2019高考數(shù)學 突破三角函數(shù)與解三角形問題中的套路 專題01 三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導公式學案 理.doc

專題01 三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導公式知識必備一、任意角的三角函數(shù) 1定義設是一個任意角，它的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，點是角的終邊上任意一點，到原點的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是 注意：正切函數(shù)的定義域是，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是. 2三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函數(shù)線設角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，過作垂直于軸于由三角函數(shù)的定義知，點的坐標為，即，其中單位圓與軸的正半軸交于點，單位圓在點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點，則我們把有向線段分別叫做的余弦線、正弦線、正切線各象限內(nèi)的三角函數(shù)線如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限圖形4特殊角的三角函數(shù)值0 0100100101不存在0不存在0補充：二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1平方關(guān)系2商的關(guān)系3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形（1）平方關(guān)系的變形：；（2）商的關(guān)系的變形：；（3）三、三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2k+（kZ）+正弦sin sinsinsincoscos余弦cos cos cos cos sinsin 正切tan tantantan口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限核心考點考點一 三角函數(shù)的定義【例1】已知角的終邊經(jīng)過點，且，則等于ABCD【答案】A【解析】因為角的終邊經(jīng)過點，所以角是第二象限角，所以，求解可得（正值舍去）.故選A.備考指南1利用三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x、縱坐標y、該點到原點的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同)2利用三角函數(shù)線解三角不等式的步驟：確定區(qū)域的邊界；確定區(qū)域；寫出解集3已知角的終邊所在的直線方程或角的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角終邊上某特定點的坐標4三角函數(shù)值的符號及角的位置的判斷已知一角的三角函數(shù)值(，)中任意兩個的符號，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置注意終邊在坐標軸上的特殊情況.考點二 象限角的判斷【例2】“”是“角是第一象限角”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B 備考指南1已知所在的象限，求或n（nN*）所在的象限的方法是：將的范圍用不等式（含有k）表示，然后兩邊同除以n或乘以n，再對k進行討論，得到或n（nN*）所在的象限2象限角的判定有兩種方法：一是根據(jù)圖象，其依據(jù)是終邊相同的角的思想；二是先將此角化為k360（0<360，kZ）的形式，即找出與此角終邊相同的角，再由角終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角3由角的終邊所在的象限判斷三角函數(shù)式的符號，需確定各三角函數(shù)的符號，然后依據(jù)“同號得正，異號得負”求解.考點三 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其應用【例3】設.若，則A BC D【答案】A 【解析】因為，且，所以,所以.故選A備考指南1利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化2的齊次式的應用：分式中分子與分母是關(guān)于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”后求解.考點四 誘導公式及其應用【例4】點位于 A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】C 備考指南1應用誘導公式，重點是“函數(shù)名稱”與“正負號”的正確判斷求任意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題，具體步驟為“負角化正角”“正角化銳角”求值2使用誘導公式時一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似的形式時，需要對k的取值進行分類討論，從而確定出三角函數(shù)值的正負3利用誘導公式化簡三角函數(shù)式的思路：（1）分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當公式；（2）利用公式化成單角三角函數(shù)；（3）整理得最簡形式利用誘導公式化簡三角函數(shù)式的要求：（1）化簡過程是恒等變形；（2）結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值4巧用相關(guān)角的關(guān)系能簡化解題的過程常見的互余關(guān)系有與，與，與等；常見的互補關(guān)系有與，與等.考點五 三角函數(shù)公式的綜合應用【例5】已知角的頂點均為坐標原點，始邊均為軸的正半軸，若的終邊分別與單位圓相交于兩點，且.（1）求的值，并確定點所在的象限；（2）若點的坐標為，求的值.【解析】（1）.因為，所以的終邊在第二或第四象限，所以點在第二或第四象限.（2）由知，則 .備考指南熟練掌握正切的差角公式，三角函數(shù)的誘導公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，正確使用公式是解題的關(guān)鍵.能力突破1已知角的頂點在原點，始邊與軸正半軸重合，終邊過點（5，12），則=A BC D【答案】B【解析】由題知，=13，根據(jù)三角函數(shù)定義知，=， = =，故選B【名師點睛】高考中常將三角函數(shù)定義與三角函數(shù)公式相結(jié)合進行考查，是基礎題.2已知，則ABCD【答案】A 【解析】方法一：因為，所以，所以，故選A方法二：由，得，所以.【名師點睛】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式也常與三角函數(shù)誘導公式、恒等變換結(jié)合起來進行考查.3角為的一個內(nèi)角，若，則這個三角形為 A銳角三角形 B鈍角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形【答案】B【名師點睛】判斷三角形的形狀有兩種方法：一是根據(jù)角來判斷，分為銳角、直角、鈍角三角形；二是根據(jù)邊來判斷，分為不等邊、等腰、等邊三角形注意這兩種分類方法有重合的部分，如等腰直角三角形4已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【解析】（1）因為，所以，由于，所以，所以.（2）原式.【名師點睛】對于三角函數(shù)求值問題，必須熟練記憶和掌握三角函數(shù)公式：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導公式、三角恒等變換.高考通關(guān)1（2018北京）在平面直角坐標系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以O為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是 A BCD 【答案】C【解析】由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.A選項：當點在上時，故A選項錯誤；B選項：當點在上時，故B選項錯誤；C選項：當點在上時，故C選項正確；D選項：點在上且在第三象限，故D選項錯誤.綜上，故選C.【名師點睛】此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到所對應的三角函數(shù)線進行比較.2已知，則的值為A BC D【答案】A 【解析】，原式，故選A3（2017北京）在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin=，則sin=_【答案】 【解析】因為角與角的終邊關(guān)于軸對稱，所以，所以.【名師點睛】本題考查了角的對稱關(guān)系，以及誘導公式，常用的一些對稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對稱，則 ，若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于原點對稱，則.4（2017新課標）已知，tan =2，則=_【答案】【名師點睛】三角函數(shù)求值的三種類型（1）給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)（2）給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應用；變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的（3）給值求角：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角5（2018新課標）已知，則_【答案】【解析】因為，所以，因此6（2018浙江）已知角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P（）（1）求sin（+）的值；（2）若角滿足sin（+）=，求cos的值【解析】（1）由角的終邊過點得，所以.（2）由角的終邊過點得，由得.由得，所以或.你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！