《精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案:第二章 5 第二課時 離散型隨機變量的方差 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案:第二章 5 第二課時 離散型隨機變量的方差 Word版含解析(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
第二課時 離散型隨機變量的方差
求隨機變量的方差
[例1] 已知隨機變量X的分布列為
X
0
1
x
P
p
若EX=,求DX的值.
[思路點撥] 解答本題可先根據(jù)i=1求出p的值,然后借助EX=求出x的取值,最后代入相應(yīng)的公式求方差.
[精解詳析] 由++p=1,得p=.
又EX=0+1+x=,
∴x=2.
∴DX=2+2+2
=.
[一點通] 求離散型隨機變量的方差的方法:
(1)根據(jù)題目條件先求分布列.
(2)由分布列求出均值,再由方差公式求方差,若分布列中的概率值是待定常數(shù)時,應(yīng)先由分布列的性
2、質(zhì)求出待定常數(shù)再求方差.
1.(浙江高考)隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=________.
解析:由題意設(shè)P(ξ=1)=p,ξ的分布列如下
ξ
0
1
2
P
p
-p
由E(ξ)=1,可得p=,
所以D(ξ)=12+02+12=.
答案:
2.已知隨機變量X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
試求DX和D(2X-1).
解:EX=00.2+10.2+20.3+30.2+40.1
=1.8.
所以DX=(0-1.8)20.2+(1-1.8
3、)20.2+(2-1.8)20.3+(3-1.8)20.2+(4-1.8)20.1=1.56.2X-1的分布列為
2X-1
-1
1
3
5
7
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
所以E(2X-1)=2EX-1=2.6.
所以D(2X-1)=(-1-2.6)20.2+(1-2.6)20.2+(3-2.6)20.3+(5-2.6)20.2+(7-2.6)20.1=6.24.
求實際問題的均值和方差
[例2] 在一個不透明的紙袋里裝有5個大小相同的小球,其中有1個紅球和4個黃球,規(guī)定每次從袋中任意摸出一球,若摸出的是黃球則不再放回,直到摸出紅球為止
4、,求摸球次數(shù)X的均值和方差.
[思路點撥]
→ → →
[精解詳析] X可能取值為1,2,3,4,5.
P(X=1)=,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==,
P(X=5)=1=.
∴X的分布列為
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由定義知,EX=0.2(1+2+3+4+5)=3.
DX=0.2(22+12+02+12+22)=2.
[一點通] (1)求離散型隨機變量X的均值和方差的基本步驟:
①理解X的意義,寫出X可能取的全部值;
②求X取每個值時的概率;
③寫X的分布
5、列;
④求EX,DX.
(2)若隨機變量X服從二項分布,即X~B(n,p),
則EX=np,DX=np(1-p).
3.一批產(chǎn)品中次品率為,現(xiàn)在連續(xù)抽查4次,用X表示次品數(shù),則DX等于( )
A. B.
C. D.
解析:∵X~B,
∴DX=np(1-p)=4=.
答案:C
4.袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號.
求X的分布列,均值和方差.
解:由題意,得X的所有可能取值為0,1,2,3,4,所以P(X=0)==,P(X=1)=,P(X=2)==,P(
6、X=3)=,P(X=4)==.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P
所以EX=0+1+2+3+4=1.5.
DX=(0-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)2+(4-1.5)2=2.75.
隨機變量的均值和方差的實際應(yīng)用
[例3] (10分)甲,乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相同,所得次品數(shù)分別為X,Y,X和Y的分布列如下表.試對這兩名工人的技術(shù)水平進行比較.
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
[思路點撥] 解本題的關(guān)鍵是,一要比
7、較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值,即數(shù)學(xué)期望,二要看出次品數(shù)的波動情況,即方差值的大?。鶕?jù)數(shù)學(xué)期望與方差值判斷兩名工人的技術(shù)水平情況.
[精解詳析] 工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為
EX=0+1+2=0.7,
DX=(0-0.7)2+(1-0.7)2+(2-0.7)2=0.81.(4分)
工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為
EY=0+1+2=0.7,
DY=(0-0.7)2+(1-0.7)2+(2-0.7)2=0.61.(4分)
由EX=EY知,兩人出次品的平均數(shù)相同,技術(shù)水平相當(dāng),但DX>DY,可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.
8、 (10分)
[一點通] 均值僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小,如果兩個隨機變量的均值相等,還要看隨機變量的方差,方差大說明隨機變量取值較分散,方差小,說明取值比較集中.因此,在利用均值和方差的意義去分析解決問題時,兩者都要分析.
5.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量X和Y,且X,Y的分布列為
Y
1
2
3
P
0.3
b
0.3
X
1
2
3
P
a
0.1
0.6
求:(1)a,b的值;
(2)計算X,Y的數(shù)學(xué)期望與方差,并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況.
解:(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知
a+
9、0.1+0.6=1,
∴a=0.3.
同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.
(2)EX=10.3+20.1+30.6=2.3,
EY=10.3+20.4+30.3=2,
DX=(1-2.3)20.3+(2-2.3)20.1+(3-2.3)20.6
=0.81,
DY=(1-2)20.3+(2-2)20.4+(3-2)20.3
=0.6.
由于EX>EY,說明在一次射擊中,甲的平均得分比乙高,但DX>DY,說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙,因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面,各有優(yōu)勢和劣勢.
6.最近,李師傅一家三口就如何將手中的10萬塊錢投資理財,提出了三種方案:
第一種方案:
10、李師傅的兒子認(rèn)為:根據(jù)股市收益大的特點,應(yīng)該將10萬塊錢全部用來買股票.據(jù)分析預(yù)測:投資股市一年可能獲利40%,也可能虧損20%(只有這兩種可能),且獲利與虧損的概率均為.
第二種方案:李師傅認(rèn)為:現(xiàn)在股市風(fēng)險大,基金風(fēng)險較小,應(yīng)將10萬塊錢全部用來買基金.據(jù)分析預(yù)測:投資基金一年后可能獲利20%,也可能損失10%,還可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為,,.
第三種方案:李師傅妻子認(rèn)為:投入股市、基金均有風(fēng)險,應(yīng)該將10萬塊錢全部存入銀行一年,現(xiàn)在存款年利率為4%,存款利息稅率為5%.
針對以上三種投資方案,請你為李師傅家選擇一種合理的理財方法,并說明理由.
解:若按方案一執(zhí)行
11、,設(shè)收益為X萬元,則其分布列為
X
4
-2
P
EX=4+(-2)=1(萬元).
若按方案二執(zhí)行,設(shè)收益為Y萬元,則其分布列為
Y
2
0
-1
P
EY=2+0+(-1)=1(萬元).
若按方案三執(zhí)行,收益z=104%(1-5%)=0.38(萬元),
∴EX=EY >z.
又DX=(4-1)2+(-2-1)2=9.
DY=(2-1)2+(0-1)2+(-1-1)2
=.
由上知DX>DY,說明雖然方案一、二收益相等,但方案二更穩(wěn)妥.
∴建議李師傅家選擇方案二投資較為合理.
1.隨機變量的方差反映了隨機變量的取值偏離于均值的
12、平均程度.方差越小,則隨機變量的取值越集中在其均值周圍;反之,方差越大,則隨機變量的取值就越分散.
2.隨機變量的方差與樣本方差的區(qū)別:樣本方差是隨著樣本的不同而變化的,因此,它是一個變量,而隨機變量的方差是一個常量.
1.從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是,設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù),則隨機變量X的方差為( )
A. B.
C. D.
解析:由X~B,∴DX=3=.
答案:B
2.已知隨機變量X的分布列為:P(X=k)=(k=1,2,3),則D(3X+5)=( )
A.6
13、B.9
C.3 D.4
解析:EX=(1+2+3)=2,
∵Y=3X+5可能取值為8,11,14,其概率均為,
∴EY=8+11+14=11.
∴DY=D(3X+5)=(8-11)2+(11-11)2+(11-14)2=6.
答案:A
3.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則得分X的均值與方差分別為( )
A.EX=0,DX=1
B.EX=,DX=
C.EX=0,DX=
D.EX=,DX=1
解析:EX=10.5+(-1)0.5=0,
DX=(1-0)20.5+(-1-0)20.5=1.
答案:A
4.若隨機變量X的分布列為P(X=0)=a
14、,P(X=1)=b.若EX=,則DX等于( )
A. B.
C. D.
解析:由題意,得
∴a=,b=.
DX=2+2=.
答案:D
5.從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中任取不同的兩個,則這兩個數(shù)乘積的數(shù)學(xué)期望是________.
解析:從1,2,3,4,5中任取不同的兩個數(shù),其乘積X的值為2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,取每個值的概率都是,∴EX=(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.
答案:8.5
6.變量X的分布列如下:
X=k
-1
0
1
P(X=k)
a
b
c
其中a,b,c成等差數(shù)列,若EX=
15、,則DX的值為________.
解析:由a,b,c成等差數(shù)列可知2b=a+c.
又∵a+b+c=3b=1,∴b=,a+c=.
又∵EX=-a+c=,∴a=,c=.
∴DX=2+2+2
=.
答案:
7.(全國新課標(biāo)改編)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購進16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式;
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
16、
20
頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
10
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
若花店一天購進16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差.
解:(1)當(dāng)日需求量n≥16時,利潤y=80.
當(dāng)日需求量n<16時,利潤y=10n-80.
所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為
y=(n∈N).
(2)X可能的取值為60,70,80,并且
P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
X的分布列為
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的數(shù)學(xué)期
17、望為
EX=600.1+700.2+800.7=76.
X的方差為
DX=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7
=44.
8.(浙江高考)設(shè)袋子中裝有a個紅球,b個黃球,c個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分.
(1)當(dāng)a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)2個球,記隨機變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求ξ的分布列;
(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球,記隨機變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù).若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.
解:(1)由題意得ξ=2,3,4,5,6.
故P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==,
P(ξ=6)==.
所以ξ的分布列為
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由題意知η的分布列為
η
1
2
3
P
所以Eη=++=,
Dη=2+2+2=.
化簡得解得a=3c,b=2c,
故a∶b∶c=3∶2∶1.