二輪復習數(shù)學文通用版講義：第一部分 第三層級 難點自選專題三　“圓錐曲線”壓軸大題的搶分策略 Word版含解析

難點自選專題三難點自選專題三 “圓錐曲線圓錐曲線”壓軸大題的搶分策略壓軸大題的搶分策略 全國卷全國卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份 全國卷全國卷 全國卷全國卷 全國卷全國卷 2018 直線的方程、直線與拋物直線的方程、直線與拋物線的位置關系、證明問線的位置關系、證明問題題 T20 直線的方程、直線與拋物直線的方程、直線與拋物線的位置關系、圓的方線的位置關系、圓的方程程 T20 直線與橢圓的位置關系、直線與橢圓的位置關系、證明問題證明問題 T20 2017 直線與拋物線的位置關直線與拋物線的位置關系、導數(shù)的幾何意義系、導數(shù)的幾何意義 T20 點的軌跡方程、橢圓方程、點的軌跡方程、橢圓方程、向量的數(shù)量積等向量的數(shù)量積等 T20 兩直線垂直的條件、直線兩直線垂直的條件、直線與圓的位置關系、直線方與圓的位置關系、直線方程程 T20 2016 直線與拋物線的位置關直線與拋物線的位置關系、存在性問題系、存在性問題 T20 直線與橢圓的位置關系、直線與橢圓的位置關系、面面積問題、證明問題積問題、證明問題 T21 直線與拋物線的位置關直線與拋物線的位置關系、證明問題及軌跡方程系、證明問題及軌跡方程的求法的求法 T20 解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學的主要知識板塊，是高考考查的重點知識之解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學的主要知識板塊，是高考考查的重點知識之一，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等試題難度較大，多以壓軸題出現(xiàn)一，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等試題難度較大，多以壓軸題出現(xiàn) 解答題的熱點題型有：解答題的熱點題型有： (1)直線與圓錐曲線位置關系；直線與圓錐曲線位置關系；(2)圓錐曲線中定點、定值、最值及范圍的求解；圓錐曲線中定點、定值、最值及范圍的求解；(3)圓錐圓錐曲線中的判斷與證明曲線中的判斷與證明 考法考法 策略策略(一一) 依據(jù)關系來證明依據(jù)關系來證明 典例典例 (2018 全國卷全國卷)設橢圓設橢圓 C：x22y21 的右焦點為的右焦點為 F，過，過 F 的直線的直線 l 與與 C 交于交于A，B 兩點，點兩點，點 M 的坐標為的坐標為(2,0) (1)當當 l 與與 x 軸垂直時，求直線軸垂直時，求直線 AM 的方程；的方程； (2)設設 O 為坐標原點，證明：為坐標原點，證明：OMAOMB. 解解 (1)由已知得由已知得 F(1,0)，l 的方程為的方程為 x1. 則點則點 A 的坐標為的坐標為 1，22或或 1，22. 又又 M(2,0)， 所以直線所以直線 AM 的方程為的方程為 y22x 2或或 y22x 2， 即即 x 2y20 或或 x 2y20. (2)證明：當證明：當 l 與與 x 軸重合時，軸重合時，OMAOMB0 . 當當 l 與與 x 軸垂直時，軸垂直時，OM 為為 AB 的垂直平分線，的垂直平分線， 所以所以OMAOMB. 當當 l 與與 x 軸不重合也不垂直時，設軸不重合也不垂直時，設 l 的方程為的方程為 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則則 x1 2，x2b0)，點，點 O 為坐標原點，點為坐標原點，點 A 的坐標為的坐標為(a,0)，點，點 B的坐標為的坐標為(0，b)，點，點 M 在線段在線段 AB 上，滿足上，滿足|BM|2|MA|，直線，直線 OM 的斜率為的斜率為510. (1)求求 E 的離心率的離心率 e； (2)設點設點 C 的坐標為的坐標為(0，b)，N 為線段為線段 AC 的中點，證明：的中點，證明：MNAB. 解：解：(1)由題設條件知，點由題設條件知，點 M 的坐標為的坐標為 23a，13b ， 又又 kOM510，從而，從而b2a510. 進而得進而得 a 5b，c a2b22b，故，故 eca2 55. (2)證明：由證明：由 N 是是 AC 的中點知，點的中點知，點 N 的坐標為的坐標為 a2，b2，可得，可得NM a6，5b6. 又又 AB (a，b)， 從而有從而有 AB NM 16a256b216(5b2a2) 由由(1)可知可知 a25b2， 所以所以 AB NM 0，故，故 MNAB. 考法考法 策略策略(二二) 巧妙消元證定值巧妙消元證定值 典例典例 已知橢已知橢圓圓 C：x2a2y2b21(ab0)，過，過 A(2,0)，B(0,1)兩點兩點 (1)求橢圓求橢圓 C 的方程及離心率；的方程及離心率； (2)設設 P 為第三象限內(nèi)一點且在橢圓為第三象限內(nèi)一點且在橢圓 C 上，直線上，直線 PA 與與 y 軸交于點軸交于點 M，直線，直線 PB 與與 x 軸軸交于點交于點 N，求證：四邊形，求證：四邊形 ABNM 的面積為定值的面積為定值 解解 (1)由題意得，由題意得，a2，b1， 所以橢圓所以橢圓 C 的方程為的方程為x24y21. 又又 c a2b2 3，所以離心率，所以離心率 eca32. (2)證明：設證明：設 P(x0，y0)(x00，y00)，則，則 x204y204. 又又 A(2,0)，B(0,1)， 所以直線所以直線 PA 的方程為的方程為 yy0 x02(x2) 令令 x0，得，得 yM2y0 x02， 從而從而|BM|1yM12y0 x02. 直線直線 PB 的方程為的方程為 yy01x0 x1. 令令 y0，得，得 xNx0y01， 從而從而|AN|2xN2x0y01. 所以四邊形所以四邊形 ABNM 的面積的面積 S12|AN| |BM| 12 2x0y01 12y0 x02 x204y204x0y04x08y042 x0y0 x02y02 2x0y02x04y04x0y0 x02y022. 從而四邊形從而四邊形 ABNM 的面積為定值的面積為定值 題后悟通題后悟通 解答圓錐曲線的定值問題的策略解答圓錐曲線的定值問題的策略 (1)從特殊情形開始，求出定值，再證明該值與變量無關；從特殊情形開始，求出定值，再證明該值與變量無關； (2)采用推理、計算、消元得定值消元的常用方法為整體消元采用推理、計算、消元得定值消元的常用方法為整體消元(如本例如本例)、選擇消元、對、選擇消元、對稱消元等稱消元等 應用體驗應用體驗 2(2019 屆高三屆高三 湘東五校聯(lián)考湘東五校聯(lián)考)已知橢圓已知橢圓 C 的中心在原點，離心率等于的中心在原點，離心率等于12，它的一個短，它的一個短軸端點恰好是拋物線軸端點恰好是拋物線 x28 3y 的焦點的焦點 (1)求橢圓求橢圓 C 的方程；的方程； (2)如圖，已知如圖，已知 P(2,3)，Q Q(2，3)是橢圓上是橢圓上的兩點，的兩點，A，B 是橢圓是橢圓上位于直線上位于直線 PQ Q 兩側(cè)的動點當兩側(cè)的動點當 A，B 運動時，滿足運動時，滿足APQ QBPQ Q，試問直線試問直線 AB 的斜率是否為定值？請說明理由的斜率是否為定值？請說明理由 解：解：(1)由題意知橢圓的焦點在由題意知橢圓的焦點在 x 軸上，軸上， 設橢圓設橢圓 C 的方程為的方程為x2a2y2b21(ab0)， 則則 b2 3. 由由ca12，a2c2b2，得，得 a4， 橢圓橢圓 C 的方程為的方程為x216y2121. (2)直線直線 AB 的斜率是定值，理由如下：的斜率是定值，理由如下： 設設 A(x1，y1)，B(x2，y2) APQ QBPQ Q，直線直線 PA，PB 的斜率之和為的斜率之和為 0， 設直線設直線 PA 的斜率為的斜率為 k，則直線，則直線 PB 的斜率為的斜率為k，直線，直線 PA 的方程為的方程為 y3k(x2)， 由由 y3k x2 ，x216y2121， 得得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480， x128k 2k3 34k2， 將將 k 換成換成k 可得可得 x228k 2k3 34k28k 2k3 34k2， x1x216k21234k2，x1x248k34k2， kABy1y2x1x2k x12 3k x22 3x1x2 k x1x2 4kx1x212， 直線直線 AB 的斜率為定值的斜率為定值12. 考法考法 策略策略(三三) 構(gòu)造函數(shù)求最值構(gòu)造函數(shù)求最值 典例典例 在在 RtABC 中，中，BAC90 ，A(0,2 2)，B(0，2 2)，SABC2 23.動點動點 P的軌跡為曲線的軌跡為曲線 E，曲線，曲線 E 過點過點 C 且滿足且滿足|PA|PB|的值為常數(shù)的值為常數(shù) (1)求曲線求曲線 E 的方程的方程 (2)過點過點 Q Q(2,0)的直線與曲線的直線與曲線 E 總有公共點，以點總有公共點，以點 M(0，3)為圓心的圓為圓心的圓 M 與該直線與該直線總相切，求圓總相切，求圓 M 的最大面積的最大面積 解解 (1)由已知由已知|AB|4 2， SABC12|AB|AC|2 23， 所以所以|AC|13. 因為因為|PA|PB|CA|CB|6|AB|4 2， 所以曲線所以曲線 E 是以點是以點 A，B 為焦點的橢圓且為焦點的橢圓且 2a6,2c4 2. 所以所以 a3，c2 2b1， 所以曲線所以曲線 E 的方程為的方程為 x2y291. (2)由題意可設直線方程為由題意可設直線方程為 yk(x2)， 聯(lián)立聯(lián)立 x2y291，yk x2 消去消去 y，得，得(9k2)x24k2x4k290， 則則 (4k2)24(9k2)(4k29)0，解得，解得 k23. 因為以點因為以點 M(0，3)為圓心的圓為圓心的圓 M 與該直線總相切，與該直線總相切， 所以半徑所以半徑 r|2k3|1k2. 令令 r2f(k) 2k3 21k2， 則則 f(k)4 2k3 1k2 2k 2k3 2 1k2 2 2k3 46k 1k2 2. 由由 f(k)0，得，得 k23或或 k32， 當當 k23時符合題意，此時可得時符合題意，此時可得 r|2k3|1k2 13. 即所求圓的面積的最大值是即所求圓的面積的最大值是 13. 題后悟通題后悟通 最值問題的最值問題的 2 2 種基本解法種基本解法 幾何法幾何法 根據(jù)已知的幾何量之間的相互關系、 平面幾何和解析幾何知識加以解決的根據(jù)已知的幾何量之間的相互關系、 平面幾何和解析幾何知識加以解決的(如如拋物線上的點到某個定點和焦點的距離之和、光線反射問題等在選擇題、填拋物線上的點到某個定點和焦點的距離之和、光線反射問題等在選擇題、填空題中經(jīng)?？疾榭疹}中經(jīng)常考查) 代數(shù)法代數(shù)法 建立求解目標關于某個建立求解目標關于某個(或兩個或兩個)變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值解決的變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值解決的(普普通方法、基本不等式方法、導數(shù)方法通方法、基本不等式方法、導數(shù)方法(如本例如本例)等等) 應用體驗應用體驗 3(2018 合肥一檢合肥一檢)在平在平面直角坐標系中，圓面直角坐標系中，圓 O 交交 x 軸于點軸于點 F1，F(xiàn)2，交，交 y 軸于點軸于點 B1，B2.以以 B1，B2為頂點，為頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點的橢圓分別為左、右焦點的橢圓 E 恰好經(jīng)過點恰好經(jīng)過點 1，22. (1)求橢圓求橢圓 E 的方程；的方程； (2)設經(jīng)過點設經(jīng)過點(2,0)的直線的直線 l 與橢圓與橢圓 E 交于交于 M，N 兩點，求兩點，求F2MN 面積的最大值面積的最大值 解：解：(1)由已知可得，橢圓由已知可得，橢圓 E 的焦點在的焦點在 x 軸上軸上 設橢圓設橢圓 E 的標準方程為的標準方程為x2a2y2b21(ab0)， 焦距為焦距為 2c，則，則 bc， a2b2c22b2， 橢圓橢圓 E 的方程為的方程為x22b2y2b21. 又橢圓又橢圓 E 過點過點 1，22，12b212b21，解得，解得 b21. 橢圓橢圓 E 的方程為的方程為x22y21. (2)點點(2,0)在橢圓在橢圓 E 外，外，直線直線 l 的斜率存在的斜率存在 設直線設直線 l 的方程為的方程為 yk(x2)，M(x1，y1)，N(x2，y2) 由由 yk x2 ，x22y21消去消去 y 得，得， (12k2)x28k2x8k220. 由由 0，得，得 0b0)，四點，四點 P1(1,1)，P2(0，1)，P3 1，32，P4 1，32中恰有三點在橢圓中恰有三點在橢圓 C 上上 (1)求求 C 的方程；的方程； (2)設直線設直線 l 不經(jīng)過不經(jīng)過 P2點且與點且與 C 相交于相交于 A，B 兩點若直線兩點若直線 P2A 與直線與直線 P2B 的斜率的和的斜率的和 為為1，證明：，證明：l 過定點過定點 解解 (1)由于由于 P3，P4兩點關于兩點關于 y 軸對稱，軸對稱， 故由題設知橢圓故由題設知橢圓 C 經(jīng)過經(jīng)過 P3，P4兩點兩點 又由又由1a21b21a234b2知，橢圓知，橢圓 C 不經(jīng)過點不經(jīng)過點 P1， 所以點所以點 P2在橢圓在橢圓 C 上上 因此因此 1b21，1a234b21，解得解得 a24，b21. 故橢圓故橢圓 C 的方程為的方程為x24y21. (2)證明：設直線證明：設直線 P2A 與直線與直線 P2B 的斜率分別為的斜率分別為 k1，k2. 如果如果 l 與與 x 軸垂直，設軸垂直，設 l：xt，由題設知，由題設知 t0，且，且|t|0. 設設 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則則 x1x28km4k21，x1x24m244k21. 而而 k1k2y11x1y21x2 kx1m1x1kx2m1x2 2kx1x2 m1 x1x2 x1x2. 由題設由題設 k1k21， 故故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0. 即即(2k1)4m244k21(m1)8km4k210. 解得解得 m2k1. 當且僅當當且僅當 m1 時，時，0，于是，于是 l：ykx2k1k(x2)1， 所以所以 l 過定點過定點(2，1) 題后悟通題后悟通 直線過定點問題的解題模型直線過定點問題的解題模型 應用體驗應用體驗 5(2018 貴陽摸底考試貴陽摸底考試)過拋物線過拋物線 C：y24x 的焦點的焦點 F 且斜率為且斜率為 k 的直線的直線 l 交拋物線交拋物線 C于于 A，B 兩點，且兩點，且|AB|8. (1)求求 l 的方程；的方程； (2)若若 A 關于關于 x 軸的對稱點為軸的對稱點為 D，求證：直線，求證：直線 BD 過定點，并求出該點的坐標過定點，并求出該點的坐標 解：解：(1)易知點易知點 F 的坐標為的坐標為(1,0)，則直線，則直線 l 的方程為的方程為 yk(x1)，代入拋物線方程，代入拋物線方程 y24x得得 k2x2(2k24)xk20， 由題意知由題意知 k0，且，且 (2k24)24k2 k216(k21)0， 設設 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x22k24k2，x1x21， 由拋物線的定義知由拋物線的定義知|AB|x1x228， 2k24k26，k21，即，即 k 1， 直線直線 l 的方程為的方程為 y (x1)， 即即 xy10 或或 xy10. (2)證明：由拋物線的對稱性知，證明：由拋物線的對稱性知，D 點的坐標為點的坐標為(x1，y1)，直線，直線 BD 的斜率的斜率 kBDy2y1x2x1y2y1y224y2144y2y1， 直線直線 BD 的方程為的方程為 yy14y2y1(xx1)， 即即(y2y1)yy2y1y214x4x1， y214x1，y224x2，x1x21， (y1y2)216x1x216， 即即 y1y24(y1，y2異號異號)， 直線直線 BD 的方程為的方程為 4(x1)(y1y2)y0，恒過點恒過點(1,0) 考法考法 策略策略(六六) 假設存在定結(jié)論假設存在定結(jié)論(探索性問題探索性問題) 典例典例 已知橢圓已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點分別為的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，其離心率為，其離心率為12，短軸長為短軸長為 2 3. (1)求橢圓求橢圓 C 的標準方程；的標準方程； (2)過定點過定點 M(0,2)的直線的直線 l 與橢圓與橢圓 C 交于交于 G，H 兩點兩點(G 在在 M，H 之間之間)，設直線，設直線 l 的斜率的斜率k0，在，在 x 軸上是否存在點軸上是否存在點 P(m,0)，使得以，使得以 PG，PH 為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出在，求出 m 的取值范圍；如果不存在，請說明理由的取值范圍；如果不存在，請說明理由 解解 (1)由已知，得由已知，得 ca12，b 3，c2a2b2，解得解得 a2，b 3，c1， 所以橢圓所以橢圓 C 的標準方程為的標準方程為x24y231. (2)設直線設直線 l 的方程為的方程為 ykx2(k0)， 聯(lián)立聯(lián)立 ykx2，x24y231消去消去 y 并整理得，并整理得，(34k2)x216kx40， 由由 0，解得，解得 k12. 設設 G(x1，y1)，H(x2，y2)， 則則 y1kx12，y2kx22，x1x216k4k23. 假設存在點假設存在點 P(m,0)，使得以，使得以 PG，PH 為鄰邊的平行四邊形為菱形，為鄰邊的平行四邊形為菱形， 則則 PG PH (x1x22m，k(x1x2)4)， GH (x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)， ( PG PH ) GH 0， 即即(1k2)(x1x2)4k2m0， 所以所以(1k2)16k4k234k2m0， 解得解得 m2k4k2324k3k. 因為因為 k12，所以，所以36m0，當且僅當，當且僅當3k4k 時等號成立，時等號成立， 故存在滿足題意的點故存在滿足題意的點 P，且，且 m 的取值范圍是的取值范圍是 36，0 . 題后悟通題后悟通 探索性問題的解題策略探索性問題的解題策略 探索性問題，先假設存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在，若結(jié)論不正探索性問題，先假設存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在，若結(jié)論不正確，則不存在確，則不存在 (1)當條件和結(jié)論不唯一時，要分類討論當條件和結(jié)論不唯一時，要分類討論 (2)當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件 (3)當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑放，采取另外的途徑 應用體驗應用體驗 6 已知橢圓 已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦點分別為的左、 右焦點分別為 F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)， 點， 點 A 1，22在橢圓在橢圓 C 上上 (1)求橢圓求橢圓 C 的標準方程；的標準方程； (2)是否存在斜率為是否存在斜率為 2 的直線，使得當直線與橢圓的直線，使得當直線與橢圓 C 有兩個不同交點有兩個不同交點 M，N 時，能在直時，能在直線線 y53上找到一點上找到一點 P， 在橢圓， 在橢圓 C 上找到一點上找到一點 Q Q， 滿足， 滿足PM NQ Q ？若存在， 求出直線的方程；？若存在， 求出直線的方程；若不存在，說明理由若不存在，說明理由 解：解：(1)設橢圓設橢圓 C 的焦距為的焦距為 2c，則，則 c1， 因為因為 A 1，22在橢圓在橢圓 C 上，所以上，所以 2a|AF1|AF2|2 2， 因此因此 a 2，b2a2c21， 故橢圓故橢圓 C 的方程為的方程為x22y21. (2)不存在滿足條件的直線，證明如下：不存在滿足條件的直線，證明如下： 假設存在斜率為假設存在斜率為 2 的直線，滿足條件，則設直線的方程的直線，滿足條件，則設直線的方程為為 y2xt， 設設 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P x3，53，Q Q(x4，y4)，MN 的中點為的中點為 D(x0，y0)， 由由 y2xt，x22y21消去消去 x，得，得 9y22tyt280， 所以所以 y1y22t9，且，且 4t236(t28)0， 故故 y0y1y22t9，且，且3t3. 由由PM NQ Q ，得，得 x1x3，y153(x4x2，y4y2)， 所以有所以有 y153y4y2，y4y1y25329t53. 也可由也可由PM NQ Q ，知四邊形，知四邊形 PMQ QN 為平行四邊為平行四邊形，而形，而 D 為線段為線段 MN 的中點，因此，的中點，因此，D 也為線段也為線段 PQ Q 的中點，所以的中點，所以 y053y42t9， 可得可得y42t159 又又3t3，所以，所以73y41， 與橢圓上點的縱坐標的取值范圍是與橢圓上點的縱坐標的取值范圍是1,1矛盾矛盾 因此不存在滿足條件的直線因此不存在滿足條件的直線