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復(fù)數(shù)中數(shù)學(xué)思想“碰頭會(huì)”
數(shù)學(xué)解題講究的是最基本思想方法，那么復(fù)數(shù)問題中主要有哪些基本的數(shù)學(xué)思想？
1．函數(shù)思想
函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，有關(guān)復(fù)數(shù)的最值問題，常通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．
例1 已知復(fù)數(shù)，則的最大值是______
解析：設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，將問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)函數(shù)的最值問題．
設(shè)． ，，
．
，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，故選（Ｂ）．
評(píng)注：依據(jù)復(fù)數(shù)模的定義，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題。
2．整體思想
對(duì)于有些復(fù)數(shù)問題，若從整體上去觀察、分析題設(shè)結(jié)構(gòu)，充分利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與模的意義等，對(duì)問題
2、進(jìn)行整體處理，能收到簡(jiǎn)捷、明快的效果．
例2 設(shè)復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)滿足，求復(fù)數(shù)的值．
解析：設(shè)，將化為．
由，整體代入，得，
．
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得 故．
評(píng)注：在求解過程中，充分利用共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)，整體代入可獲得簡(jiǎn)捷、明快、別具一格的解法．
3．分類討論思想
復(fù)數(shù)問題中若含有參數(shù)，常常需要根據(jù)參數(shù)的范圍分類討論．
例3 設(shè)，在內(nèi)解方程．
解析：∵，，∴， ∴為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)．
（1）若為實(shí)數(shù)，原方程轉(zhuǎn)化為， 解得；
（2）若為純虛數(shù)， 設(shè)，
于是方程轉(zhuǎn)化為．
①當(dāng)時(shí)，解得；
②當(dāng)時(shí)，方程無解．
綜上，時(shí)，，或；時(shí)，．
評(píng)注：在復(fù)數(shù)集內(nèi)解含有參數(shù)的方程，根可能是實(shí)數(shù)也可能是虛數(shù)，因此需對(duì)此分類討論．
4．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
在處理復(fù)數(shù)問題時(shí)，靈活地運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義，以數(shù)思形、以形助數(shù)，可使許多問題得到直觀、快捷地解決．
例4 已知虛數(shù)的模為，求的最大值．
解析：由于與為變量，且，可由已知條件得到關(guān)于與的等式，也就是動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合圖1考慮的取值情況，求出最大值．
由是虛數(shù)，得，
又由，得．
這是以為圓心，為半徑的圓，是圓上動(dòng)點(diǎn)（除去）與連線的斜率，過點(diǎn)作圓的切線、，則斜率的最大值為．
∴的最大值為．
評(píng)注：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題通常要利用復(fù)數(shù)的幾何意義。
2020高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第5章 拓展資料：復(fù)數(shù)中數(shù)學(xué)思想
