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1、8.3平面向量的分解定理
翁旭宇
一、教學(xué)目標(biāo)
1．理解和掌握平面向量的分解定理；
2．掌握平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不平行向量來表示；掌握基的概念，并能夠用基表示平面內(nèi)的向量；
3．根據(jù)學(xué)生已有的物理知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在熟悉的問題情景中，體會(huì)研究向量分解的必要性。
4．經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、體會(huì)化歸思想。
二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) ：平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程；分解唯一性的說明。
三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）、 設(shè)置情景，引入課題
（1）觀察
前面我們學(xué)過向量的加法，知道兩個(gè)向量可以合成一個(gè)向量，反過來，一個(gè)向量是否可以分解成兩個(gè)向量呢？
2、
下面讓我們來看一個(gè)實(shí)例：
實(shí)例：一盞電燈，可以由電線CO吊在天花板上，也可以由電線OA和繩BO拉住.CO所受的力F與電燈重力平衡，拉力F可以分解為AO與BO所受的拉力F1和 F2 .
思考：從這個(gè)實(shí)例我們看到了什么？
答：一個(gè)向量可以分成兩個(gè)不同方向的向量.
（2）復(fù)習(xí)正交分解，并抽象為數(shù)學(xué)模型
（二）、探索探究，主動(dòng)建構(gòu)
概括討論，提出新問題：
如果向量是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，是該平面內(nèi)的一個(gè)非零向量，是否能用向量表示向量？
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1
實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：
(1)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生探究：給定平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，對(duì)于給定的非零向量
3、是否能分解成方向上的兩個(gè)向量，且分解是否是唯一的？
(2)實(shí)驗(yàn)步驟：
a.以四位同學(xué)為一組，給每一位同學(xué)一個(gè)圖，上面有兩個(gè)不平行向量和；
b.每個(gè)同學(xué)先獨(dú)立作圖；
c.小組對(duì)照，比較所分解的兩向量的長(zhǎng)度和方向是否相同.并得出結(jié)論.
(3)實(shí)驗(yàn)報(bào)告：(由學(xué)生發(fā)言)可以分解，且分解的長(zhǎng)度和方向唯一的.
師：既然可以分解并且是唯一的，能不能用數(shù)學(xué)式子把和的關(guān)系表示出來？
生：是不平行向量，是平面內(nèi)給定的向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O
（1）作；
（2）過C作平行于直線OB的平行線與直線OA相交于點(diǎn)M；
（3）過C作平行于直線OA的平行線與直線OB相交于點(diǎn)N；
（4）四邊形為平行四
4、邊形，由向量平行的充要條件可知存在實(shí)數(shù)，使得，，則.
對(duì)于給定的向量可以唯一分解成給定的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于任意的向量是否也可以得到同樣的結(jié)論呢？下面讓我們來做一個(gè)實(shí)驗(yàn).
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2
實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：
(1)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^幾何畫板向量分解動(dòng)畫，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于任意向量都可以分解成給定的兩個(gè)不平行向量，且分解是唯一的.
(2)實(shí)驗(yàn)步驟：
a.利用幾何畫板畫出兩個(gè)不平行向量，畫出一個(gè)任意向量(該向量可以任意拖動(dòng)終點(diǎn)來改變)；
b.學(xué)生從拖動(dòng)中體會(huì)其向量的任意性. （一些特殊位置，，）
(3)實(shí)驗(yàn)報(bào)告：
5、0;
3．探究結(jié)果
幾何角度：平面內(nèi)的任一向量都可以表示為給定的兩個(gè)不平行向量的線性組合，即，且分解是唯一的.
代數(shù)角度：說明唯一性：
說明：（1）當(dāng)時(shí)，
（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則有
=
.由于不平行，故，即.
4．概括得出定理：
平面向量分解定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.
我們把不平行的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基.
注意：
（1）基底不共線；
（2）將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；
（3）基底給定時(shí)，分解形式唯一，是被，，唯一確定的數(shù)量
（通過實(shí)驗(yàn)的整理，學(xué)生的動(dòng)手作圖能力
6、得到提高，通過學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的討論，學(xué)生的抽象概括能力，語(yǔ)言表達(dá)能力得到訓(xùn)練.）
（三）．例題分析
例1（教材P66．例2）如圖：平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且 ，分別用表示和.
解： 在平行四邊形ABCD中，
，
注：（1）把作為一組基，用向量表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量
（2）平行四邊形法則簡(jiǎn)化為三角形法則。
練習(xí)：學(xué)生完成教材后面練習(xí)P67 （2）
思考：由例1和練習(xí)（2）平行四邊形ABCD中還有哪些線段可以作為一組基？哪些線段不可以作為一組基？為什么？
思考題（教材P67．例 3）已知是不平行的兩個(gè)向量，是實(shí)數(shù)，且，用表示.
解：
（四）、課堂小結(jié)：（1）平面向量的分解定理. 對(duì)分解定理的理解：基底為兩個(gè)不平行向量，向量的任意性，實(shí)數(shù)對(duì)的存在性和唯一性；
（2）從基的角度認(rèn)識(shí)幾何圖形。
（五）、作業(yè)布置
《練習(xí)冊(cè)》P37 A組3，4 ，5 B組2，3
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（參考）《平面向量的分解定理》教案
