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課時作業(yè)(六) 球的體積和表面積
A組 基礎(chǔ)鞏固
1.設(shè)正方體的表面積為24,那么其外接球的體積是( )
A.π B.
C.4π D.32π
解析:由題意可知,6a2=24,∴a=2.
設(shè)正方體外接球的半徑為R,則a=2R,∴R=,∴V球=πR3=4π.
答案:C
2.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為( )
A.π B.4π
C.4π D.6π
解析:如圖,設(shè)截面圓的圓心為O′,M為截面圓上任一點,
則OO′=,O′M=1,
∴OM==,即球的半徑為,
2、
∴V=π()3=4π.
答案:B
3.如圖是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為( )
A.18π B.30π
C.33π D.40π
解析:由三視圖知該幾何體由圓錐和半球組成.球半徑和圓錐底面半徑都等于3,圓錐的母線長等于5,所以該幾何體的表面積S=2π32+π35=33π.
答案:C
4.表面積為2的正八面體的各個頂點都在同一個球面上,則此球的體積為( )
A. B.
C. D.
解析:本題考查半球的內(nèi)接正四棱錐.設(shè)正八面體的棱長為a,球的半徑為R,則a=R,又正八面體的表面積S正八面體=8aa=2,得a=1,則R=,于是V球
3、=3=,故選A.
答案:A
5.兩個半徑為1的鐵球,融化后鑄造成一個大球,則這個大球的半徑為( )
A. B.
C.2 D.
解析:本題考查球的體積的求法.設(shè)大球的半徑為r,則π2=πr3,所以r=,故選B.
答案:B
6.某幾何體的三視圖如圖所示,其中三角形的三邊長與圓的直徑均為2,則該幾何體的體積為( )
A.π B.π
C.π D.π
解析:由三視圖可知,該幾何體是由一個圓錐與一個球的組合體.圓錐的底面半徑與球的半徑均為1,圓錐的高為=,
∴該幾何體的體積V=π12+π13=π.
答案:A
7.已知某一個多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體
4、,如果該組合體的正視圖、俯視圖均如圖所示.且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積是________.
解析:球是棱長為2的正方體的外接球,則球的直徑d==2,所以球的表面積為S=4πR2=πd2=12π.
答案:12π
8.已知一圓柱內(nèi)接于球O,且圓柱的底面直徑與球的半徑都為2,則圓柱的表面積為________.
解析:本題考查圓柱與球的組合體問題以及圓柱表面積的求法.由題意可知圓柱的母線長為2=2,即圓柱的高為2,故圓柱的表面積為2π12+2π12=2π+4π.
答案:2π+4π
9.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相
5、同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是________cm.
解析:設(shè)球的半徑為r,則圓柱形容器的高為6r,容積為πr26r=6πr3,高度為8 cm的水的體積為8πr2,3個球的體積和為3πr3=4πr3,由題意6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4 cm.
答案:4
10.如圖,正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A,B,C,D在球O的同一個大圓上,點P在球面上,如果VP-ABCD= ,則球O的表面積是多少?
解析:如圖,正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A,B,C,D在球O的同一個大圓上,點P在球面上,
∴PO⊥底面ABCD,PO=R,SABCD=2R2,V
6、P-ABCD=,
所以2R2R=,
解得:R=2,
球O的表面積:S=4πR2=16π.
B組 能力提升
11.如圖所示,一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形,則該三棱錐的外接球的表面積為( )
A. B.19π
C.14π D.7π
解析:本題考查空間幾何體的三視圖以及球的表面積的求法.該三棱錐可以看作是一個長、寬、高分別為3,1,2的長方體的一部分,且長方體的體對角線即為三棱錐的外接球的直徑(記為2R),故4R2=32+12+22=14,所以球的表面積為4πR2=14π,故選C.
答案:C
12.若一個四面體的所有棱長都為,四個頂點都在同一球面上,則此球
7、的表面積為________.
解析:
如圖,把四面體ABCD補成正方體,則正方體的棱長為1,正方體的體對角線長等于外接球的直徑,球的直徑2R=,球的表面積S=4πR2=3π.
答案:3π
13.如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積.(其中∠BAC=30)
解析:如下圖所示,過C作CO1⊥AB于O1.
在半圓中可得∠BCA=90,∠BAC=30,AB=2R,
∴AC=R,BC=R,CO1=R,
∴S球=4πR2,S圓錐AO1側(cè)=πRR=πR2,
S圓錐BO1側(cè)=πRR=πR2,
∴S幾何體表=S球+S圓錐
8、AO1側(cè)+S圓錐BO1側(cè)
=πR2+πR2=πR2.
故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為πR2.
14.一個倒立圓錐形容器,它的軸截面是正三角形,在這容器內(nèi)注入水并且放入一個半徑為r的鐵球,這時水面恰好和球面相切,問將球從圓錐內(nèi)取出后,圓錐內(nèi)水平面的高是多少?
解析:設(shè)球取出后水面高PH=x,如圖所示.
∵AC=r,PC=3r,
∴以AB為底面直徑的圓錐的容積為
V圓錐=πAC2PC=π(r)23r=3πr3,V球=πr3,
球取出后水面下降到EF,水的體積為
V水=πEH2PH=π(PHtan30)2PH=πx3.
而V水=V圓錐-V球,
即πx3=3πr3-πr3,
∴x=r.
故球取出后水面的高為r.
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