2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第1課時(shí) 橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

第1課時(shí)橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形.知識(shí)點(diǎn)一橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距F1F22c(c)F1F22c(c)范圍|x|a，|y|b|x|b，|y|a對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)軸長軸長2a，短軸長2b知識(shí)點(diǎn)二橢圓的離心率思考觀察不同的橢圓可見它們的扁平程度不一樣，哪些量影響其扁平程度？怎樣刻畫？答案如圖所示，在RtBF2O中，cosBF2O，記e，則0<e<1.e越大，BF2O越小，橢圓越扁；e越小，BF2O越大，橢圓越圓.梳理(1)定義：橢圓的焦距與長軸長的比e，叫做橢圓的離心率.(2)性質(zhì)：離心率e的取值范圍是(0,1)，當(dāng)e越接近于1，橢圓越扁，當(dāng)e越接近于0，橢圓就越接近于圓.1.橢圓的頂點(diǎn)是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).()2.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為ac.()3.橢圓的離心率e越接近于1，橢圓越扁.()4.橢圓1(a>b>0)的短軸長等于b.()類型一由橢圓方程研究其幾何性質(zhì)例1求橢圓y21的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并利用對(duì)稱性畫出這個(gè)橢圓.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)解由方程知a4，b1，所以長軸長2a8，短軸長2b2，c.離心率e，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0).頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，(0，1).畫圖：先作出直線x4，y1圍成的矩形框，然后在第一象限描點(diǎn)，.畫出第一象限部分的圖象，最后利用對(duì)稱性作出二、三、四象限的圖象.反思與感悟解決此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.跟蹤訓(xùn)練1求橢圓9x216y2144的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)解將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1，于是a4，b3，c.橢圓的長軸長和短軸長分別是2a8和2b6，離心率e.又知焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(，0)和F2(，0)，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A1(4,0)，A2(4,0)，B1(0，3)和B2(0,3).類型二求橢圓的離心率例2橢圓1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓離心率答案1解析方法一如圖，DF1F2為正三角形，N為DF2的中點(diǎn)，F(xiàn)1NF2N.NF2c，NF1c，則由橢圓的定義可知，NF1NF22a，cc2a，e1.方法二注意到在焦點(diǎn)三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F(xiàn)1NF290.則由離心率的公式和正弦定理，得e1.反思與感悟涉及到焦點(diǎn)三角形注意利用橢圓的定義找到a與c的關(guān)系或利用e求解.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則橢圓E的離心率為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓離心率答案解析如圖，設(shè)直線x交x軸于D點(diǎn).因?yàn)镕2PF1是底角為30的等腰三角形，則有F1F2F2P.因?yàn)镻F1F230，所以PF2D60，DPF230.所以DF2F2PF1F2，即c2c2c，即，所以橢圓的離心率為e.例3(1)設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓離心率答案解析直線AB：xc，代入1，得y，A，B.直線BF1：y0(xc)，令x0，則y，D.kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e>0，e.(2)若橢圓1(a>b>0)上存在一點(diǎn)M，使得F1MF290(F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn))，則橢圓的離心率e的取值范圍為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求離心率的范圍答案解析橢圓方程為1(a>b>0)，byb.由題意知，以F1F2為直徑的圓至少與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，則cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0<e<1，所以e的取值范圍為.反思與感悟若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若AFBF4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求離心率的范圍答案解析設(shè)F0為橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.AFBF4，AFAF04，a2.設(shè)M(0，b)，則，1b2.離心率e.類型三利用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例4(1)橢圓過點(diǎn)(3,0)，離心率e，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)F與短軸兩個(gè)端點(diǎn)B1，B2的連線互相垂直，且這個(gè)焦點(diǎn)與較近的長軸的端點(diǎn)A的距離為，求這個(gè)橢圓的方程.考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程解(1)所求橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，又橢圓過點(diǎn)(3,0)，點(diǎn)(3,0)為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，(3,0)為右頂點(diǎn)，則a3.e，ca3，b2a2c232()2963，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，(3,0)為右頂點(diǎn)，則b3.e，ca，b2a2c2a2a2a2，a23b227，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或1.(2)依題意，設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)，由橢圓的對(duì)稱性知，B1FB2F.又B1FB2F，B1FB2為等腰直角三角形，OB2OF，即bc.又FA，即ac，且a2b2c2，將上面三式聯(lián)立，得解得所求橢圓方程為1.反思與感悟此類問題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b.在求解時(shí)，需注意當(dāng)焦點(diǎn)所在位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論.跟蹤訓(xùn)練4根據(jù)下列條件，求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓方程.(1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)(2，6)；(2)焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)連線互相垂直，且半焦距為6.考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程解(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為1(a>b>0).由題意得解得橢圓方程為1.同理可得當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為1.故所求橢圓方程為1或1.(2)依題意有bc6，a2b2c272，所求橢圓方程為1.1.橢圓1的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)之間的距離為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)答案解析上頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5)，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，故它們的距離為.2.若橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且焦距為2，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程答案1或1考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)解析由題意可知a2b，c1，所以1b24b2，故b2，a2，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.3.已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)答案(0，)解析由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，).4.已知點(diǎn)(m，n)在橢圓8x23y224上，則2m4的取值范圍為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)橢圓范圍的簡單應(yīng)用答案42，42解析因?yàn)辄c(diǎn)(m，n)在橢圓8x23y224上，即在橢圓1上，所以點(diǎn)(m，n)滿足橢圓的取值范圍|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，42.5.過橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若F1PF260，則橢圓的離心率為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓離心率答案解析PF1PF22a，又F1PF260，PF1PF2，PF22aPF2a，PF1a.在RtPF1F2中，PFF1FPF，2(2c)22，解得e.1.已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式.2.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系數(shù)法.在橢圓的基本量中，能確定類型的量有焦點(diǎn)、頂點(diǎn)，而不能確定類型的量有長軸長、短軸長、離心率e、焦距.3.求橢圓的離心率要注意函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.一、填空題1.橢圓25x29y2225的短軸長是_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)答案6解析橢圓25x29y2225，即為1.則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且b3，所以橢圓的短軸長為2b6.2.已知橢圓E的短軸長為6，焦點(diǎn)F到長軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于9，則橢圓E的離心率為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓離心率答案解析根據(jù)題意得2b6，ac9或ac9(舍去)，所以a5，c4，故e.3.已知橢圓的短半軸長為1，離心率0<e，則長軸長的取值范圍為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)答案(2,4解析e，0<，得1<a2，2<2a4.4.已知橢圓的長軸長為20，短軸長為16，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心距離的取值范圍為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)答案8,10解析橢圓的長半軸長為10，短半軸長為8，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心距離的最小值為8，最大值為10，故取值范圍為8,10.5.如圖，A，B，C分別為橢圓1(a>b>0)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若ABC90，則該橢圓的離心率為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓的離心率答案解析ABC90，BC2AB2AC2，c2b2a2b2(ac)2.又b2a2c2，e2e10.0<e<1，e.6.已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AF1B的周長為4，則橢圓C的方程為_.考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程答案1解析AF1B的周長為4，4a4，a.離心率為，即c1.b，橢圓C的方程為1.7.在ABC中，ABBC，cosB.若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓的離心率答案解析設(shè)ABx(x>0)，則BCx，AC2AB2BC22ABBCcosBx2x22x2x2，ACx.由條件知，ACBC2a，AB2c，xx2a，x2c，e.8.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)橢圓范圍的簡單應(yīng)用答案6解析由橢圓方程，得F(1,0).設(shè)P(x0，y0)，則(x0，y0)(x01，y0)xx0y.P為橢圓上一點(diǎn)，1.xx03x03(x02)22.2x02，當(dāng)x02時(shí)，取得最大值6.9.若橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)作圓x2y21的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程為_.考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程答案1解析x1是圓x2y21的一條切線.橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0)，即c1.設(shè)P，則kOP，OPAB，kAB2，則直線AB的方程為y2(x1)，它與y軸的交點(diǎn)為(0,2).b2，a2b2c25，故橢圓的方程為1.10.從橢圓1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓離心率答案解析左焦點(diǎn)為F1(c,0)，PF1x軸，當(dāng)xc時(shí)，1，即yb2，解得yP(負(fù)值不合題意，已舍去)，點(diǎn)P，由斜率公式得kAB，kOP.ABOP，kABkOP，即，得bc.a2b2c22c2，解得e.二、解答題11.已知橢圓x2(m3)y2m(m>0)的離心率e，求實(shí)數(shù)m的值及橢圓的長軸長和短軸長，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)解將橢圓方程化為1，由m>0，可知m>.所以a2m，b2，c.由e，得，解得m1.于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，則a1，b，c.所以橢圓的長軸長為2，短軸長為1；兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)，.12.如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1x軸，PF2AB，求此橢圓的離心率.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓離心率解設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0).如題圖所示，則有F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A(0，b)，B(a,0).直線PF1的方程為xc，代入方程1，得y，P.又PF2AB，PF1F2AOB.，b2c.b24c2，a2c24c2，即，e2，即e，橢圓的離心率為.13.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.(1)若F1AB90，求橢圓的離心率；(2)若橢圓的焦距為2，且AF22F2B，求橢圓的方程.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓離心率解(1)若F1AB90，則AOF2為等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc，所以ac，e.(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1,0).設(shè)B(x，y)，由AF22F2B，得2，即(1，b)2(x1，y)，解得x，y.代入1，得1，即1，解得a23，所以b22，故橢圓的方程為1.三、探究與拓展14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以橢圓1(a>b>0)上的一點(diǎn)A為圓心的圓與x軸相切于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與y軸相交于B，C兩點(diǎn)，若ABC是銳角三角形，則該橢圓的率心率的取值范圍為_.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求離心率的范圍答案解析由題意得，圓半徑r，因?yàn)锳BC是銳角三角形，所以cos0>cos>cos，即<<1，所以<<1，即<<1，解得e.15.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為A(1,0)，B(1,0)，一個(gè)頂點(diǎn)為H(2,0).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)對(duì)于x軸上的點(diǎn)P(t,0)，橢圓E上存在點(diǎn)M，使得MPMH，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求橢圓方程、橢圓范圍的簡單應(yīng)用解(1)由題意可得c1，a2，b.所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)M(x0，y0)(x02)，則1.(tx0，y0)，(2x0，y0)，由MPMH可得0，即(tx0)(2x0)y0.由消去y0，整理得t(2x0)x2x03.x02，tx0.2x02，2t1.實(shí)數(shù)t的取值范圍為(2，1).