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《柯西不等式》知識(shí)點(diǎn)
所謂柯西不等式是指：設(shè)ai,bi R,則2W,等號(hào)當(dāng)且僅 當(dāng)=二…二時(shí)成立。
柯西不等式證法 :
柯西不等式的一般證法有以下幾種：
柯西不等式的形式化寫(xiě)法就是： 記兩列數(shù)分別是 ai,bi ，
則有* 3八2.
我們令 f= E A2=*xA2+2**x+
則我們知道恒有f >0.
用二次函數(shù)無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件，就有 A
=4*A2-4** <0.
于是移項(xiàng)得到結(jié)論。
用向量來(lái)證 .
m=n=
mn=a1b1+a2b2+ +anbn=A 乘以 A 乘以 cosX.
因?yàn)?cosX 小于等于 1，所以： a1b1+
2、a2b2+ +anbn
小于等于 a1A2+a2A2+ +anA2)A 乘以 A
這就證明了不等式 .
柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法 .
柯西不等式應(yīng)用 ：
可在證明不等式，解三角形相關(guān)問(wèn)題，求函數(shù)最值，解
方程等問(wèn)題的方面得到應(yīng)用。
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巧拆常數(shù)：
例：設(shè) a、 b 、 c 為正數(shù)且各不相等。
求證： 2/+2/+2/>9/
分析：: a、b、c均為正數(shù)
，為證結(jié)論正確只需證： 2*[1/+1/+1/]>9
而 2=++
又 9=
證明：@ 2[1/+1/+1/尸[++][1/+1/+1/] >
3、=9
又 a、 b、 c 各不相等，故等號(hào)不能成立
.二原不等式成立。
像這樣的例子還有很多，詞條里不再一一列舉，大家可
以在參考資料里找到柯西不等式的證明及應(yīng)用的具體文獻(xiàn) .
柯西簡(jiǎn)介 :
789年8月21日生于巴黎，他的父親路易?弗朗索瓦?柯
西是法國(guó)波旁王朝的官員，在法國(guó)動(dòng)蕩的政治漩渦中一直擔(dān)
任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正
統(tǒng)派，是一位虔誠(chéng)的天主教徒。
他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)
的定理和公式也都以他的名字來(lái)稱(chēng)呼，如柯西不等式、柯西
積分公式 ... 在數(shù)學(xué)寫(xiě)作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐
拉的人，他一生一共著作了
4、 789 篇論文和幾本書(shū)，其中有些
還是經(jīng)典之作，不過(guò)并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此
他還曾被人批評(píng)高產(chǎn)而輕率，這點(diǎn)倒是與數(shù)學(xué)王子相反，據(jù)
說(shuō)，法國(guó)科學(xué)院 會(huì)刊 創(chuàng)刊的時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在
太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出科學(xué)院的
預(yù)算，因此，科學(xué)院后來(lái)規(guī)定論文最長(zhǎng)的只能夠到四頁(yè)，所
以，柯西較長(zhǎng)的論文只得投稿到其他地方。
柯西在代數(shù)學(xué)、 幾何學(xué)、 誤差理論以及天體力學(xué)、 光學(xué)、
彈性力學(xué)諸方面都有出色的工作。特別是，他弄清了彈性理
論的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為彈性力學(xué)奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。
一、一般形式
))>
等號(hào)成立條件：a1:b1=a2:b2=
5、- =an:bn，或 ai、bi 均 為零。
一般形式的證明
))>A2
證明：
等式左邊 =+ 共 n2/2 項(xiàng)
等式右邊=? + ? + 共n2/2項(xiàng)
用均值不等式容易證明等式左邊 >等式右邊得證
二、向量形式
| a || B|A|a，B|, a=, B =
等號(hào)成立條件：B為零向量，或a =入B。
向量形式的證明
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令 m= , n= m n=a1b1+a2b2+ …
+anbn=|m||n|cos<<b>m,n>= " x " x
cos<<b>m,n> ; cos<<b>m,n>
< 1 a1b1+a2b2+- - +anbn< Vx V 注："一表示
平方根。
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