方程的題目，可先同時將它們轉(zhuǎn)化為直角坐標方程求解3在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為sin4.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；(2)設(shè)P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離的最小值，并求此時點P的坐標解：(1)對于曲線C1有2y2cos2sin21.即C1的普通方程為y21.對于曲線C2有sin(cos sin )4cos sin 8xy80，所以C2的直角坐標方程為xy80.(2)顯然橢圓C1與直線C2無公共點，橢圓上點P(cos ，sin )到直線xy80的距離為d，當sin1時，d取最小值為3，此時點P的坐標為.