高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 專題4第15講 空間向量及應(yīng)用、空間角與距離的分析與計算課件 理 新課標(biāo)（湖南專用）

專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題四 立體幾何(0 90 1兩異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)分別引兩條異面直線的平行線，那么這兩條相交直線所成的角就叫做這兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角的范圍是，求異面直線所成的角，最關(guān)鍵是要找到一個點(diǎn)，然后把兩條異面直線平移至同一個平面90 .0 .0 90 2AOAB直線與平面所成的角：斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角叫做斜線與平面所成的角如果直線與平面垂直，那么就說直線與平面所成的角為如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，那么就說直線和平面所成的角為直線與平面所成的角的范圍是，求直線與平面所成的角關(guān)鍵是過直線上一點(diǎn)向平面作垂線03180AOOBAOB一個平面垂直于二面角的棱，且與兩個半平面的交線分別是射線、，則叫做二面角的平面角二面角的平面角的取值范圍是，求二面角的平面角的方法有：定義法、線面垂直法、射影面二面角：積法等 4123空間的距離包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、線面距離、面面距離、兩平行線間的距離在六種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離是指：自點(diǎn)向平面引垂線，點(diǎn)到垂足間的距離求點(diǎn)到平面的距離方法有： 直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長； 轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離；空體間的離：積法距 000()A1B1CDABCDAB ACAD ACAD ABBCD 一、空間向設(shè) ， ， ， 是空間不共面的四個點(diǎn)，且滿足，則的形狀是 鈍角三角形 直角三角形銳角三角形 例量及其運(yùn) 算無法確定 19060_2_ABCDABACACDACABCDDB在平行四邊形中，將它沿對角線折起，使與成角，則 、 間的距離是 22() ()0.1009200.:BC BDACABADABAC ADAC ABAB ADABABDB DCCB CDACDAC CDBBCDA AC 同理，因為所以為銳角三角形，所以同理，解析0.6060120 .ABCDBACD 因為與成角，所以， 或222222222224,6032 1 1 cos2,BDBAACCDBDBAACCDBA ACBA CDAC CDBAACCDBA CDBACDBACD 又因為，所以， ， .120| 2222.BACDBDBD ， 所以或，即 、 間的距離為 或用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則在立體幾何中要靈活運(yùn)用三角形法則；向量加法的平行四邊形法則在空間仍【點(diǎn)評】然成立 /312122/ABCDEFFAABCDAD BC FEABADMECAFABBCFEADBFDEAMDCDEACDE如圖，在五面體中，平面，為的中點(diǎn)，求異面直二、空間角的線與所成的角的大??；證明平面平面；求二分析與計算面角例的余弦值 /().1.2601:BF CECEDBFDEPADEPPCFEAPFAEPABPCFAABCDEPABCDPCADABCDEPPCEPADABADPCADFAaEPPCPDaCDDEECaCED由題設(shè)知，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角設(shè) 為的中點(diǎn)，連接，因為，所以 ，同理， 又平面，所以平面而，都在平面內(nèi)，故，由，可得設(shè)，解則，故方法 ：析6.0 .BFDE所以異面直線與所成的角的大小為 .2.DCDEMCEDMCEMPMPCEMPDMMAMDCCEAMDCDEDEEC證明：因為且為的中點(diǎn)，所以連接，則又，故平所以平面平，面面而平面 3.623.31.223Rtcos3QCDPQEQCEDEEQCDPCPDPQCDEQPACDEEPPQEQaPQaPQEPQEQPEQACDE設(shè) 為的中點(diǎn)，連接，因為，所以因為，所以，故為二面角的平面角由可得，于是在中，所以二面角的余弦值為 11,0,01,1,00,2,00,1,1110,0,1(1)221,20,1(01,1)0011cos.2|60|221.AABBCDEFMBFDEBF DEBF DEBFDEBFDE 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)，依題意得， ， ，于是， 所以異面直線與所成的角的大小為方法 ： 11(1)1,0,1220,2,000.2.AMCEADCE AMCE ADCEAMCEADAMADACEAMDCECAMDDDECE 證明：由， ， ，可得，因此，又，故平面而平所以平面平面面， ()00.0011,1,10,0,10013cos.|33331.3CDExyzCExzyzDExACDACDE 設(shè)平面的法向量為， ， ，則，于是令，可得又由題設(shè)，平面的一個法向量為所以， ， 因為二面角為銳角，所以其余弦值為uuuuvu vuvu v幾何法求空間角時關(guān)鍵是找到這個角，再通過解三角形求出這個角，而向量法的關(guān)鍵則是求平面的法向量，同時注意各類角的取【點(diǎn)評】值范圍 390132123PABCDADCDCBADBCPCCDPCABCDEABPDEPACPCPDEBPDE 如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，底面， 為的三、空間距離的分析中點(diǎn)求證：平面平面；求直線與平面所成的角的正弦值；求點(diǎn) 到平例面與計算的距離 141tan.21tan2.1ACDEGDECBFDAEFBEBFADCFDCCFDCFADACDDCCFDACD證明：證明：設(shè)與的交點(diǎn)為 ，延長交的延長線于點(diǎn) ，則，所以，所以又因為，所以解析：方法 909090.2.1ACDACFCFDACFCGFACDEPCABCDPCDEACPCCDEPACDEPDEPGCCHPGHPDEPACPDPGCHPDEEPACCPHCPGPC 因為，所以，所以，所以又因為底面，所以而，所以平面又平面，連接，過點(diǎn) 作于點(diǎn) ，則由知，平面平面，且是交線根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定所以理，得平面，從而即為直平面線面平與平面PDE所成的角 2222222224 5Rt.5214 52 55Rttan.252.311.444 5245Rt34 5325CDDCACGACCGPCGCPGPCPCPDEBFCFBPDECPDECHPC CGPOGCHPCCG 在中，在中，即直線與平面所成的角的正弦值為由于，所以可知點(diǎn) 到平面的距離等于點(diǎn) 到平面的距離的 ，即在中，0,0,02,1,00,3,00,0,22,0,01,22,01.3BPDECCDCBCPxyzCxyzCABPDE從而點(diǎn) 到平面的距離等于如圖所示，以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、分別為 、 、 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為，方法 ： 1,2,01,2,00,0,21,2,02,1,001,2,00,0,21(20.)AECACPDE CADE CPDECADECPCPCACDEPACDEPDPDEExyzPPDECEDA 證明：由于，所以，所以，而，所以平面又平面，設(shè)， ， 是平面的一個所以平法向面平，量，則面nnn0.1,2,0(1,22)PEDEPE 由于，( , , ) ( 1,2,0)20( , , ) (1,2, 2)2202122,1,2(0,02)|sin|cos,| | 2120 02 | 21DEx y zxyPEx y zxyzxyznPCPDEPCPCpcPC 所以令，則，即再設(shè)直線與平面所成的角為 ，而，所以， ， ， ，nnnnn22 | | 0 0233.|2PCPDE ， ，即直線與平面所成角的正弦值為 22,1,2(11,0)| 2121 10 |13.33nPDEBEBPDEn BEdn 由知，是平面的一個法向量，而，所以點(diǎn) 到平面的距離為 2BPDEBPDECPDE利用幾何法求 點(diǎn)到平面的距離時，充分利用第問的結(jié)論，將點(diǎn) 到平面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn) 到平面的距離，這種轉(zhuǎn)化思想值得好【點(diǎn)評】好體會 21232.ABCDOEBDBCACBCCDBDABADAOBCDABCDEACD如圖，四面體中， 、 分別是、的中點(diǎn)，求證：平面；備選求異面直線與所成角的余弦值；求題 點(diǎn) 到平面的距離 22222.221()21122sin603.490.1DOCABADOBDBCCDCABDAOBDCOBDOAABBDOCOACOAOCACAOCAOOCAOBDBDOOCCAOB 證明：連接因為， 是的中點(diǎn)，所以，在中，所以，所以平則又，面，解析: ./1211.222121c2.42os24ACMOMMEOEEBCME ABOE DCOEEMABCDOMEEMABOEDCOMRt AOCACOMACOEMABCD取的中點(diǎn)，連接、由 為的中點(diǎn)知，所以直線與所成的銳角就是異面直線與所成的角在中，因為是的斜邊上的中線，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為 222.1133.2212722.22213312242312121.273.772CDEEACDA CDEACDACDCDECDEACDEACDhVVh SAO SACDCACDADSAOSAO ShSEACD 設(shè)點(diǎn) 到平面的距離為 因為，所以在中，所以而，所以所以點(diǎn) 到平面的距離為 1.11,0,00,0,11,0,0(030)13(0)22(1,01)( 130)2,.4|122OOxyzBADCBCEABCDAB CDAB CDAB CD 同方法由知，以 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ，所以的中點(diǎn)，所以cos，所以cos方法 ： .()0( , , ) ( 1,0, 1)0.30( , , ) (0, 3, 1)01(31243)13(0)22|3|ABCDACDxyzxzADx y zyzACx y zynACDECEACDECh 所以異面直線與所成角的余弦值為設(shè)平面的法向量為， ， ，則，所以令，得， ，是平面的一個法向量又， ，所以點(diǎn) 到平面的距離nnnnn.73|721利用體積法求距離是一種常用方法，應(yīng)【點(diǎn)評】多體會20coscos| |cos().“”1“ABABABlABlA B 常用空間關(guān)系與向量運(yùn)算之間的關(guān)系利用來求證線線垂直利用， ，求，求兩直線的夾角利用求解有關(guān)線段的長度問題或利用， ， 其中， 是與直線同方向的單位向量 ，求線段在 上的射影長向量作為溝通 數(shù) 和 形 的橋梁，是利用數(shù)aba ba ba ba ba ba babaa aa eae形結(jié)合解題的一種重要載體2空間角的計算方法都是轉(zhuǎn)化為平面角來計算兩條異面直線所成的角，要以運(yùn)動的觀點(diǎn)運(yùn)用“平移法”，使之成為相交直線所成的角，要充分挖掘圖形的性質(zhì)，尋求平行關(guān)系；斜線與平面所成的角，往往是在斜線上取一點(diǎn)向平面引垂線，再解由斜線、垂線、射影所圍成的直角三角形這里關(guān)鍵是引平面的垂線，明確垂足的位置；求二面角的方法主要有定義法、線面垂直法、射影面積法等 3空間距離點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線之間的距離、兩平行線之間的距離利用平面幾何知識可以解決；點(diǎn)面距離、線面距離、面面距離都可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離4AAAAa在求空間角或空間距離時，經(jīng)常會遇到過空間中一點(diǎn) 作已知平面 的垂線的問題解決這類問題時，如果已知圖形中有平面的垂線，就只需過點(diǎn) 作已知垂線的平行線即可；否則可以過點(diǎn) 作一個平面與平面 垂直，再利用平面垂直的性質(zhì)定理達(dá)到過點(diǎn) 作平面 的垂線的目的5空間角與空間距離的計算都分為三步：“一找、二證、三計算”立體幾何中的計算題必須有推理過程，考生往往只注意計算，不注意推理，造成不必要的丟分