第1講基礎知識及題分析

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1、基礎知識部分錢淑渠安順學院數(shù)計系2011年7月一、數(shù)學模型的定義一、數(shù)學模型的定義就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其它數(shù)學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯(lián)系的數(shù)學結構表達式。n歐幾里德幾何就是一個古老的數(shù)學模型，牛頓萬有引力定律也是數(shù)學建模的一個光輝典范。 二、建模的基本步驟二、建模的基本步驟YesNon1. 模型準備模型準備 要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。 學院圖書館-維普，中國知網(wǎng)等n2. 模型假設模型假設 根據(jù)對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建模至關重

2、要的一步。n3. 模型構建模型構建 根據(jù)所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具，構造各個量間的等式關系或其它數(shù)學結構。n4. 模型求解模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法，特別是計算機技術。n5. 模型檢驗及分析模型檢驗及分析 對模型解答進行數(shù)學上的分析。檢驗模型是否符合實際想象。三、數(shù)模競賽的指導思想三、數(shù)模競賽的指導思想n數(shù)模競賽題是一個“課題”，大部分都源于生產(chǎn)實際或者科學研究的過程中，它是一個綜合性的問題，數(shù)據(jù)龐大，需要用計算機來完成。其答案往往不是唯一的（數(shù)學模型是實際的模擬，是實際問題的近似表達，它的完

3、成是在某種合理的假設下，因此其只能是較優(yōu)的，不唯一的），呈報的成果是一編“論文”。四、競賽中的常見題型四、競賽中的常見題型1. 實際問題背景實際問題背景 涉及面寬有社會，經(jīng)濟，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術，現(xiàn)代科學中出現(xiàn)的新問題等。2 . 若干假設條件若干假設條件 1）只有過程、規(guī)則等定性假設，無具體定量數(shù)據(jù)；2）給出若干實測或統(tǒng)計數(shù)據(jù)；3）給出若干參數(shù)或圖形； 4）蘊涵著某些機動、可發(fā)揮的補充假設條件，或參賽者可以根據(jù)自己收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。3. 要求回答的問題要求回答的問題 有幾個問題，而且一般不是唯一答案。1）比較確定性的答案（基本答案）；2）更細致或更高層次的討論結果（往往是討

4、論最優(yōu)方案的提法和結果）。 五、歷年試題五、歷年試題n1993年A題 非線性交調的頻率設計 n1993年B題 球隊排名問題 n1994年A題 逢山開路 n1994年B題 鎖具裝箱 n1995年A題 一個飛行管理模型 n1995年B題 天車與冶煉爐的作業(yè)調度 n1996年A題 最優(yōu)捕魚策略 n1996年B題 節(jié)水洗衣機 n1997年A題 零件的參數(shù)設計 n1997年B題 截斷切割 n1998年A題 投資的收益和風險n1998年B題 災情巡視路線 n1999年A題 自動化車床管理 n1999年B題 鉆井布局 n2000年A題 DNA序列分類 n2000年B題 鋼管定購和運輸 n2001年A題 血管

5、的三維重建 n2001年B題 公交車調度 n2002年A題 車燈線光源的優(yōu)化設計n2002年B題 彩票中的數(shù)學n2003年A題 SARS的傳播n2003年B題 露天礦生產(chǎn)的車輛安排n2004年A題 奧運會臨時超市網(wǎng)點設n2004年B題 電力市場的輸電阻塞管理 n2005年A題 長江水質的評價和預測n2005年B題 DVD在線租賃n2006年A題 出版社的資源配置n2006年B題 艾滋病療法的評價及療效的預測n2007年A題 中國人口增長預測n2007年B題 乘公交，看奧運 n2008年A題 數(shù)碼相機定位n2008年B題 高等教育學費標準探討n2009年A題 制動器試驗臺的控制方法n2009年B

6、題 眼科病床的合理安排n2010年A題 儲油罐的變位識別與罐容表標定n2010年B題 2010年上海世博會影響力的定量評估 1 1、從問題的實際意義分析、從問題的實際意義分析 從實際意義方面分析從實際意義方面分析, ,大體上可以分為大體上可以分為工業(yè)、農業(yè)工業(yè)、農業(yè)、工程設計、交通運輸、經(jīng)濟管理、生物醫(yī)學和社會、工程設計、交通運輸、經(jīng)濟管理、生物醫(yī)學和社會事業(yè)事業(yè)等七個大類。等七個大類。 工業(yè)類工業(yè)類：電子通信、機械加工電子通信、機械加工 與制造、機械設計與與制造、機械設計與 控制等行業(yè)控制等行業(yè), ,共有共有8 8個個 題，占題，占28.6%28.6%。農業(yè)類：農業(yè)類：個題，占個題，占3.6

7、%3.6%。工程設計類工程設計類: : 3 3個題，占個題，占10.7%10.7%。交通運輸類：交通運輸類：3 3個題，占個題，占10.7%10.7%經(jīng)濟管理類：經(jīng)濟管理類：4 4個題，占個題，占14.3%14.3%生物醫(yī)學類：生物醫(yī)學類：4 4個題，占個題，占14.3%14.3%社會事業(yè)類社會事業(yè)類: : 5 5個題，占個題，占17.8%17.8% 有的問題屬于交叉的，或者是邊緣的。有的問題屬于交叉的，或者是邊緣的。2 2、從問題的解決方法上分析、從問題的解決方法上分析 從問題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學建模方從問題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學建模方法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計分析、優(yōu)化

8、方法、法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計分析、優(yōu)化方法、圖論、網(wǎng)絡優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方圖論、網(wǎng)絡優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊論、模糊數(shù)學、隨機決策、多法、微分方程、排隊論、模糊數(shù)學、隨機決策、多目標決策、隨機模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡、目標決策、隨機模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡、時間序列、綜合評價方法、機理分析等方法。時間序列、綜合評價方法、機理分析等方法。 用的最多的方法是優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計的方法用的最多的方法是優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計的方法. . 用到優(yōu)化方法的共有用到優(yōu)化方法的共有1919個題，占總數(shù)的個題，占總數(shù)的67.9%67.9%，其中整數(shù)規(guī)劃其中整數(shù)規(guī)

9、劃4 4個，線性規(guī)劃個，線性規(guī)劃4 4個，非線性規(guī)劃個，非線性規(guī)劃1414個個, ,多目標規(guī)劃多目標規(guī)劃4 4個。個。 用到概率統(tǒng)計方法的有用到概率統(tǒng)計方法的有1515個題，占個題，占53.6%53.6%，幾乎，幾乎是每年至少有一個題目用到概率統(tǒng)計的方法。是每年至少有一個題目用到概率統(tǒng)計的方法。 用到圖論與網(wǎng)絡優(yōu)化方法的問題有個；用到圖論與網(wǎng)絡優(yōu)化方法的問題有個； 用到層次分析方法的問題有個；用到層次分析方法的問題有個；3 3、從問題的解決方法上分析、從問題的解決方法上分析4 4、從問題的題型上分析、從問題的題型上分析（1 1）“即時性即時性”較強的問題有較強的問題有1010個個, ,占占35

10、.7%35.7%：1993B1993B：足球隊排名問題；：足球隊排名問題；1998B1998B：災情巡視路線問題；：災情巡視路線問題；2000A2000A：DNADNA序列分類問題；序列分類問題；2000B2000B：鋼管訂購與運輸問題；：鋼管訂購與運輸問題；2001B2001B：公交車的調度問題；：公交車的調度問題；2002B2002B：彩票中的數(shù)學問題；：彩票中的數(shù)學問題；2003A2003A：SARSSARS的傳播問題；的傳播問題；2004A2004A：奧運會臨時超市網(wǎng)點設計問題：奧運會臨時超市網(wǎng)點設計問題2004B2004B：電力市場的輸電阻塞管理問題：電力市場的輸電阻塞管理問題200

11、5A: 2005A: 長江水質的評價和預測問題長江水質的評價和預測問題 4 4、從問題的題型上分析、從問題的題型上分析(2)(2)理論性較強的問題有理論性較強的問題有1212個個, ,占占46.2% : 46.2% : 94A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,94A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04B;03A,04B;(3)(3)實用性較強的問題有實用性較強的問題有1414個個, ,占占50% : 50% : 93A,94B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,93A,94B

12、,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B,05A,05B03A,04B,05A,05B；(4)(4)算法要求強的問題有算法要求強的問題有6 6個個, ,占占21.4% : 21.4% : 95A,97B,99B,00A,00B,05B;95A,97B,99B,00A,00B,05B;(5)(5)數(shù)據(jù)量較大的問題有數(shù)據(jù)量較大的問題有1010個個, ,占占35.7% : 35.7% : 00A,00B,01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B00A,00B,01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B. .六、論文內容

13、和格式六、論文內容和格式1.標題標題n題目寫出較確切的題目。2. .摘要摘要200-300字，包括na. 模型的數(shù)學歸類（在數(shù)學上屬于什么類型）；nb. 建模的思想（思路）；nc. 算法思想（求解思路）；nd. 建模特點（模型優(yōu)點，建模思想或方法，算法特點，結果檢驗，靈敏度分析，模型檢驗）；ne. 主要結果（數(shù)值結果，結論；回答題目所問的全部“問題”）。n 注意表述：準確、簡明、條理清晰、合乎語法、字體工整漂亮。n內容較多時最好有個目錄。內容較多時最好有個目錄。3. 問題重述問題重述4. 模型假設模型假設n根據(jù)全國組委會確定的評閱原則，基本假設的合理性很重要。na. 根據(jù)題目中條件作出假設nb

14、. 根據(jù)題目中要求作出假設nC. 符合假設關鍵性假設不能缺；假設要切合題意。5. 模型構建模型構建a. 基本模型：）首先要有數(shù)學模型：數(shù)學公式、方案等；）基本模型，要求完整，正確，簡明；b. 簡化模型：）要明確說明簡化思想，依據(jù)等；）簡化后模型，盡可能完整；c. 模型要實用，有效，以解決問題有效為原則。數(shù)學建模面臨的、要解決的是實際問題，不追求數(shù)學上的高（級）、深（刻）、難（度大）。）能用初等方法解決的、就不用高級方法；）能用簡單方法解決的，就不用復雜方法；）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。d鼓勵創(chuàng)新，但要切實，不要離題搞標新立異。數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在：1. 建模中

15、，模型本身，簡化的好方法、好策略等；2. 模型求解中；3. 結果表示、分析、檢驗，模型檢驗；4.推廣部分。e在問題分析推導過程中，需要注意的問題：）分析：中肯、確切；）術語：專業(yè)、內行；）原理、依據(jù)：正確、明確；）表述：簡明，關鍵步驟要列出；）忌：外行話，專業(yè)術語不明確，表述混亂，冗長。6. 模型求解模型求解a. 需要建立數(shù)學命題時：命題敘述要符合數(shù)學命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴密。b. 需要說明計算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。 若采用現(xiàn)有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱。 c. 計算過程，中間結果可要可不要的，不要列出。d. 設法算出合理的數(shù)值結果。7. 結果分析、檢驗；結果分析

16、、檢驗；模型檢驗及模型修模型檢驗及模型修正；結果表示正；結果表示a. 最終數(shù)值結果的正確性或合理性是第一位的； b. 對數(shù)值結果或模擬結果進行必要的檢驗； 結果不正確、不合理、或誤差大時，分析原因， 對算法、計算方法、或模型進行修正、改進。c. 題目中要求回答的問題，數(shù)值結果，結論，須一一列出； d. 列數(shù)據(jù)問題：考慮是否需要列出多組數(shù)據(jù)，或額外數(shù)據(jù)對數(shù)據(jù)進行比較、分析，為各種方案的提出提供依據(jù)；e. 結果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析。 數(shù)值結果表示：精心設計表格；可能的話，用圖形圖表形式。 求解方案，用圖示更好。8. 模型評價模型評價優(yōu)點突出，缺點不回避。改變原題要求，重新建模

17、可在此做。推廣或改進方向時，不要玩弄新數(shù)學術語。9. 參考文獻參考文獻1 武桃，張力武桃，張力. 數(shù)學模型數(shù)學模型M. 北京：高北京：高等教育出版社，等教育出版社，1960，45-49.2 陸平陸平. 數(shù)學模型研究數(shù)學模型研究J. 數(shù)學的實踐與數(shù)學的實踐與認識，認識，2010，2(5):12-18.3 數(shù)學實驗數(shù)學實驗, .10. 附錄附錄 詳細的結果，詳細的數(shù)據(jù)表格，圖表，算法程序，可在此列出，但不要錯。 主要結果數(shù)據(jù)，表格，應在正文中列出，不怕重復。七. 參賽注意1時間和體力的問題時間和體力的問題2團隊合作是能否獲獎的關鍵團隊合作是能否獲獎的關鍵3重視摘要重視摘要 4論文寫作要正規(guī)論文寫作要正規(guī)5模型的假設與模型的建立模型的假設與模型的建立6圖文表并茂可以增色圖文表并茂可以增色 八. 參考資料 姜啟源，數(shù)學模型（第二版），高等教育出版社 姜啟源、謝金星、葉俊數(shù)學建模（第三版），高等教育出版社 蕭樹鐵等，數(shù)學實驗，高等教育出版社 朱道元，數(shù)學建模案例精選，科學出版社 雷功炎，數(shù)學模型講義，北京大學出版社 葉其孝等，大學生數(shù)學建模競賽輔導教材（一）（四），湖南教育出版社 江裕釗、辛培清，數(shù)學模型與計算機模擬，電子科技大學出版社 楊啟帆、邊馥萍，數(shù)學模型，浙江大學出版社 趙靜等，數(shù)學建模與數(shù)學實驗，高等教育出版社，施普林格出版社