第三章大變形運(yùn)動學(xué)與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)(1)

第三章大變形運(yùn)動學(xué)與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)小變形：包括彈性或塑性小變形，應(yīng)變0.1%Cauchy應(yīng)變與位移是線性關(guān)系幾何線性問題 勺=*(怙+ S)大變形(有限變形):應(yīng)變大，有時(shí)達(dá)到100200%,甚至更大 Cauchy應(yīng)變不再適用幾何非線性問題，需要建立新的變形描述理論通常由純變形(stretch),剛體轉(zhuǎn)動(rigid body rotation)及剛體位移 (translation)組成3.1運(yùn)動與變形的描述 3.1.1構(gòu)形及其描述(1)構(gòu)形的概念構(gòu)形(configuration)：物體中所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)位置集合(所占據(jù)的空間區(qū)域) 稱為物體在該瞬時(shí)的構(gòu)形。物體運(yùn)動與變形=構(gòu)形隨時(shí)間T而變化物休運(yùn)動和變形的過程也就是構(gòu)形隨時(shí)間連續(xù)變化的過程初始構(gòu)形：物體 R0 時(shí)刻的構(gòu)形，initial (original, iindeformed) configuration?記為 心現(xiàn)畤形(當(dāng)前構(gòu)形)=所研究的瞬時(shí)i時(shí)刻的構(gòu)形，cuirent. (deformed) configuration?記為c參考構(gòu)形=為度量物體運(yùn)動和變形，需要選取一個(gè)特定的構(gòu)形作為基準(zhǔn)，所選擇的構(gòu)形稱為參考構(gòu)形，記為0要研究f時(shí)刻的變形問題，f以前的任一時(shí)刻的構(gòu)形都可作為參考構(gòu)形 一般經(jīng)常選擇初始構(gòu)形(戶0時(shí)刻未變形的構(gòu)形)為參考構(gòu)形(2)構(gòu)形的描述選擇兩個(gè)固定坐標(biāo)系:伉3窗3(用大寫字母，在參考構(gòu)形C中使用，用于識別物體中的各物質(zhì)點(diǎn) 俶皿備(用小寫字母)：在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形亡中使用，用于描述f時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置/X/移轉(zhuǎn)張量(shifter) ； 3訂二&Ej二Ej位移u：Ui =UKEK 纟=SiKUKU1 =E = ukek JE = 5kIuk通常取兩個(gè)完全重合的直角坐標(biāo)系：=兔則下標(biāo)可不區(qū)分大小寫參考構(gòu)形中的質(zhì)點(diǎn)p,或質(zhì)點(diǎn)x (X/) 微小線元PQ記作向量宓經(jīng)過運(yùn)動與變形后，在f時(shí)刻：構(gòu)形C變?yōu)闃?gòu)形C質(zhì)點(diǎn)X/ (質(zhì)點(diǎn)P)運(yùn)動至Up,位移為“ p的空間坐標(biāo)為x (兀)線TtPQ變?yōu)閜q，dX變?yōu)閐x質(zhì)點(diǎn)X (X/)的運(yùn)動:x = x(X?r)，兀=坷(X；昇) 質(zhì)點(diǎn)X；在f時(shí)刻所處的空間位置是匕 x-X + u , xi - 6.dXj + 氣X = X(曲),X, = X/(昇)/時(shí)刻占據(jù)空間位置禺的是質(zhì)點(diǎn)X,X - x-u > X = 5jXj-UX (Xj)是用于識別物質(zhì)點(diǎn)的，稱為物質(zhì)坐標(biāo)或拉格朗日(Lagrange)坐標(biāo) 以物質(zhì)坐標(biāo)為自變量的描述方法稱為物質(zhì)描述(material description或Lagrange description) x (兀)是用于表示空間位置的，稱為空間坐標(biāo)或歐拉(Euler)坐標(biāo)以空間坐標(biāo)為自變量的描述方法稱為空間描述(spatial description或Euler description)312質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動及物質(zhì)導(dǎo)數(shù)(1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的Lagrange描述質(zhì)點(diǎn)疋QXj)的在時(shí)刻的位移:瓊-X 速度：=0 =加速度:i) "(X, =壬it(X,i)(2)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的Eulei描述空間描述通常直接給出/時(shí)刻空間點(diǎn)x (七)的瞬時(shí)速度:v = v(x,t) ， q =Ui(Xj,t)加速度:.di)V =+V3l Sc&D=+ gradf物質(zhì)導(dǎo)數(shù)(Material derivative )、全導(dǎo)數(shù)：物質(zhì)坐標(biāo)X (X/)固定不變時(shí)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)di di+t)grad(p物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為兩項(xiàng)之和：第一項(xiàng)表示在固定空間點(diǎn)上的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，稱為局部(Local)導(dǎo) 數(shù)；第二項(xiàng)表示因質(zhì)點(diǎn)在空間的運(yùn)動引起的導(dǎo)數(shù)，稱為遷移(Convective)導(dǎo)數(shù)3丄3現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的線元、面元及體元(1)現(xiàn)時(shí)構(gòu)形線元與參考構(gòu)形線元之間的變換線元描述p點(diǎn)的空間坐標(biāo)為：x=x(X,r)g點(diǎn)的空間坐標(biāo)(作Taylor級數(shù)展開，略去高階小量) dxx(X + dXj)二 x(X,0 + dXdXpq線元為:dx = x(X + dX,t) - x(X J)二一dXexdxdXGrad x則現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中pg線元可表示為:dx： = XjjdXj了 、dxdx/dX dx/dY dx/dZ了 、dXdy> dy/dX dy/dY dy! dZdY >dzdz/dX dz/dY dz/dZdZ變形梯度張量(deformation gradient tensor ):另外還有：其中dX旦dxJ= grad X dxOXdx 二 Fdx = fdx， dXj 二 XI jdxj = dxj = fijdxj f=xij=-Ij “ dxj并有：Ff = I F=f丿二 detF=|F|HO j = det/=|/|0 J 二 j-1線元還可表示為:Oudx =點(diǎn)(X + u)dX = (/ + )dXdxt (% + J )dXjOXdAOA j位移梯度張量:竺二 Grad 竺-ZdXdx"型飛ad空dxdxhu = Uu = =Sji- = ji-Xij J “ dx： Jl dx:Jl 7,7從而有dx 二(Z + H)dX , dx,二 J + HtJ )dXj dX = (Z-h)dx , dXj = (/ 一 hIj)dxj（2）參考構(gòu)形體元與現(xiàn)時(shí)構(gòu)形體元之間的變換dx=dxQxdxdX1dXQxdxu = dXdX在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中六面休體元的休積為dxi不可壓縮:(bxc) = q“bjCkdxdx? dxgdxdxdxdxdxldxydvdv -做 dXj dXj dXKdvdVdXj dXk dXjdXdX =FdV的 detF=|F|= JdetF=|F|=l（3）參考構(gòu)形面元與現(xiàn)時(shí)構(gòu)形面元之間的變換面元dA法向方向余弦為N面元da法向方向余弦為(dx xdx = n-da - eijkdXjdxk(dX x dX 兀=NLdA = eLMNdXMdXNsxLdxt. % QxkdX/XNt=>FdXMdXN = NLdA則有z5Ynida=F-NLdA=FXLiNLdAdxiNLclA=Fldxnda =| f | xi Ln(danda =| F FT Nd A =| F fr Nd A NdA =| FFrnda =| f F1 ndaX】COS&一 sin 00_ 、X> sin&COS&0>4.001X-現(xiàn)時(shí)構(gòu)形c 3.2變形分析小變形應(yīng)變的局限性：物體在xy平面上繞O點(diǎn)剛體轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)角0質(zhì)點(diǎn)X,運(yùn)動后在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的坐標(biāo)：質(zhì)點(diǎn)X/的位移：=X _ X = X COS0 X X2 sin <9u2 - x1-X1-sin 0 + X2 cos 6-X1小變形Cauchy應(yīng)變:% -，（+%）=尸22 = cos& 1 若 0 = 90 ,貝I剛體轉(zhuǎn)動任意一點(diǎn)的應(yīng)變都是0。只有當(dāng)&兀0時(shí)應(yīng)變公式才有足夠的精度Cauchy應(yīng)變不適用于大變形 3.2.1變形張量（1）變形張量的概念現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中線元長度的平方：ds2 = dxTdx =dX = dX1 FrFdX，Gj FkIFkJ = xkIxkJc = ftf右變形張量（右Cauchy-Green張量，right Cauchy-Green tensor ）:5參考構(gòu)形中線元長度的平方：dS2 = dXTdX = dx)T dx = dxTF-TFdxdx dx左變形張量(左Cauchy-Green張量,left Cauchy-Green tensor):Bij Wj，K QXk dXK 由于線元的平方恒為正值，所以變形張量C、巧皆為對稱正定張量B = FFt =廣廠丁dxi %（2）變形梯度的極分解變形梯度可唯一地分解成一個(gè)正交張量（旋轉(zhuǎn)）與一個(gè)對稱張量（伸長）的乘積:F=RU = VR ,傷二丿二嶺人U = （F7 F）L 2 = Cl/2 右Cauchy-Green伸長張量（Cauchy-Green stretch tensor）,對稱正定V = （jFF7）172 = Bl/1左Cauchy-Green伸長張量，對稱正定）R = FU1 = y-lF正交張量，代表純轉(zhuǎn)動，稱為旋轉(zhuǎn)張量(3) 變形張量的主值C、皆為對稱正定張量，且B = (FrylFTFFT = (FTyLCFr 二者具有相同的實(shí)特征值：由于 U = Cm, V = 51/2,因此："的主值是Q主值的開方，/的主值是丘主值的開方，二者育相同的主值4二凡，易，兔 "與C有相同的主方向叩)，F(xiàn)與丘苞相同的主方向碼并有：咱二R時(shí))二者的主方向相互之間作了旋轉(zhuǎn)將胡罠戲嚴(yán)歸一化后，挫列成矩陣= 吩呼即即,呼斶砂),則有:Av = nJ o0兔 00u 二nJ 0& Nro o 人變形后的線元:R卩嚴(yán)方向dx = FdX = RUdX = RUdX) 主軸方向的線元dXdx的變形過程， 分解為先作純變形卩，再作純轉(zhuǎn)動K的 兩種變換dx=FdX=VRdX=V(RdX) 先作純轉(zhuǎn)動K，再作純變形7 322格林(Green)應(yīng)變張量與阿爾曼西(Almansi)應(yīng)變張量(1) Green應(yīng)變張量與Almansi應(yīng)變張量的定義線元長度平方的改變量為：ds2 一 dS? = dXTCdX - dXTdX = dXC-I)dX = dXT(2E)dXGreen應(yīng)變張量：E 二丄(C-7)二丄(FrF-I),0lj) = 7(也內(nèi)，丿兀)當(dāng)OX1X2X3與冰必力重合時(shí):du：+ -ax,.2 2勺冷站譽(yù)瓷)弓礦gm1 dudu. duk dukdxt d: dxj線元長度平方的改變量還可表示為:ds1 -dS1 - dxTdx - dxTBdx = dxT(I - B)dx - dxT(2e)dxAlmansi應(yīng)變張量：e = |(Z-B-1) = |(Z-F-7F-L)E和纟都是對稱張量對于剛體轉(zhuǎn)動情況，可以檢驗(yàn)其所有Gfeen應(yīng)變分量與Almansi應(yīng)變分量都等于零質(zhì)點(diǎn)上運(yùn)動后在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的坐標(biāo):兀】COS&一 sin 00_> 二sin <9COS&0<X"、吃001可計(jì)算出變形梯度:cos 6一 sin 0OF =sinffCOS00_ 001由于= 因此，C = B1=I,從而E = -(C-D = O, = |(/-1) = 02 2剛體運(yùn)動時(shí)的各變形量：剛體運(yùn)動時(shí)，線元的長度均不變，W-ds2-dS2dXT(FtF-I)dX = dXT(C-Z)dX = dXT(2E)dX 二 0ds1 -dS2=dxl-FTFdx 二二 dx (2e)dx = 0因此有：FtF = I detF = l ,C 二礦 =I E = C-/) = O , e = -(I-B-) = O9zzGreen應(yīng)變分量和與Alinansi應(yīng)變分量不受剛體運(yùn)動影響，可以度量大變形狀態(tài)另外：_U = V = 1, <7與P的主值都是1 (主方向的線元無伸長變形)F = UR= RV =從必必的變形過程，只包舍剛體移動及純轉(zhuǎn)動R(2)應(yīng)變張量之間的關(guān)系 Green應(yīng)變張量與Almansi應(yīng)變張量的關(guān)系EIJ = FkIFUekl = XkjXijSe = F-EF-1 = fTEf ,eij fKi fLjKLX KjX l/kl與小變形應(yīng)變的關(guān)系小變形時(shí)：11dXj0 0dxi dXi微分運(yùn)算不需要區(qū)分質(zhì)點(diǎn)在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的坐標(biāo)和在參考構(gòu)形中的坐標(biāo)，略去高階分量，Green應(yīng)變和與Alinansi應(yīng)變退化為小應(yīng)變張量(Cauchy應(yīng)變)：r_ 1 z dui 加八 _ 1 /dUj計(jì) Q E.j eu (1) = 一 (1)“2 8Xj dX/ 2 6x)dx/(3)應(yīng)變張量的主值變形張量的主值為肥，由 =丄(C-Z), =丄(丘為可以看出:2 2 Green應(yīng)變張量E的主值為丄(肚一 1),其主方向與頁c相同為熬嚴(yán)2 Alm ansi應(yīng)變張量的主值為(1-昭)，其主右向與F、丘相同為砒 3.2.3廣義應(yīng)變張量利用右伸長張量可定義廣義Lagrange應(yīng)變張量渥叫 羽叭=丄（uw-r）m當(dāng)m = 2時(shí)，就是Gr遜應(yīng)變張墨=- F）= -（C-P）2 2當(dāng)型TO時(shí)的極限稱為自然應(yīng)變（對數(shù)應(yīng)變、Hencky應(yīng)變?nèi)饲?h m 鉀=h m-（7M-/） = ln7M >0M> 0 并g利用左伸長張重憶可定義廣義Euler應(yīng)變張量/叫m當(dāng)胺=-2時(shí)，就是Almansi應(yīng)變張墨 才打=丄（廠2 _孝=丄（孑_礦1）2 2當(dāng)然TO時(shí)的極限就是對數(shù)應(yīng)變：豪)=litnd =lim-(FM - J) = InF =-llnB1M> 0m>0 22【例】圓桿單向拉伸均勻塑性大變形（忽略彈性變形）問題的變形與應(yīng)變質(zhì)點(diǎn)（x, y, z）變形后的坐標(biāo) 條件）為：（結(jié)合體積不變2變形梯度為:QI00張量C及U :c = ftf=0(/of000l小一lQ/I00 張量B及b = fft =0("G2000IJl旋轉(zhuǎn)張量: R = FU-1 = VXF = 1u = c1/2 =PM000 /。00 一0仏/)1:仏嚴(yán)00 _V 二 b1/2 =0/o000仏/)"000-2-1 0 0000-2-1 0 0Green應(yīng)變張量:G2f00-1 00衛(wèi)一1Alinansi應(yīng)變張量:V2對數(shù)應(yīng)變:於）二 In?二111 質(zhì)點(diǎn)（X，匕Z）的位移:小變形應(yīng)變:uY = x- Xy=yY1。uz = Z-Z = Z1一I。0A/o01-(【例】簡單剪切變形間題.求f7f-c7c-b7b-質(zhì)點(diǎn)（X, y, Z）變形后的坐標(biāo)為：X X +、 X)= X)?變形梯度:",dx150F =010ex001Cauchy-Green 張量 C 及 :Green應(yīng)變張量:F1dXdxC = F1 F = 561+&1E二丄（c_z）二丄（52 2051 + J200_011 0 0Alinansi應(yīng)變張量：嚴(yán)=扣-礦上冬。1 00 0 1Xqe *Deformed square0_ 16o-0Bl = FTFl =51+尸01001o oi ro1 0)步0 1 06810 1-8o"060_-81+尸0)=I8-810001000 3.2.4變形率與應(yīng)變速率張量1.速度梯度及其分解質(zhì)點(diǎn)p相對于質(zhì)點(diǎn)p的相對速度為：dv = dxdu. - o.(x. + AXpZ)-u(XpZ)=-dx.,速度梯度張量(Euler速度梯度張量)：id". ,J dXj ado dxdq = IqdXj , dv = Idx也可定義速度對物質(zhì)坐標(biāo)的梯度:du. ax? - %dv_dXGrad v速度梯度張量是非對稱張量，可做如下分解:黠繪+T等吩屮)申"du. 1 dv. Ou) 1 du. Ou ： 11 f寸芯+藥)+血一訐 n 4+G+1 s _ G變形率張量(rate of deformation tensor ):dv-sym dx=syniZ = (Z + Zr)旋轉(zhuǎn)（旋率）張量（spin tensor）:iv = asyin = asym2 = (Z-/r),一 dx2心7 + wdxdij + Wijdv = (d+ w)dx dq = (d“ + wij)dxj旋轉(zhuǎn)張量佃可用速度辺的旋度（渦旋矢量）curl v = rot v = ,憶=eijkwjkicurl v = rot v =血冷譽(yù)+等）承+ W.二丄（匹_叫）=丄（厶._仁）% 2込 dx/ 2-"軸矢量表不:（2）參考構(gòu)形中的變形率張量與旋轉(zhuǎn)張量 速度梯度張量Z、變形率張量及旋轉(zhuǎn)張量w都是在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中定義的，它們都和現(xiàn)時(shí) 構(gòu)形中的速度及其導(dǎo)數(shù)有關(guān)，通過變形梯度可將它們與參考構(gòu)形聯(lián)系起來F = RU => FRU + RU由F =可得i = （Ru+nuyr-1 = 曲"+衛(wèi)療礦】圧】=g+rUu"疋如=喩+爲(wèi)込。刀血冬邂相對旋率張量：彳=血=加,3 g址= Rif = 0丈是反對稱張量rf = l（Z + Zr） = ij?（f7礦】+礦方）疋如=盡丈（葛曠 +曠九）乞22Z初=*-廠）=X2+扌2?（療礦1 -礦方）疋 2 + 土弧少趣-曠人）%Q不僅和旋率有關(guān)，而且和純變形有關(guān)僅當(dāng)7 = 0時(shí)，種和Q才相同2.變形梯度及其行列式的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)變形梯度尸及其行列式deLF (|F|)的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)就是它們隨時(shí)間的變化率物質(zhì)變形梯度F的物質(zhì)導(dǎo)數(shù):=l(Gradx)=Grad =di di8k又有:1 = grad v = FF_1空間變形梯度f=F1的物質(zhì)導(dǎo)數(shù):利用關(guān)系F宀f,可得軌 Y = 一尸如=-F-grad v = -F-1/ S "鬻簽"3變形梯度行列式IFI的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)： 勺尸|二| F |叫=| F | lkk亠畑巧二生電電)"曲西埜電+西壘電+生坐電)didi dX, dX j dXdX, dXj dXx dX, dX3 dXK dX, dXj dXK西dx2 dx3 呢3i?2 3乓 曲3込昵湛湛% *近嘰湛辺*湛忍盹辺Qq dXj dx2 dx3 _ dvY dxv dx2 dx3 Qq dx2 dx2 dx3 Qq dx3 dx2 dx3= Ukr (11)說 dX1 dXj dXK IJK dx, dX/ dXy dXK dx2 dX1 dXy dXK dx3 dX1 dXy dXKdxvdvY dx dx2 8X3 dxe,JK dX dXj dXK3.應(yīng)變速率張量(1) Green應(yīng)變速率張量E=- (F* = - (FrF + FtF) = -11F)tF + FtIF=-Ft (f +T)F = FTdF 2dt222Green應(yīng)變速率張量左是自變量為X (.Xj)的對稱張:量線元長度平方的變化率: (ds1 dS2) = (ds2) = dx1 dx) (dx7dx) = dv1 dx + dx1 dv dtdtdtdt=dxT()T +dx = 2dxrddx = 2dX 丁dF )dXdx dx (ds2)= 2d .dx.dx.二 2d. dX.dX.dt ) y z 7 J OXXj 1 J線元d$的伸長率：冬/山=也dtJ ds ds剛體運(yùn)動時(shí)線元的長度不變，4山則E =0變總率區(qū)和GrEen應(yīng)變速率應(yīng)2剛體運(yùn)動無關(guān)，只和物體的純變形率有關(guān)(2) Almansi應(yīng)變速率張量"空=_丄彷丄竺 r 1 * f_t d_ idi 2dl2 dtdt=丄(_尸嚴(yán)i + 尸氣嚴(yán)+B1l)=lZr(Z- 2e) + (Z- 2e)l=d-(fe + el)2診）=* 打+%）-您金+骸J貝I：d = e+fe+el剛陳運(yùn)動時(shí),*備雖然在山 但若住芒0,貝I& = 一（嚴(yán)住+刃）芒0Almansi應(yīng)變速率&與剛體運(yùn)動有關(guān)4.彈塑性變形的分解(1)加性分解(和分解，additive decomposion)在小變形時(shí)通常把變形率分為彈性部分和塑性部分： = + dpGreen應(yīng)變率也可分為彈性部分和塑性部分：E = Ee+Epposion)(2)乘性分解(multiplicative decom設(shè)想存在一個(gè)中間無應(yīng)力和無彈性變形的構(gòu)形, 由X到x的彈塑變形設(shè)想為，由X到z的純塑變 形和由z到x的純彈性變形塑性變形梯度(plastic defoniiation giadient):QX彈性變形梯度(elastic deformation gradient):Qx QyF 二 F"F" , F 二 F" Fp 二 iJioc a J 九OXj變形速度梯度:I = FF1 = 少審”尸=F(Fyl + FeFp dtie = FFeyl=de+ (" “艸滬理尸 = lr-(rf=aSymFW1尹=滬（嚴(yán)尸=尹+加/=+（巧=sym戸歹戸尸2腫=丄嚴(yán)（尹/ = asymF?（嚴(yán)尸2變形率張量分解為:d - sym I = (Z +廠)=(T + d p旋轉(zhuǎn)張量分解為：w = asym Z =丄(Z -廠)=w" + w*"由于拭*羊心，所以，dde+d?門=嚴(yán)嚴(yán)（嚴(yán)尸二. 護(hù)+ （呼 w=lp-（p）r+Q=sym滬尹(嚴(yán)尸 = asymF(F?)-1只有當(dāng)彈性變形很小，d*時(shí)，才有 d =+（嚴(yán)），常于鋁伸F二* 嚴(yán)_（嚴(yán)）