高考數學理一輪資源庫 第4章學案19

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1、 精品資料 學案19　函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及 三角函數模型的簡單應用 導學目標： 1.了解函數y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數A，ω，φ對函數圖象變化的影響.2.了解三角函數是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數模型，會用三角函數解決一些簡單實際問題． 自主梳理 1．用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點．如下表所示． x ωx＋φ y＝ Asin

2、(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.圖象變換：函數y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象可由函數y＝sin x的圖象作如下變換得到： (1)相位變換：y＝sin x→y＝sin(x＋φ)，把y＝sin x圖象上所有的點向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移動____個單位． (2)周期變換：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)圖象上各點的橫坐標______(0<ω<1)或______(ω>1)到原來的________倍(縱坐標不變)． (3)振幅變換：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx

3、＋φ)圖象上各點的縱坐標______(A>1)或______(00，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一個振動量時，則____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝________叫做頻率，________叫做相位，____叫做初相． 函數y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為__________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為__________． 自我檢測 1．要得到函數y＝sin的圖象，可以把函數y＝sin 2x的圖象向________平移________個單位． 2．已知函數f

4、(x)＝sin (x∈R，ω>0)的最小正周期為π.將y＝f(x)的圖象向左平移|φ|個單位長度，所得圖象關于y軸對稱，則|φ|的最小值為________． 3．(2010四川改編)將函數y＝sin x的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數解析式是________． 4．彈簧振子的振動是簡諧運動，在振動過程中，位移s與時間t之間的關系式為s＝10sin(t－)，t∈[0，＋∞)，則彈簧振子振動的周期為________，頻率為________，振幅為________，相位是________，初相是________． 5．一

5、半徑為10的水輪，水輪的圓心到水面的距離為7，已知水輪每分鐘旋轉4圈，水輪上點P到水面距離y與時間x(s)滿足函數關系式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋7(A>0，ω>0)，則A＝________，ω＝________. 探究點一　三角函數的圖象及變換 例1　已知函數y＝2sin. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點法”作出它在一個周期內的圖象；(3)說明y＝2sin的圖象可由y＝sin x的圖象經過怎樣的變換而得到． 變式遷移1　設f(x)＝1＋sin(2x－)，x∈R. (1)畫出f(x)在上的圖象； (2)求函數的單調區(qū)間； (3)如何由y＝sin

6、x的圖象變換得到f(x)的圖象？ 探究點二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的圖象的一部分如圖所示．求函數f(x)的解析式． 變式遷移2　(2010寧波高三二模)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的圖象與y軸的交點為(0,1)，它在y軸右側的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為(x0,2)和(x0＋2π，－2)． 求f(x)的解析式及x0的值； 探究點三　三角函數模型的簡單應用 例3　已知海灣內海浪的高度y

7、(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數，記作y＝f(t)．下表是某日各時刻記錄的浪高數據： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 經長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數y＝Acos ωt＋b. (1)根據以上數據，求函數y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函數表達式； (2)依據規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的上午8∶00至晚上20∶00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？

8、 變式遷移3　交流電的電壓E(單位：伏)與時間t(單位：秒)的關系可用E＝220sin表示，求： (1)開始時的電壓； (2)最大電壓值重復出現(xiàn)一次的時間間隔； (3)電壓的最大值和第一次取得最大值時的時間． 數形結合思想 例　(14分)設關于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在區(qū)間(0,2π)內有相異的兩個實根α、β. (1)求實數a的取值范圍； (2)求α＋β的值． 【答題模板】 解　(1)原方程可化為sin(θ＋)＝－，作出函數y＝sin(x＋)(x∈(0,2π))的圖象． 由圖知，方程在(0,2π)內有相異實根α，β的充要條件是.[4分

9、] 即－2

10、題的一種有效的解題策略． 圖象的應用主要有以下幾個方面：①比較大小；②求單調區(qū)間；③解不等式；④確定方程根的個數．如判斷方程sin x＝x的實根個數；⑤對稱問題等． 【易錯點剖析】 此題若不用數形結合法，用三角函數有界性求a的范圍，不僅過程繁瑣，而且很容易漏掉a≠－的限制，而從圖象中可以清楚地看出當a＝－時，方程只有一解． 1．從“整體換元”的思想認識、理解、運用“五點法作圖”，尤其在求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間、解析式等相關問題中要充分理解基本函數y＝sin x的作用． 2．三角函數自身綜合問題：要以課本為主，充分掌握公式之間的內在聯(lián)系，從函數名稱、角度、式子結構等方面

11、觀察，尋找聯(lián)系，結合單位圓或函數圖象等分析解決問題． 3．三角函數模型應用的解題步驟： (1)根據圖象建立解析式或根據解析式作出圖象． (2)將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型． (3)利用收集到的數據作出散點圖，并根據散點圖進行函數擬合，從而得到函數模型． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．將函數y＝sin的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應的解析式是________． 2．函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)圖象的一部分如圖所示，其解析式為_______

12、_． 3．(2011徐州模擬)為得到函數y＝cos的圖象，只需將函數y＝sin 2x的圖象向________平移________個單位． 4．(2009遼寧改編)已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象如圖所示，f()＝－，則f(0)＝________. 5．若函數y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0，|φ|<)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖象的一條對稱軸，則它的解析式是______________． 6．若動直線x＝a與函數f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的圖象分別交于M、N兩點，則|MN|的最大值為______

13、__． 7．(2011宜昌模擬)函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)的值為________． 8．(2011南通期末)若函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m對任意t都有f(t＋)＝f(－t)，且f()＝－1，則實數m的值等于________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的圖象的一部分如下圖所示． (1)求函數f(x)的解析式； (2)當x∈[－6，－]時，求函數y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應的x

14、的值． 10．(14分)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函數，其圖象過點M(0,2)．又f(x)的圖象關于點N對稱且在區(qū)間[0，π]上是減函數，求f(x)的解析式． 11．(14分)(2010山東)已知函數f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期為π， (1)求ω的值； (2)將函數y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數y＝g(x)的圖象，求函數y＝g(x)在區(qū)間上的最小值． 答案 自主梳理 1.　　　　　0　　π　

15、 2π　2.(1)左　右　|φ|　(2)伸長　縮短　　(3)伸長　縮短　A　3.A　　　ωx＋φ　φ　　 自我檢測 1．右　　2.　3.y＝sin 4．4π　　10　t－　－　5.10　 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　(1)作三角函數圖象的基本方法就是五點法，此法注意在作出一個周期上的簡圖后，應向兩邊伸展一下，以示整個定義域上的圖象； (2)變換法作圖象的關鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用ωx＋φ＝ω來確定平移單位． 解　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝. (2)令X＝2x＋，則y＝2sin＝2sin X. 列表： x －

16、 X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝ 2sin 0 2 0 －2 0 描點連線，得圖象如圖所示： (3)方法一　把y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再把y＝sin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象， 最后把y＝sin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 方法二　將y＝sin x的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin

17、2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 變式遷移1　解　(1)(五點法)設X＝2x－， 則x＝X＋，令X＝0，，π，，2π， 于是五點分別為，，，，，描點連線即可得圖象，如圖． (2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得單調增區(qū)間為，k∈Z. 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得單調減區(qū)間為，k∈Z. (3)把y＝sin x的圖象向右平移個單位；再把橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)；最后把所得圖象向上平移1個單位即得y＝sin＋1的圖象． 例

18、2　解題導引　確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步驟： (1)求A，b.確定函數的最大值M和最小值m，則A＝，b＝.(2)求ω.確定函數的周期T，則ω＝.(3)求參數φ是本題的關鍵，由特殊點求φ時，一定要分清特殊點是“五點法”的第幾個點． 解　由圖象可知A＝2，T＝8. ∴ω＝＝＝. 方法一　由圖象過點(1,2)， 得2sin＝2， ∴sin＝1.∵|φ|<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin. 方法二　∵點(1,2)對應“五點”中的第二個點． ∴1＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝2sin. 變式遷移2　解　由題意可得： A＝2，＝2π，即＝4π，∴ω＝， f(x)＝2

19、sin，f(0)＝2sin φ＝1， 由|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(x＋)． f(x0)＝2sin＝2， 所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋ (k∈Z)， 又∵x0是最小的正數，∴x0＝. 例3　解題導引　(1)三角函數模型在實際中的應用體現(xiàn)在兩個方面，一是已知函數模型，如本例，關鍵是準確理解自變量的意義及自變量與函數之間的對應法則，二是把實際問題抽象轉化成數學問題，建立三角函數模型，再利用三角函數的有關知識解決問題，其關鍵是建模．(2)如何從表格中得到A、ω、b的值是解題的關鍵也是易錯點，同時第二問中解三角不等式也是易錯點．(3)對于三角函數模型y＝Asin(ωx＋φ

20、)＋k (A>0，ω>0)中參數的確定有如下結論：①A＝；②k＝；③ω＝；④φ由特殊點確定． 解　(1)由表中數據，知周期T＝12， ∴ω＝＝＝， 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5； 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， ∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1. (2)由題知，當y>1時才可對沖浪者開放， ∴cos t＋1>1，∴cos t>0， ∴2kπ－

21、0之間，有6個小時的時間可供沖浪者運動，即上午9∶00至下午3∶00. 變式遷移3　解　(1)t＝0時，E＝220sin ＝110(伏)． (2)T＝＝0.02(秒)． (3)當100πt＋＝，t＝秒時，第一次取得最大值，電壓的最大值為220伏． 課后練習區(qū) 1．y＝sin　2.y＝sin(2x＋)　3.左　 4.　5.y＝2sin＋2　6.　7.2(＋1) 8．－3或1 9．解　(1)由圖象知A＝2， ∵T＝＝8，∴ω＝.……………………………………………………………………(3分) 又圖象經過點(－1,0)，∴2sin(－＋φ)＝0. ∵|φ|<，∴φ＝. ∴f(

22、x)＝2sin(x＋)．………………………………………………………………………(6分) (2)y＝f(x)＋f(x＋2) ＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋) ＝2sin(x＋)＝2cosx.…………………………………………………………(10分) ∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－. ∴當x＝－，即x＝－時，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值；當x＝－π，即x＝－4時，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.…………………………………………………………(14分) 10．解　根據f(x)是R上的偶函數，圖象過點M(0,2)，可得f(－x)＝f(x)且A＝2， 則有2sin(－ω

23、x＋φ)＝2sin(ωx＋φ)，即sin ωxcos φ＝0， ∴cos φ＝0，即φ＝kπ＋ (k∈Z)． 而0≤φ≤π，∴φ＝.………………………………………………………………………(5分) 再由f(x)＝2sin(－ωx＋)＝2cos ωx的圖象關于點N對稱，f()＝2cos(π)＝0， ∴cos π＝0， 即π＝kπ＋ (k∈Z)，ω＝ (k∈Z)．…………………………………………(10分) 又0<ω≤2，∴ω＝或ω＝2. 最后根據f(x)在區(qū)間[0，π]上是減函數， 可知只有ω＝滿足條件． 所以f(x)＝2cos x.………………………………………………………………

24、………(14分) 11．解　(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx ＝sin ωxcos ωx＋ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ＝sin＋.……………………………………………………………………(6分) 由于ω>0，依題意得＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分) (2)由(1)知f(x)＝sin＋， 所以g(x)＝f(2x) ＝sin＋.……………………………………………………………………(10分) 當0≤x≤時，≤4x＋≤. 所以≤sin≤1. 因此1≤g(x)≤，…………………………………………………………………(13分) 所以g(x)在此區(qū)間內的最小值為1.……………………………………………………(14分)